Неоднозначность

Неоднозначность (англ. ambiguity) — в теории принятия решений разновидность неопределённости, при которой агент не располагает единственной вероятностной мерой над пространством состояний мира, а имеет дело с множеством правдоподобных распределений, неаддитивной ёмкостью или распределением второго порядка над такими распределениями. Этим неоднозначность отличается от риска, где вероятности заданы объективно или поддаются точной оценке, и сближается с неопределённостью в широком смысле, при которой описание возможных исходов может быть неполным. Систематическое различение риска и неоднозначности восходит к Ф. Найту (1921) и Дж. М. Кейнсу (1921); эмпирическое подтверждение того, что агенты реагируют на неоднозначность иначе, чем на риск, дано Д. Эллсбергом в статье «Risk, Ambiguity, and the Savage Axioms» (Quarterly Journal of Economics, 1961). Наблюдаемая в этих экспериментах склонность предпочитать лотереи с точно известным распределением лотереям с неизвестным называется неприятием неоднозначности (англ. ambiguity aversion) и служит основанием целого семейства моделей небайесовского выбора.

Ключевые аксиоматические конструкции, описывающие выбор при неоднозначности, — Ожидаемая полезность по Шоке Д. Шмейдлера (CEU, 1989), максиминная ожидаемая полезность И. Гилбоа и Д. Шмейдлера (MEU, 1989), неполные предпочтения Т. Бьюли (1986/2002), α-MEU П. Гирардато, Ф. Маккерони и М. Мариначчи (2004), гладкая модель неоднозначности П. Клибаноффа, М. Мариначчи и С. Мукерджи (2005), вариационные предпочтения Ф. Маккерони, М. Мариначчи и А. Рустикини (2006), рекурсивное расширение MEU Л. Эпстейна и М. Шнайдера (2003) и мультипликативные предпочтения Л. П. Хансена и Т. Дж. Сарджента в рамках робастного управления (2001, аксиоматизированы Т. Стшалецким в 2011). Приложения неоднозначности охватывают портфельный выбор, ценообразование финансовых активов, макроэкономическую динамику, страхование, климатическую политику и теорию контрактов; нейроэкономические исследования (М. Хсу и соавт., 2005; С. Хьюттел и соавт., 2006) выявляют различия в нейронной обработке риска и неоднозначности, при частичном перекрытии соответствующих нейронных сетей.

Терминология и отграничение от смежных понятий

В современной англоязычной литературе термин ambiguity используется в узком техническом смысле: ситуация, в которой убеждения агента невозможно представить единственным аддитивным вероятностным распределением. Русскоязычная литература переводит этот термин по-разному — неоднозначность, двусмысленность, реже неточность вероятностей; в экономико-теоретическом контексте доминирует перевод «неоднозначность», который и принимается как основной. В психологии и родственных дисциплинах встречается также термин «амбивалентность», однако он закреплён в другом, неклассическом для decision theory значении (одновременно противоположное отношение к одному объекту) и здесь не используется.

Классическое различение трёх режимов выбора закреплено у Ф. Найта в книге «Risk, Uncertainty, and Profit» (1921):

• риск — ситуация, в которой вероятности исходов объективно известны (рулетка, страхование с надёжной статистикой);
• неопределённость (в узком, найтовском смысле) — ситуация, в которой объективные вероятности принципиально недоступны.

Большинство реальных бытовых и деловых задач располагается между этими двумя полюсами, и именно для такого промежуточного класса ситуаций и вводится понятие неоднозначности.

В рамках субъективной ожидаемой полезности (SEU) Л. Сэвиджа (1954) это различение формально упраздняется: из аксиом P1—P7 выводится существование единственной субъективной вероятностной меры, и любой рациональный агент ведёт себя так, как если бы он знал вероятности. Неоднозначность в современном понимании — ровно тот остаток, который Сэвидж не улавливает: даже располагая всей доступной информацией, агент не в состоянии выделить единственное распределение и ведёт себя иначе, чем в режиме точно известных вероятностей.

М. Машина и М. Синискальки в главе «Ambiguity and Ambiguity Aversion» из Handbook of the Economics of Risk and Uncertainty (2014) подчёркивают, что отождествление ambiguity с «найтовской неопределённостью» условно: С. Лерой и Л. Сингелл (1987) показали, что собственный текст Найта ближе к различению объективной и субъективной вероятности, а не «одной меры» и «множества мер». Тем не менее в прикладной литературе термины неоднозначность (ambiguity) и найтовская неопределённость (Knightian uncertainty) устойчиво используются как синонимы.

От неоднозначности следует отличать ещё несколько близких категорий:

• неточность (imprecise probability, П. Уолли, 1991) — вероятностная мера задана с интервальной точностью (через нижнюю и верхнюю меры), что формально эквивалентно работе с множеством мер, но развёрнуто на отдельном математическом аппарате;
• модельная неопределённость (model uncertainty, Л. П. Хансен и Т. Дж. Сарджент, 2001; системное изложение — М. Мариначчи, JEEA 2015) — агент не знает, какая из нескольких вероятностных моделей описывает ситуацию; различают неопределённость внутри моделей (состояние при фиксированной модели) и между моделями (над множеством правдоподобных моделей). Неоднозначность в смысле Эллсберга подпадает под понятие между моделями;
• глубокая неопределённость (deep uncertainty, Р. Лемперт и соавт., RAND Corporation) — прикладная категория из системного анализа и стратегического планирования, в которой не согласованы ни набор моделей, ни распределения над параметрами, ни даже описание возможных исходов; глубокая неопределённость покрывает неоднозначность как один из своих компонентов, но шире по сути;
• нечёткость (fuzziness, Л. Заде, 1965) — градуированная принадлежность объекта к классу или расплывчатость самого предиката; это проблема семантики описаний, а не эпистемического статуса вероятностей. Ставка «100 долл., если вынут красный шар» из урны с неизвестной пропорцией цветов — неоднозначна (событие «вынут красный» определено точно, неопределена вероятность); высказывание «Иван — высокий человек» — нечётко (никакой вероятности вообще нет, расплывчат сам предикат);
• неосведомлённость (unawareness) — агент не в состоянии представить все возможные состояния мира; выводит задачу за рамки классического пространства состояний и рассматривается отдельно;
• стратегическая неопределённость — исход зависит от действий других рациональных агентов и анализируется в рамках теории игр.

Необходимо также чётко отличать понятие неприятия неоднозначности (ambiguity aversion) как формальной характеристики предпочтений, описываемой моделями CEU, MEU, smooth ambiguity и вариационным подходом, от более узкого эффекта неоднозначности (ambiguity effect) — когнитивного искажения, изучаемого в поведенческой экономике и представляющего собой лишь одно из поведенческих проявлений аверсии к неоднозначности.

Исторический контекст

Ранние идеи

Идея, что не все виды неуверенности сводятся к единственной вероятностной мере, высказывалась задолго до формального оформления понятия неоднозначности. Дж. М. Кейнс в «A Treatise on Probability» (1921) выделил понятие веса аргумента (weight of argument): две гипотезы могут иметь одинаковую вероятность, но принципиально различаться по количеству и качеству подтверждающих их данных. В том же 1921 году Ф. Найт в книге «Risk, Uncertainty, and Profit» закрепил терминологическое различие между risk и uncertainty.

Последующая маржиналистская и байесовская традиции (Ф. Рамсей, Б. де Финетти, Л. Сэвидж) пошли другим путём и попытались свести любую неуверенность к единственной субъективной вероятности, извлекаемой из наблюдаемого выбора. Теорема Сэвиджа (1954) стала наиболее влиятельным выражением этой программы; в ней выбор при неопределённости моделируется изоморфно выбору при риске.

Парадокс Эллсберга

Центральным событием, вернувшим неоднозначность в поле внимания экономической теории, стала статья Д. Эллсберга «Risk, Ambiguity, and the Savage Axioms» (QJE, 1961). Эллсберг описал два мысленных эксперимента, впоследствии проверенных экспериментально.

Задача двух урн. Урна A содержит 50 красных и 50 чёрных шаров. Урна B содержит 100 шаров, красных и чёрных, но в неизвестной пропорции. Участнику предлагают поставить на красный или на чёрный шар: выигрыш 100 долл. при угадывании цвета, 0 при проигрыше. Типичное поведение: безразличие между ставкой на красный и на чёрный в каждой урне, но строгое предпочтение урны A урне B при ставке на любой заданный цвет. В рамках SEU эти предпочтения несовместимы: если P(красный в B) ≥ P(красный в A) = 1/2, предпочтение A ≻ B при ставке на красный невозможно; симметрично для чёрного.

Задача трёх цветов. Урна содержит 30 красных шаров и 60 шаров, каждый из которых либо чёрный, либо жёлтый, в неизвестной пропорции. Участнику предлагают четыре ставки:

• f₁ — 100 долл., если вынут красный;
• f₂ — 100 долл., если вынут чёрный;
• f₃ — 100 долл., если вынут красный или жёлтый;
• f₄ — 100 долл., если вынут чёрный или жёлтый.

Типичные предпочтения: f₁ ≻ f₂ (ставка на известную вероятность 1/3 предпочтительнее ставки на неизвестную долю чёрных) и f₄ ≻ f₃ (ставка на известную вероятность 2/3 предпочтительнее ставки на неизвестную долю красных и жёлтых). Эти предпочтения напрямую нарушают принцип независимости (sure-thing principle) Сэвиджа: если бы исходы f₁ и f₂ были дополнены одним и тем же событием «выигрыш 100 при жёлтом», агент должен был бы сохранить то же предпочтение.

Эллсберг интерпретировал результат как свидетельство того, что агент различает ставки не только по вероятностям исходов, но и по качеству информации об этих вероятностях. Термин ambiguity закрепился именно в этой работе.

Экспериментальное подтверждение

С. Беккер и Ф. Браунсон (1964) провели одни из первых экспериментов в духе Эллсберга и подтвердили, что участники систематически готовы платить за возможность избежать неоднозначной ставки. Последующие десятилетия расширили эмпирическую базу: К. Камерер и М. Вебер (1992) в Journal of Risk and Uncertainty дали первый систематический обзор; Ш. Траутманн и Г. ван де Куилен (2015) обобщают более 100 экспериментов, фиксируя устойчивый четырёхчастный паттерн (fourfold pattern): неприятие неоднозначности для умеренных и высоких вероятностей в области выигрышей, склонность к неоднозначности для малых вероятностей и для потерь. А. Байон, Ж. Хуан, А. Селим и П. Ваккер в статье «Measuring Ambiguity Attitudes for All (Natural) Events» (Econometrica, 2018) распространили измерение на произвольные события естественной природы, а С. Диммок и соавт. (2015—2016) получили полевые оценки на репрезентативных выборках населения США и Нидерландов.

Формальное описание неоднозначности

Базовая модель

Стандартное пространство выбора в теории неоднозначности строится по схеме Анскомба — Ауманна (Ф. Анскомб, Р. Ауманн, 1963): конечное множество состояний мира S, множество исходов X (обычно — множество простых лотерей над конечным множеством денежных призов), множество действий (acts) F = {f: S → X}. Отношение предпочтения ⪰ определено на F.

В SEU-модели предпочтение представимо интегралом

$V(f)=\underset{S}{\int }u(f(s))dP(s),$

где u — функция полезности в духе фон Неймана — Моргенштерна над исходами, P — единственная аддитивная вероятностная мера. Все модели выбора при неоднозначности модифицируют либо вид функционала V, либо характер входящего в него представления убеждений, а некоторые — и сам статус аксиомы полноты отношения ⪰.

Ожидаемая полезность по Шоке

Первая полноценная аксиоматизация выбора при неоднозначности предложена Д. Шмейдлером в статье «Subjective Probability and Expected Utility without Additivity» (Econometrica, 1989). Убеждения агента представлены не аддитивной вероятностью, а неаддитивной ёмкостью (capacity) — монотонной функцией множеств ν: 2^S → [0, 1] с ν(∅) = 0, ν(S) = 1 и монотонностью по вложению; аддитивность в общем случае не требуется.

Ожидание вычисляется как интеграл Шоке от полезности u(f) по ёмкости ν:

$V(f)=\int u\circ fd\nu =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\nu (\{s:u(f(s))⩾t\})dt-\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}(1-\nu (\{s:u(f(s))⩾t\}\left)\right)dt.$

Центральная аксиома Шмейдлера — комонотонная независимость: классическая vNM-аксиома независимости ослаблена до случая, когда смешиваются действия с одинаковым порядком ранжирования исходов по состояниям. Шмейдлер показал, что выпуклость ёмкости (ν(A ∪ B) + ν(A ∩ B) ≥ ν(A) + ν(B)) эквивалентна представимости ёмкости в виде нижней огибающей семейства аддитивных мер (ядра ёмкости, core). Выпуклость ν интерпретируется как неприятие неоднозначности.

Дж. Квиггин в теории рангово-зависимой полезности (1982) независимо получил изоморфную конструкцию для выбора при риске с нелинейным взвешиванием накопленных вероятностей; П. Ваккер в статье «Under Stochastic Dominance Choquet-Expected Utility and Anticipated Utility are Identical» (Theory and Decision, 1990) показал формальную связь двух подходов.

Максиминная ожидаемая полезность

И. Гилбоа и Д. Шмейдлер в статье «Maxmin Expected Utility with Non-Unique Prior» (Journal of Mathematical Economics, 1989) предложили модель MEU (maxmin expected utility), в которой убеждения агента заданы замкнутым выпуклым множеством вероятностных мер C ⊆ Δ(S), а функция полезности определяется как

$V(f)=\underset{P\in C}{\min }\underset{S}{\int }u(f(s))dP(s).$

По существу агент формирует полезность акта по нижней оценке ожидаемой полезности по всему множеству допустимых мер; чем шире C, тем сильнее неприятие неоднозначности. Ключевая аксиома — независимость относительно постоянных действий (certainty-independence): смешение акта с постоянным (без риска) действием не меняет отношения предпочтения. Эта аксиома слабее стандартной vNM-независимости и допускает отклонения от SEU, но сохраняет независимость на лотерейном уровне.

MEU включает в себя минимаксный критерий А. Вальда (1950) как частный случай, когда C = Δ(S) — агент не имеет вообще никакой содержательной информации. MEU и CEU пересекаются, но не совпадают: любая CEU-функция с выпуклой ёмкостью представима как MEU над ядром ёмкости, однако не всякая MEU-функция соответствует CEU.

Неполные предпочтения Бьюли

Т. Бьюли в работе «Knightian Decision Theory: Part 1» (Cowles Foundation Discussion Paper 807, 1986; опубликована в Decisions in Economics and Finance, 2002) пошёл по альтернативному пути: вместо пессимистической агрегации множества мер C он отказался от аксиомы полноты отношения предпочтения. В модели Бьюли агент сравнивает два акта f и g следующим образом:

$f\succ g⟺\int u(f)dP>\int u(g)dP\text{для всех }P\in C.$

Если один акт доминирует другой по ожидаемой полезности при каждой мере из C, он строго предпочтителен; если же одни меры дают предпочтение f, а другие — g, акты попросту несопоставимы. Для замыкания модели Бьюли ввёл дополнительную аксиому инерции (inertia): агент, находящийся в состоянии статус-кво, переходит к новому акту только тогда, когда тот строго предпочтителен по всем мерам из C. Множество C измеряет степень воспринимаемой неоднозначности так же, как в MEU, но реакция агента качественно другая: MEU — осторожный пессимист, принимающий любое сравнение; бьюлевский агент воздерживается от выбора при конфликте правдоподобных моделей, сохраняя сложившееся положение. Модель Бьюли даёт естественный язык для описания неполных контрактов, инертности портфельных решений и воздержания избирателей.

α-MEU

П. Гирардато, Ф. Маккерони и М. Мариначчи в статье «Differentiating Ambiguity and Ambiguity Attitude» (Journal of Economic Theory, 2004) предложили расширение MEU, позволяющее варьировать отношение к неоднозначности непрерывно между пессимизмом и оптимизмом. Модель задаёт

$V(f)=\alpha \underset{P\in C}{\min }\int u(f)dP+(1-\alpha )\underset{P\in C}{\max }\int u(f)dP,$

где α ∈ [0, 1] интерпретируется как степень неприятия неоднозначности: α = 1 соответствует MEU (полный пессимизм), α = 0 — maxmax (полный оптимизм), α = 1/2 — равновзвешенной комбинации. Конструкция обобщает подход Л. Гурвица (1951) к принятию решений в условиях полной неопределённости.

Отличительная методологическая идея статьи — разделение восприятия неоднозначности (характеристика множества C, отражающая информационную ситуацию агента) и отношения к неоднозначности (параметр α, отражающий субъективную реакцию). Работа также выделила более широкий класс инвариантных биссепарабельных предпочтений (invariant biseparable preferences), включающий CEU, MEU и α-MEU как частные случаи и допускающий аксиоматическое описание через бинарные акты.

Мягкая неоднозначность

П. Клибанофф, М. Мариначчи и С. Мукерджи в статье «A Smooth Model of Decision Making under Ambiguity» (Econometrica, 2005) предложили гладкую модель неоднозначности, в которой функция полезности имеет вид

$V(f)=\underset{\mathrm{\Delta }(S)}{\int }\phi (\underset{S}{\int }u(f(s))dP(s))d\mu (P),$

где μ — субъективная вероятностная мера второго порядка на пространстве Δ(S) вероятностных мер первого порядка, а φ — возрастающая функция, отражающая отношение к неоднозначности. Вогнутость φ соответствует неприятию неоднозначности, выпуклость — склонности, линейность — нейтральности (что возвращает к SEU-ожиданию по P = ∫P dμ).

Модель имеет два существенных методологических преимущества по сравнению с MEU:

• она гладкая (smooth) — функционал V дифференцируем, что упрощает применение в задачах портфельного выбора и макроэкономике;
• она достигает полного разделения восприятия неоднозначности (множество возможных P и мера μ) и отношения к ней (функция φ), что позволяет проводить сравнительную статику по каждому из двух факторов независимо.

Модель также допускает количественный аналог меры Эрроу — Пратта — коэффициент абсолютного неприятия неоднозначности $-{\phi }^{″}(x)/{\phi }^{\prime }(x)$, интерпретируемый как премия за неоднозначность на единицу дисперсии ожидаемых полезностей. Центральное возражение против гладкой модели сформулировано Л. Эпстейном в статье «A Paradox for the "Smooth Ambiguity" Model of Preference» (Econometrica, 2010): автор построил эллсберговский пример, в котором, по его аргументации, гладкая модель вынуждена делать неправдоподобный выбор, а заявленное её авторами разделение восприятия неоднозначности и отношения к ней оказывается операционально несостоятельным. П. Клибанофф, М. Мариначчи и С. Мукерджи ответили в работе «On the Smooth Ambiguity Model: A Reply» (Econometrica, 2012), утверждая, что построенные примеры естественно укладываются в их модель и не подрывают её оснований.

Вариационные и мультипликативные предпочтения

Ф. Маккерони, М. Мариначчи и А. Рустикини в статье «Ambiguity Aversion, Robustness, and the Variational Representation of Preferences» (Econometrica, 2006) охарактеризовали максимально общий класс функционалов неоднозначности, преобразующих vNM-полезность:

$V(f)=\underset{P\in \mathrm{\Delta }(S)}{\min }(\int u(f)dP+c(P)),$

где c — выпуклая «функция стоимости неоднозначности» на множестве всех вероятностных мер. Вариационные предпочтения (variational preferences) включают как частные случаи:

• MEU — когда c(P) = 0 для P ∈ C и +∞ вне C;
• мультипликативные предпочтения Л. П. Хансена и Т. Дж. Сарджента — когда c(P) = θ · R(P||Q), где R — относительная энтропия (дивергенция Кульбака — Лейблера) относительно опорной меры Q, а θ > 0 — параметр робастности;
• ограниченные предпочтения вида c(P) = 0 при R(P||Q) ≤ η и +∞ иначе.

Класс вариационных предпочтений объединил ключевые модели неоднозначности в рамках единой аксиоматики; необходимым и достаточным условием представимости, помимо стандартных аксиом, служит аксиома слабой независимости при определённости. Т. Стшалецкий в статье «Axiomatic Foundations of Multiplier Preferences» (Econometrica, 2011) получил отдельную аксиоматизацию собственно мультипликативных предпочтений Хансена — Сарджента и явно связал параметр θ с наблюдаемым поведением агента, обеспечив возможность его эмпирической калибровки.

Неоднозначность в непрерывном времени и в задачах робастного управления

Л. Г. Эпстейн и М. Шнайдер в статье «Recursive Multiple-Priors» (Journal of Economic Theory, 2003) распространили MEU на задачи многопериодного выбора, показав, что динамическая согласованность (агент не пересматривает долгосрочный план в каждом отдельном периоде) требует прямоугольности (rectangularity) множества мер относительно фиксированной фильтрации: множество мер должно допускать декомпозицию по одношаговым условным распределениям. Обновление убеждений при этом происходит по правилу Байеса отдельно для каждой меры (prior-by-prior updating). Прямоугольность — ограничение на совместное поведение множества мер во времени, а не только на их маргинальные свойства.

Л. П. Хансен и Т. Дж. Сарджент в цикле работ (начиная со статьи «Robust Control and Model Uncertainty», American Economic Review, 2001, и монографии «Robustness», 2008) подошли к выбору при неоднозначности со стороны теории робастного управления: агент опасается, что его опорная модель Q ошибочна, и оптимизирует решение с учётом худшего случая среди моделей P, близких к Q в смысле относительной энтропии. Формально эквивалентность с MEU и вариационными предпочтениями установлена в статье Ф. Маккерони, М. Мариначчи и А. Рустикини (2006); различение же таково: MEU и α-MEU мотивированы поведенчески, мультипликативные предпочтения — статистически, как озабоченность ошибками спецификации модели. М. Мариначчи в обзорной работе «Model Uncertainty» (JEEA, 2015) предложил двухуровневый синтез этих подходов: состояния мира при известной модели образуют неопределённость внутри модели (алеаторная), а сам набор правдоподобных моделей — неопределённость между моделями (эпистемическая), описываемая MEU, smooth ambiguity или вариационным подходом.

Неприятие неоднозначности

Поведение агента, предпочитающего неоднозначной перспективе перспективу с точно заданной вероятностной структурой при том же наборе возможных исходов, называется неприятием неоднозначности (ambiguity aversion). Формальное определение зависит от модели.

Определения

• Определение Шмейдлера (через смешивание): агент проявляет неприятие неоднозначности, если для любых двух актов f ~ g и любого α ∈ (0, 1) выполнено αf + (1 − α)g ⪰ f. По существу: агент предпочитает смеси двух эквивалентных актов каждому из них в отдельности, потому что смесь «сглаживает» неоднозначность. В рамках CEU определение эквивалентно выпуклости ёмкости.
• Определение Эпстейна (через сравнение с SEU): агент проявляет неприятие неоднозначности, если его отношение предпочтения можно получить из некоторой эталонной SEU-модели систематическим сдвигом в пользу менее неоднозначных актов.
• Определение Гирардато — Мариначчи (через сравнение двух агентов): отношение ⪰₂ отражает более сильное неприятие неоднозначности, чем ⪰₁, если для любого акта f и любой постоянной x: f ⪰₂ x влечёт f ⪰₁ x (агент с более сильным неприятием неоднозначности охотнее соглашается на гарантированный исход x вместо неоднозначного акта f). В гладкой модели эквивалентно сравнению вогнутостей функций φ.

Определения не полностью эквивалентны между собой; их различие проанализировано в работах Гирардато — Мариначчи (2002) и в обзоре М. Машины и М. Синискальки (2014).

Эмпирические закономерности

Обширная экспериментальная литература (сводная в Ш. Траутманн и Г. ван де Куилен, «Ambiguity Attitudes», 2015) выявила несколько устойчивых закономерностей:

• в среднем агенты проявляют неприятие неоднозначности для умеренных и высоких вероятностей в области выигрышей, однако, как показали М. Кохер, А. Лано и Ш. Траутманн в статье «Ambiguity Aversion Is Not Universal» (European Economic Review, 2018), этот паттерн не универсален: для малых вероятностей и в области потерь типичная реакция сменяется на нейтральность или склонность к неоднозначности (ambiguity seeking), в совокупности образуя четырёхчастный паттерн, аналогичный паттерну риск-атрибутов в кумулятивной теории перспектив (А. Тверски, Д. Канеман, 1992);
• С. Диммок, Р. Коуэнберг и П. Ваккер в статье «Ambiguity Attitudes in a Large Representative Sample» (Management Science, 2016) показали, что наряду с самой аверсией у людей присутствует отдельная поведенческая компонента — a-нечувствительность (a-insensitivity): тенденция сжимать субъективные вероятности к 1/2, что приводит к переоценке как малых, так и больших значений и на репрезентативной выборке статистически связана с неучастием в фондовом рынке сильнее, чем само неприятие неоднозначности;
• отношение к неоднозначности зависит от источника: один и тот же агент может избегать неоднозначности в ставках на фондовые индексы незнакомых стран, но не на знакомые (эффект компетентности, К. Фокс, А. Тверски, Quarterly Journal of Economics, 1995);
• с возрастом, образованием и финансовой грамотностью отклонение от нейтральности к неоднозначности в среднем уменьшается (С. Диммок и соавт., 2015—2016);
• кратковременные эмоциональные и когнитивные факторы (стресс, нагрузка рабочей памяти) могут усиливать проявление неприятия неоднозначности.

Отдельного упоминания заслуживает результат Й. Халеви (Ellsberg Revisited, Econometrica, 2007): значительная часть экспериментально наблюдаемого неприятия неоднозначности статистически объясняется неприятием составных лотерей (compound lottery aversion) — неспособностью агентов редуцировать двухэтапные лотереи к одноэтапным по правилам теории вероятностей. Те участники, которые корректно редуцируют составные лотереи, в массе не демонстрируют сильного неприятия неоднозначности. Этот результат смещает часть объяснительной нагрузки с «особого отношения к неоднозначности» на более общий механизм нарушения аксиомы редукции составных лотерей и ограничивает сферу, в которой неприятие неоднозначности следует считать самостоятельным предпочтением.

Нейрофизиологические корреляты

М. Хсу, М. Бхатт, Р. Адольфс, Д. Транел и К. Камерер в статье «Neural Systems Responding to Degrees of Uncertainty in Human Decision-Making» (Science, 2005) с помощью функциональной магнитно-резонансной томографии показали, что уровень неоднозначности в задачах выбора положительно коррелирует с активностью миндалевидного тела и орбитофронтальной коры и отрицательно — с активностью стриатной системы, ответственной за кодирование ожидаемого вознаграждения. Пациенты с локальными повреждениями орбитофронтальной коры были нечувствительны к уровню неоднозначности и к уровню риска в поведенческих задачах. Эти данные интерпретированы как свидетельство отдельного нейронного субстрата обработки неоднозначности, а не как частный случай обработки риска. Последующие работы (С. Хьюттел и соавт., Neuron, 2006) уточнили роль префронтальной и париетальной коры в различении двух типов неуверенности.

Нормативный статус

Вопрос о том, является ли неприятие неоднозначности рациональным ответом на информационную ситуацию или когнитивным искажением, остаётся предметом продолжающегося спора.

В пользу рациональности неприятия неоднозначности. И. Гилбоа, А. Постлвейт и Д. Шмейдлер в серии статей (начиная с «Probability and Uncertainty in Economic Modeling», Journal of Economic Perspectives, 2008) и И. Гилбоа и М. Мариначчи в обзоре «Ambiguity and the Bayesian Paradigm» (2013) аргументируют, что байесовская аксиоматика требует от агента обязательств там, где у него нет на то достаточных оснований: агент обязан выбрать единственную меру, даже если располагает минимальной информацией. Возможность выразить неуверенность в самих вероятностях — не когнитивная ошибка, а содержательное свойство разумного агента. С этой позиции неприятие неоднозначности совместимо с нормативным стандартом рациональности, расширенным за пределы SEU.

Против рациональности неприятия неоднозначности. Х. Райффа (1961) и ряд последующих авторов (включая Н. Аль-Наджара и Дж. Вайнштейн в статье «The Ambiguity Aversion Literature: A Critical Assessment», Economics and Philosophy, 2009) указывают, что агента, предпочитающего урну A урне B в задаче двух урн, можно вовлечь в серию ставок по схеме «денежного насоса», в которой он гарантированно теряет — это воспроизводит классический аргумент денежного насоса против нетранзитивных предпочтений. Прагматический анализ, таким образом, склоняется к тому, что устойчивое неприятие неоднозначности несовместимо с требованием долгосрочной согласованности.

Результат Хаммонда. П. Хаммонд в статьях 1988 года показал, что для не-SEU предпочтений над деревьями решений невозможно одновременно сохранить три свойства: динамическую согласованность (плановое решение не пересматривается при достижении узла), консеквенциализм (выбор в узле зависит только от будущих последствий, а не от пути к этому узлу) и собственно существенное отличие от SEU. Любая модель неоднозначности вынуждена отказаться от одного из трёх свойств: модель Эпстейна — Шнайдера (2003) отказывается от обновления вне прямоугольного множества мер, приняв консеквенциализм и динамическую согласованность на ограниченном классе задач; Маккерони и соавт. (2006) и другие работы предлагают альтернативные стратегии компромисса. Этот результат служит центральным формальным ограничением для всех небайесовских моделей.

Калибровочная теорема Рабина (М. Рабин, Econometrica, 2000), сформулированная для отношения к риску, косвенно поддерживает и дискуссию об ambiguity: она показывает, что разумные поведенческие отклонения от SEU-максимизации не всегда объяснимы через кривизну функции полезности, и подталкивает к моделям, в которых нелинейность сосредоточена на вероятностях или на их неоднозначности.

Современная позиция большинства исследователей — неприятие неоднозначности не является ни явной иррациональностью, ни полностью нейтральным в нормативном отношении феноменом: его истолкование зависит от внешней оценки того, насколько информационная ситуация агента действительно недоопределена.

Обновление убеждений

В многопериодных задачах обновление неоднозначных убеждений не сводится к правилу Байеса и не имеет единственного канонического выбора. Основные предлагаемые правила:

• Прямоугольное prior-by-prior обновление (Эпстейн — Шнайдер, 2003) — каждая вероятностная мера из множества C обновляется по Байесу независимо; требует прямоугольности C для сохранения динамической согласованности;
• Обновление по методу максимального правдоподобия (Гилбоа — Шмейдлер, JET 1993) — сохраняются только те меры из C, которые максимизируют правдоподобие наблюдённого события;
• Обновление Демпстера — Шафера для ёмкостей — классическое правило для неаддитивных мер, применяемое в CEU;
• Обновление вариационных предпочтений (Маккерони — Мариначчи — Рустикини, JET 2006) — в общем вариационном подходе с соответствующими требованиями на функцию стоимости c.

Выбор правила обновления — самостоятельное решение при построении модели, а не автоматическое следствие выбора модели: разные правила описывают разное поведение агента при получении информации в неоднозначной среде. К. Нэринг (1999) показал, что при CEU-предпочтениях байесовское обновление остаётся корректным в точности на классе однозначных (unambiguous) событий — событий, на которых ёмкость ведёт себя как аддитивная мера. Обобщение на произвольные события требует одного из перечисленных выше неклассических правил.

Приложения

Финансы и портфельный выбор

Дж. Доу и С. Р. Уэрланг в статье «Uncertainty Aversion, Risk Aversion, and the Optimal Choice of Portfolio» (Econometrica, 1992) показали, что CEU-агент с выпуклой ёмкостью демонстрирует инерцию портфеля (portfolio inertia): существует невырожденный интервал цен, в котором агент не покупает и не продаёт рискованный актив. Это прямое следствие неприятия неоднозначности и отсутствует в стандартной SEU-модели. Инерция интерпретируется как микрооснование для эпизодов временной неликвидности рынков в периоды высокой макроэкономической неоднозначности.

Л. Г. Эпстейн и Т. Ванг в статье «Intertemporal Asset Pricing under Knightian Uncertainty» (Econometrica, 1994) построили динамическую модель ценообразования активов при неоднозначности; Л. Г. Эпстейн и М. Шнайдер в обзоре «Ambiguity and Asset Markets» (Annual Review of Financial Economics, 2010) систематизировали приложения. Неоднозначность предлагается как дополнительное объяснение ряда загадок классической финансовой теории:

• загадка премии по акциям (Р. Мехра, Э. Прескотт, 1985): премия, требуемая инвесторами за держание акций над безрисковой ставкой, в эмпирических данных существенно выше, чем предсказывает стандартная CRRA-модель SEU; модели с ambiguity (П. Маенхоут, Review of Financial Studies, 2004; Н. Цзю, Ц. Мяо, Econometrica, 2012) дают количественно более реалистичные значения премии;
• загадка низкой доли участия в фондовом рынке — значительная часть домохозяйств не держит рискованные активы вообще; модели с инвесторами, избегающими неоднозначности, предсказывают неучастие в равновесии (Х. Као, Т. Ванг, Х. Чжан, Review of Financial Studies, 2005);
• склонность к инвестированию в отечественные активы (home bias) — инвесторы непропорционально высоко взвешивают акции своей страны; эффект компетентности и неприятие неоднозначности дают одно из распространённых объяснений (Р. Уппал, Т. Ванг, Journal of Finance, 2003; К. Пейненбург, Journal of Financial and Quantitative Analysis, 2018);
• избыточная волатильность цен и асимметричная реакция на хорошие и плохие новости (Л. Г. Эпстейн, М. Шнайдер, 2008).

Полевые данные С. Диммока, Р. Коуэнберга, О. Митчелл и К. Пейненбург (статьи 2015—2016) подтверждают, что индивидуально измеряемая степень неприятия неоднозначности положительно связана с неучастием в фондовом рынке, меньшей диверсификацией и более высокой долей отечественных акций.

Макроэкономика и денежная политика

Модели мультипликативных и вариационных предпочтений Л. П. Хансена и Т. Дж. Сарджента применяются в макроэкономике для описания поведения центральных банков и представительных агентов, осознающих возможность ошибки в собственной модели экономики (model misspecification). Это даёт нелинейные по рискам оценочные функции, качественно объясняющие консервативность монетарной политики в периоды высокой неопределённости и временные асимметричные реакции на шоки.

Страхование и здравоохранение

Р. Хогарт и Г. Кунройтер в работе «Risk, Ambiguity, and Insurance» (Journal of Risk and Uncertainty, 1989) экспериментально показали, что в условиях неоднозначности потребители готовы платить страховую премию выше, чем предсказывает SEU, тогда как страховщики назначают премию выше актуарно справедливой — расхождение, способное сжимать или обрушивать рынки страхования редких событий. Последующая литература (М. Хой, Р. Петер, А. Рихтер, Journal of Risk and Uncertainty, 2014, по генетическому тестированию; работы по природным катастрофам и пандемическому страхованию) подтверждает и уточняет эти эффекты: неприятие неоднозначности увеличивает спрос на покрытие редких катастрофических рисков и одновременно затрудняет ценообразование со стороны предложения.

Климатическая политика и общественный выбор

Л. Берже и М. Мариначчи в обзоре «Model Uncertainty in Climate Change Economics» (Environmental and Resource Economics, 2020) применяют аппарат MEU и гладкой модели неоднозначности для обоснования принципа предосторожности (precautionary principle) в оценке долгосрочных сценариев парниковых выбросов. Неполная модельная определённость относительно чувствительности климата к концентрации парниковых газов — классическая ситуация неоднозначности в смысле Найта.

Теория игр и механизмов

Дж. Харшани в теории игр с неполной информацией (1967) допустил неоднозначность типов игроков как вырожденный случай вероятностной неопределённости. Позднее П. Баттигалли, С. Черреа-Вильо, Ф. Маккерони и М. Мариначчи в статье «Self-Confirming Equilibrium and Model Uncertainty» (American Economic Review, 2015) показали, что множество самоподтверждающихся равновесий расширяется с ростом неприятия неоднозначности, что даёт равновесные эффекты, отсутствующие в байесовских играх; С. Мукерджи и Ж.-М. Таллон (Review of Economic Studies, 2001) анализировали равновесные последствия неоднозначности для неполноты финансовых рынков.

Связь с системным анализом и прикладным планированием

В прикладном системном анализе аппарат моделей неоднозначности используется в задачах стратегического и долгосрочного планирования, в которых параметры модели не могут быть оценены единственным распределением: энергетической, климатической, инфраструктурной политике, анализе жизненного цикла технических систем. В этой прикладной традиции за пределами экономической теории устойчиво употребляется понятие глубокой неопределённости (deep uncertainty), развитое Р. Лемпертом, С. Поппером и С. Бэнксом в RAND Corporation (начиная с работы «Shaping the Next One Hundred Years», 2003, MR-1626-RPC) и лежащее в основе таких методик, как Robust Decision Making (RDM, робастное принятие решений) и Dynamic Adaptive Policy Pathways (DAPP, динамически адаптивные траектории политики). Глубокая неопределённость содержит неоднозначность в смысле Эллсберга как частный случай, но включает также несогласованность участников о границах системы, о наборе допустимых моделей и о ценностных функциях. Связь с аппаратом, описанным в настоящей статье, реализуется преимущественно через MEU-функционалы и гладкую модель неоднозначности, позволяющие формально описать поиск робастных к набору моделей решений. Близкую, но формально самостоятельную дисциплину образует теория информационных разрывов (info-gap decision theory, И. Бен-Хаим), в которой неопределённость параметров модели описывается семейством вложенных множеств отклонения от номинальной оценки, а критерий выбора — максимальный радиус отклонения, при котором решение сохраняет приемлемые характеристики. Этот круг методов операционно близок к современной распределённо-робастной оптимизации (distributionally robust optimization) и к робастным марковским процессам принятия решений, используемым в операционных исследованиях и машинном обучении.

Критика и нерешённые вопросы

Несмотря на зрелость теоретического аппарата, неоднозначность остаётся предметом живой методологической дискуссии.

• Контрпримеры Машины. М. Машина в работе «Risk, Ambiguity, and the Rank-Dependence Axioms» (American Economic Review, 2009) построил два мысленных эксперимента — пример с соотношением 50:51 и зеркальный пример (reflection example), — в которых правдоподобные предпочтения не рационализуются стандартной CEU-моделью. А. Байон, О. Л’Аридон и Л. Пласидо в статье «Ambiguity Models and the Machina Paradoxes» (American Economic Review, 2011) распространили этот результат: примеры Машины фальсифицируют одновременно CEU, MEU, вариационные предпочтения, α-MEU и гладкую модель неоднозначности. Это показывает, что ни одна из классических моделей не охватывает весь спектр правдоподобных реакций на неоднозначность.
• Проблема операциональной идентификации. В моделях типа гладкой неоднозначности и α-MEU формально разделены восприятие и отношение к неоднозначности, однако из наблюдаемого выбора эти два компонента не поддаются однозначному разделению (Л. Эпстейн, 2010; И. Гилбоа и соавт., 2011). На практике калибровка требует дополнительных поведенческих данных или структурных предположений. Р. Кубитт, Г. ван де Куилен и С. Мукерджи в статье «Discriminating Between Models of Ambiguity Attitude: A Qualitative Test» (JEEA, 2020) предложили экспериментальный дизайн для качественного различения smooth ambiguity и α-MEU; на их выборке чувствительных к неоднозначности испытуемых данные сильнее согласовались с гладкой моделью.
• Динамическая согласованность. Согласно результату Хаммонда (1988), для не-SEU предпочтений невозможно одновременно сохранить динамическую согласованность, консеквенциализм и существенное неприятие неоднозначности. Для многопериодных моделей сохранение согласованности требует либо сильных ограничений на структуру множества мер (прямоугольность у Эпстейна — Шнайдера), либо отказа от консеквенциализма (модели с зависимостью от пути).
• Сводимость к неприятию составных лотерей. Результат Халеви (2007) показал, что значительная часть эффекта, классически приписываемого неприятию неоднозначности, статистически объясняется неспособностью редуцировать составные лотереи к простым. Это ставит вопрос о том, какая именно доля поведения в парадоксе Эллсберга требует самостоятельного конструкта «неоднозначность», а какая сводится к более общим нарушениям аксиоматики vNM.
• Эксперименты вне SEU и классических моделей неоднозначности. К. Кузмикс, Б. Роджерс и С. Чжан в работе «An Ellsberg Paradox for Ambiguity Aversion» (2022) представили экспериментальный дизайн, в котором наблюдаемое поведение не рационализуется ни одной из классических моделей неоднозначности; это продолжает линию критики Машины новыми контрпримерами.
• Роль процедуры выявления. Работы С. Х. Чу, М. Рэтчфорда и Я. Саги (Economic Journal, 2018) показали, что часть проявлений неприятия неоднозначности у участников с низким уровнем понимания задачи связана с избеганием сложности формулировки, а не с реакцией на существо информационной ситуации; это ставит вопрос о границе между отношением к неоднозначности и более общими когнитивными ограничениями (см. Когнитивные искажения).
• Соотношение с теорией полезности в общем смысле. Модели неоднозначности обычно строятся на базе vNM-полезности для рисковой части, но некоторые расширения (У. Сегал, 1987; П. Ваккер, 2010) вводят неоднозначность непосредственно на уровне взвешивания вероятностей, что приближает теорию к кумулятивной теории перспектив.

См. также

• Теория принятия решений
• Принятие решений в условиях неопределенности
• Принятие решений в условиях риска
• Риск
• Неопределённость
• Теория полезности
• Критерии принятия решений
• Альтернатива
• Предпочтения
• Когнитивные искажения
• Нечеткая логика в принятии решений
• Сценарный анализ

Ссылки

• Ambiguity aversion — статья английской Википедии о неприятии неоднозначности как формальной характеристике предпочтений в моделях теории принятия решений.
• Ellsberg paradox — статья английской Википедии о парадоксе Эллсберга.
• Эффект неоднозначности — статья русской Википедии, описывающая ambiguity effect как когнитивное искажение; это более узкое поведенческое понятие, чем общее формальное неприятие неоднозначности (ambiguity aversion), являющееся предметом настоящей статьи.

Литература

• Knight F. H. Risk, Uncertainty, and Profit. — Boston: Houghton Mifflin, 1921.
• Keynes J. M. A Treatise on Probability. — London: Macmillan, 1921.
• Savage L. J. The Foundations of Statistics. — New York: Wiley, 1954.
• Anscombe F. J., Aumann R. J. A Definition of Subjective Probability // Annals of Mathematical Statistics. — 1963. — Vol. 34, No. 1. — P. 199—205.
• Ellsberg D. Risk, Ambiguity, and the Savage Axioms // Quarterly Journal of Economics. — 1961. — Vol. 75, No. 4. — P. 643—669.
• Zadeh L. A. Fuzzy Sets // Information and Control. — 1965. — Vol. 8, No. 3. — P. 338—353.
• Becker S. W., Brownson F. O. What Price Ambiguity? or the Role of Ambiguity in Decision-Making // Journal of Political Economy. — 1964. — Vol. 72, No. 1. — P. 62—73.
• Raiffa H. Risk, Ambiguity, and the Savage Axioms: Comment // Quarterly Journal of Economics. — 1961. — Vol. 75, No. 4. — P. 690—694.
• Bewley T. F. Knightian Decision Theory: Part 1. — Cowles Foundation Discussion Paper 807, 1986; опубликовано: Decisions in Economics and Finance. — 2002. — Vol. 25. — P. 79—110.
• LeRoy S., Singell L. Knight on Risk and Uncertainty // Journal of Political Economy. — 1987. — Vol. 95, No. 2. — P. 394—406.
• Mehra R., Prescott E. C. The Equity Premium: A Puzzle // Journal of Monetary Economics. — 1985. — Vol. 15, No. 2. — P. 145—161.
• Hammond P. J. Consequentialist Foundations for Expected Utility // Theory and Decision. — 1988. — Vol. 25, No. 1. — P. 25—78.
• Hogarth R. M., Kunreuther H. Risk, Ambiguity, and Insurance // Journal of Risk and Uncertainty. — 1989. — Vol. 2, No. 1. — P. 5—35.
• Schmeidler D. Subjective Probability and Expected Utility without Additivity // Econometrica. — 1989. — Vol. 57, No. 3. — P. 571—587.
• Gilboa I., Schmeidler D. Maxmin Expected Utility with Non-Unique Prior // Journal of Mathematical Economics. — 1989. — Vol. 18, No. 2. — P. 141—153.
• Gilboa I., Schmeidler D. Updating Ambiguous Beliefs // Journal of Economic Theory. — 1993. — Vol. 59, No. 1. — P. 33—49.
• Wakker P. P. Under Stochastic Dominance Choquet-Expected Utility and Anticipated Utility are Identical // Theory and Decision. — 1990. — Vol. 29, No. 2. — P. 119—132.
• Walley P. Statistical Reasoning with Imprecise Probabilities. — London: Chapman & Hall, 1991.
• Tversky A., Kahneman D. Advances in Prospect Theory: Cumulative Representation of Uncertainty // Journal of Risk and Uncertainty. — 1992. — Vol. 5, No. 4. — P. 297—323.
• Dow J., Werlang S. R. C. Uncertainty Aversion, Risk Aversion, and the Optimal Choice of Portfolio // Econometrica. — 1992. — Vol. 60, No. 1. — P. 197—204.
• Camerer C., Weber M. Recent Developments in Modeling Preferences: Uncertainty and Ambiguity // Journal of Risk and Uncertainty. — 1992. — Vol. 5, No. 4. — P. 325—370.
• Fox C. R., Tversky A. Ambiguity Aversion and Comparative Ignorance // Quarterly Journal of Economics. — 1995. — Vol. 110, No. 3. — P. 585—603.
• Epstein L. G., Wang T. Intertemporal Asset Pricing under Knightian Uncertainty // Econometrica. — 1994. — Vol. 62, No. 2. — P. 283—322.
• Epstein L. G. A Definition of Uncertainty Aversion // Review of Economic Studies. — 1999. — Vol. 66, No. 3. — P. 579—608.
• Nehring K. Capacities and Probabilistic Beliefs: A Precarious Coexistence // Mathematical Social Sciences. — 1999. — Vol. 38, No. 2. — P. 197—213.
• Rabin M. Risk Aversion and Expected-Utility Theory: A Calibration Theorem // Econometrica. — 2000. — Vol. 68, No. 5. — P. 1281—1292.
• Hansen L. P., Sargent T. J. Robust Control and Model Uncertainty // American Economic Review. — 2001. — Vol. 91, No. 2. — P. 60—66.
• Hansen L. P., Sargent T. J. Robustness. — Princeton: Princeton University Press, 2008.
• Epstein L. G., Schneider M. Recursive Multiple-Priors // Journal of Economic Theory. — 2003. — Vol. 113, No. 1. — P. 1—31.
• Epstein L. G., Schneider M. Ambiguity and Asset Markets // Annual Review of Financial Economics. — 2010. — Vol. 2. — P. 315—346.
• Ghirardato P., Marinacci M. Ambiguity Made Precise: A Comparative Foundation // Journal of Economic Theory. — 2002. — Vol. 102, No. 2. — P. 251—289.
• Ghirardato P., Maccheroni F., Marinacci M. Differentiating Ambiguity and Ambiguity Attitude // Journal of Economic Theory. — 2004. — Vol. 118, No. 2. — P. 133—173.
• Klibanoff P., Marinacci M., Mukerji S. A Smooth Model of Decision Making under Ambiguity // Econometrica. — 2005. — Vol. 73, No. 6. — P. 1849—1892.
• Klibanoff P., Marinacci M., Mukerji S. Recursive Smooth Ambiguity Preferences // Journal of Economic Theory. — 2009. — Vol. 144, No. 3. — P. 930—976.
• Klibanoff P., Marinacci M., Mukerji S. On the Smooth Ambiguity Model: A Reply // Econometrica. — 2012. — Vol. 80, No. 3. — P. 1303—1321.
• Maccheroni F., Marinacci M., Rustichini A. Ambiguity Aversion, Robustness, and the Variational Representation of Preferences // Econometrica. — 2006. — Vol. 74, No. 6. — P. 1447—1498.
• Maccheroni F., Marinacci M., Rustichini A. Dynamic Variational Preferences // Journal of Economic Theory. — 2006. — Vol. 128, No. 1. — P. 4—44.
• Strzalecki T. Axiomatic Foundations of Multiplier Preferences // Econometrica. — 2011. — Vol. 79, No. 1. — P. 47—73.
• Maenhout P. J. Robust Portfolio Rules and Asset Pricing // Review of Financial Studies. — 2004. — Vol. 17, No. 4. — P. 951—983.
• Cao H. H., Wang T., Zhang H. H. Model Uncertainty, Limited Market Participation, and Asset Prices // Review of Financial Studies. — 2005. — Vol. 18, No. 4. — P. 1219—1251.
• Uppal R., Wang T. Model Misspecification and Underdiversification // Journal of Finance. — 2003. — Vol. 58, No. 6. — P. 2465—2486.
• Hsu M., Bhatt M., Adolphs R., Tranel D., Camerer C. F. Neural Systems Responding to Degrees of Uncertainty in Human Decision-Making // Science. — 2005. — Vol. 310, No. 5754. — P. 1680—1683.
• Huettel S. A., Stowe C. J., Gordon E. M., Warner B. T., Platt M. L. Neural Signatures of Economic Preferences for Risk and Ambiguity // Neuron. — 2006. — Vol. 49, No. 5. — P. 765—775.
• Halevy Y. Ellsberg Revisited: An Experimental Study // Econometrica. — 2007. — Vol. 75, No. 2. — P. 503—536.
• Al-Najjar N. I., Weinstein J. The Ambiguity Aversion Literature: A Critical Assessment // Economics and Philosophy. — 2009. — Vol. 25, No. 3. — P. 249—284.
• Machina M. J. Risk, Ambiguity, and the Rank-Dependence Axioms // American Economic Review. — 2009. — Vol. 99, No. 1. — P. 385—392.
• Baillon A., L’Haridon O., Placido L. Ambiguity Models and the Machina Paradoxes // American Economic Review. — 2011. — Vol. 101, No. 4. — P. 1547—1560.
• Epstein L. G. A Paradox for the «Smooth Ambiguity» Model of Preference // Econometrica. — 2010. — Vol. 78, No. 6. — P. 2085—2099.
• Gilboa I., Marinacci M. Ambiguity and the Bayesian Paradigm // Advances in Economics and Econometrics / Ed. by D. Acemoglu, M. Arellano, E. Dekel. — Cambridge: Cambridge University Press, 2013. — Vol. 1. — P. 179—242.
• Etner J., Jeleva M., Tallon J.-M. Decision Theory under Ambiguity // Journal of Economic Surveys. — 2012. — Vol. 26, No. 2. — P. 234—270.
• Machina M. J., Siniscalchi M. Ambiguity and Ambiguity Aversion // Handbook of the Economics of Risk and Uncertainty / Ed. by M. J. Machina, W. K. Viscusi. — Amsterdam: North-Holland, 2014. — Vol. 1. — P. 729—807.
• Marinacci M. Model Uncertainty // Journal of the European Economic Association. — 2015. — Vol. 13, No. 6. — P. 1022—1100.
• Battigalli P., Cerreia-Vioglio S., Maccheroni F., Marinacci M. Self-Confirming Equilibrium and Model Uncertainty // American Economic Review. — 2015. — Vol. 105, No. 2. — P. 646—677.
• Hoy M., Peter R., Richter A. Take-up for Genetic Tests and Ambiguity // Journal of Risk and Uncertainty. — 2014. — Vol. 48, No. 2. — P. 111—133.
• Trautmann S. T., van de Kuilen G. Ambiguity Attitudes // The Wiley Blackwell Handbook of Judgment and Decision Making / Ed. by G. Keren, G. Wu. — Oxford: Wiley Blackwell, 2015. — P. 89—116.
• Wakker P. P. Prospect Theory: For Risk and Ambiguity. — Cambridge: Cambridge University Press, 2010.
• Dimmock S. G., Kouwenberg R., Wakker P. P. Ambiguity Attitudes in a Large Representative Sample // Management Science. — 2016. — Vol. 62, No. 5. — P. 1363—1380.
• Dimmock S. G., Kouwenberg R., Mitchell O. S., Peijnenburg K. Ambiguity Aversion and Household Portfolio Choice Puzzles: Empirical Evidence // Journal of Financial Economics. — 2016. — Vol. 119, No. 3. — P. 559—577.
• Baillon A., Huang Z., Selim A., Wakker P. P. Measuring Ambiguity Attitudes for All (Natural) Events // Econometrica. — 2018. — Vol. 86, No. 5. — P. 1839—1858.
• Kocher M. G., Lahno A. M., Trautmann S. T. Ambiguity Aversion Is Not Universal // European Economic Review. — 2018. — Vol. 101. — P. 268—283.
• Chew S. H., Ratchford M., Sagi J. S. You Need to Recognise Ambiguity to Avoid It // Economic Journal. — 2018. — Vol. 128, No. 614. — P. 2480—2506.
• Cubitt R., van de Kuilen G., Mukerji S. Discriminating Between Models of Ambiguity Attitude: A Qualitative Test // Journal of the European Economic Association. — 2020. — Vol. 18, No. 2. — P. 708—749.
• Berger L., Marinacci M. Model Uncertainty in Climate Change Economics: A Review and Proposed Framework for Future Research // Environmental and Resource Economics. — 2020. — Vol. 77, No. 3. — P. 475—501.
• Kuzmics C., Rogers B. W., Zhang X. An Ellsberg Paradox for Ambiguity Aversion. — arXiv:2212.03603, 2022.
• Peijnenburg K. Life-Cycle Asset Allocation with Ambiguity Aversion and Learning // Journal of Financial and Quantitative Analysis. — 2018. — Vol. 53, No. 5. — P. 1963—1994.
• Ju N., Miao J. Ambiguity, Learning, and Asset Returns // Econometrica. — 2012. — Vol. 80, No. 2. — P. 559—591.
• Mukerji S., Tallon J.-M. Ambiguity Aversion and Incompleteness of Financial Markets // Review of Economic Studies. — 2001. — Vol. 68, No. 4. — P. 883—904.
• Ben-Haim Y. Info-Gap Decision Theory: Decisions under Severe Uncertainty. — 2nd ed. — London: Academic Press, 2006.
• Lempert R. J., Popper S. W., Bankes S. C. Shaping the Next One Hundred Years: New Methods for Quantitative, Long-Term Policy Analysis. — Santa Monica: RAND Corporation, 2003. — MR-1626-RPC.
• Gilboa I. Theory of Decision under Uncertainty. — Cambridge: Cambridge University Press, 2009.
• Steele K., Stefánsson H. O. Decision Theory // Stanford Encyclopedia of Philosophy / Ed. by E. N. Zalta, U. Nodelman. — Stanford, 2015 (substantive revision 2025). — URL: https://plato.stanford.edu/entries/decision-theory/