Теория принятия решений

Теория принятия решений — междисциплинарное научное направление, ориентированное на разработку методов, моделей и процедур, обеспечивающих рациональный и обоснованный выбор одного или нескольких вариантов действий в условиях ограниченности ресурсов, множественности целей, неопределённости и риска.

В современной науке теория принятия решений структурируется по трём взаимодополняющим направлениям: нормативному (как должен выбирать идеально рациональный агент), дескриптивному (как люди принимают решения в действительности) и прескриптивному (какие инструменты помогают реальному лицу, принимающему решение, приблизиться к рациональному выбору). Это разграничение, закреплённое в работе Д. Белла, Г. Райффы и А. Тверски (1988), определяет архитектуру дисциплины.

Общее определение

Принятие решения — осознанный процесс выбора наилучшего, в том или ином смысле, варианта из заданного множества допустимых альтернатив. В профессиональной деятельности этот процесс приобретает характер специфической формы человеческой активности, особенно значимой в управлении, проектировании, планировании и других видах целенаправленного поведения.

Суть теории принятия решений — в том, чтобы обеспечить лицо, принимающее решение (ЛПР), средствами:

• формализации проблемы,
• выявления множества допустимых решений,
• оценки возможных последствий,
• обоснованного выбора предпочтительных альтернатив с точки зрения заданных целей и ограничений.

Цели и задачи теории

Основная цель теории принятия решений — разработка инструментов рационального выбора. К числу её задач относятся:

• построение моделей предпочтений и целей;
• описание условий неопределённости, риска, конфликта;
• формализация процесса оценки альтернатив;
• разработка процедур сравнения, ранжирования, агрегации и отбора вариантов;
• анализ устойчивости и обоснованности решений;
• создание моделей и алгоритмов поддержки принятия решений.

Нормативная теория и аксиоматические основания

Нормативная теория решений отвечает на вопрос о том, как должен поступать идеально рациональный агент. Её отправная точка — матрица решений (decision matrix): строки соответствуют альтернативам (действиям), столбцы — состояниям внешней среды, а ячейки — исходам. Задача состоит в выборе строки, которая оптимальна с точки зрения заданного критерия.

Наиболее элементарный критерий — доминирование: альтернатива $A$ доминирует альтернативу $B$, если она приносит не худший исход при любом состоянии среды и строго лучший хотя бы при одном. В условиях риска этот принцип обобщается до стохастического доминирования: альтернатива стохастически доминирует другую, если её кумулятивная функция распределения нигде не выше. Принцип доминирования принимается практически всеми нормативными моделями и служит минимальным условием рациональности.

Теория ожидаемой полезности

Фундамент нормативной теории — теория ожидаемой полезности (Expected Utility Theory), восходящая к работе Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение» (1944; аксиоматика ожидаемой полезности — 1947). Сама идея полезности как меры, отличной от денежного выигрыша, была предложена Д. Бернулли (1738) в ответ на Санкт-Петербургский парадокс — задачу, в которой математическое ожидание выигрыша бесконечно, но никто не готов заплатить за участие произвольно большую сумму. Идея извлечения субъективных вероятностей и полезностей из предпочтений была впервые предложена Ф. П. Рэмси (1926). Согласно теории ожидаемой полезности, рациональный агент выбирает альтернативу, максимизирующую математическое ожидание функции полезности по всем возможным исходам:

$EU(a)=\sum _i{p}_i\cdot u(x_i)$,

где $a$ — альтернатива, $p_i$ — вероятность исхода $x_i$, $u$ — функция полезности.

Ключевые аксиомы — полнота, транзитивность, непрерывность и независимость предпочтений. Последняя аксиома (если $A\succ B$, то и смесь $A$ с любой $C$ предпочтительнее смеси $B$ с $C$ при тех же пропорциях) является наиболее дискуссионной: парадокс Алле демонстрирует её нарушение в контексте объективных вероятностей. Парадокс Эллсберга, в свою очередь, нарушает близкий по смыслу принцип гарантированного результата (sure-thing principle) в аксиоматике Сэвиджа, касающейся субъективных вероятностей. Выполнение аксиом гарантирует существование числовой функции полезности (теорема о представлении): предпочтения агента можно представить как максимизацию EU.

Важно различать два типа полезности. Ординальная (порядковая) полезность лишь задаёт ранжирование альтернатив: она уникальна с точностью до произвольного монотонного преобразования. Кардинальная (количественная) полезность допускает сравнение разностей между оценками и уникальна с точностью до положительного линейного преобразования ($u^{\prime }=\alpha \cdot u+\beta$, $\alpha >0$). Именно кардинальная полезность используется в формуле ожидаемой полезности.

Форма кривой функции полезности $u(x)$ отражает отношение ЛПР к риску: вогнутая функция соответствует неприятию риска (risk aversion), выпуклая — склонности к риску, линейная — нейтральности.

Субъективная ожидаемая полезность

Развитием классической модели стала субъективная ожидаемая полезность (SEU) Л. Сэвиджа (1954), в которой вероятности не задаются объективно, а формируются самим ЛПР на основе его убеждений. Сэвидж предложил собственную систему аксиом, из которой одновременно выводятся и субъективная вероятностная мера, и функция полезности. Близкий результат получили Ф. Аншкомб и Р. Ауманн (1963), предложившие аксиоматику, допускающую как объективные, так и субъективные вероятности.

Отдельное направление — субъективная вероятность как мера убеждений, восходящая к Б. де Финетти (1937): вероятность определяется через готовность агента заключать пари, а теорема де Финетти обосновывает согласованность субъективных оценок.

Интерпретации вероятности и байесианизм

Вопрос об основаниях теории решений неразрывно связан со спором об интерпретациях вероятности. Классическая интерпретация (П.-С. Лаплас) определяет вероятность через равновозможность исходов. Частотная (объективистская) интерпретация (Р. фон Мизес, Дж. Нейман, Э. Пирсон) трактует вероятность как предел относительной частоты в повторяющейся серии экспериментов. Субъективистская интерпретация (Ф. П. Рэмси, Б. де Финетти, Л. Сэвидж) определяет вероятность как степень уверенности агента, выводимую из его предпочтений. Логическая интерпретация (Дж. М. Кейнс, Р. Карнап) рассматривает вероятность как объективную меру подтверждения гипотезы данными.

Это деление порождает два конкурирующих подхода в теории решений. Байесовская теория решений требует, чтобы у агента было полное априорное распределение по пространству состояний; решения принимаются путём максимизации субъективной ожидаемой полезности, а убеждения обновляются по правилу Байеса. Небайесовская теория решений (включая частотную статистическую теорию Неймана — Пирсона и минимаксный подход Вальда) отказывается от единственного априорного распределения и оценивает решающие правила по худшему случаю или по частотным свойствам. Современные подходы при неоднозначности (ambiguity) — такие как модели множественных априорных распределений — занимают промежуточное положение.

Центральные прагматические аргументы в пользу байесовских аксиом: аргумент голландской книги (Dutch book) — если субъективные вероятности агента не удовлетворяют аксиомам, то можно построить набор пари, при котором агент гарантированно проигрывает; и money pump — если предпочтения нетранзитивны, агента можно заставить платить за бесконечную цепочку обменов. Де Финетти (1937) доказал, что согласованные степени уверенности удовлетворяют аксиомам вероятности; отдельный аргумент диахронической голландской книги (П. Теллер, 1973; Д. Льюис, 1999) обосновывает обновление убеждений по правилу Байеса. Критика байесианизма включает вопросы о полноте предпочтений, чувствительности к выбору априорного распределения и проблему неоднозначности (ambiguity), которая рассматривается ниже.

Каузальная и эвиденциальная теории решений

В философии принятия решений выделяют два конкурирующих подхода к трактовке связи между действиями и исходами. Эвиденциальная теория решений (EDT, Р. Джеффри, 1965) оценивает действия по условной вероятности желаемых исходов при условии совершения данного действия. Каузальная теория решений (CDT, Д. Льюис, 1981; Дж. Джойс, 1999) требует, чтобы учитывалась причинная связь между действием и исходом, а не корреляция. Различие проявляется в задачах с общими причинами (задача Ньюкомба) и остаётся предметом активных дискуссий.

Статистическая теория решений

Статистическая теория решений (Дж. Нейман, А. Вальд, Дж. Бергер) рассматривает выбор как задачу построения оптимального решающего правила (decision rule) — функции, отображающей наблюдаемые данные в пространство действий. Центральные понятия:

• функция потерь (loss function) $L(\theta ,d)$ — величина потерь при действии $d$, когда истинное состояние природы — $\theta$;
• функция риска (risk function) $R(\theta ,\delta )=E_{\theta }[L(\theta ,\delta (X))]$ — ожидаемые потери решающего правила $\delta$ при заданном $\theta$;
• допустимость (admissibility) — решающее правило допустимо, если не существует другого правила с не большим риском при всех $\theta$ и строго меньшим хотя бы при одном;
• байесовское правило — минимизирует средний риск относительно априорного распределения по $\theta$;
• минимаксное правило — минимизирует максимальный риск по всем возможным $\theta$.

Статистическая теория решений соединяет нормативную теорию выбора с математической статистикой и лежит в основе байесовского вывода, теории оценивания и проверки гипотез.

Важный результат — теорема о полном классе (complete class theorem): при определённых условиях регулярности каждое допустимое решающее правило является байесовским или предельно байесовским. Это означает, что любое разумное решающее правило может быть аппроксимировано байесовским при некотором выборе априорного распределения — фундаментальный мост между частотной и байесовской парадигмами.

В рамках статистической теории решений задачи оценивания параметров, проверки гипотез и построения доверительных областей рассматриваются как частные случаи выбора оптимального решающего правила при соответствующей функции потерь: квадратичной — для оценивания, 0–1 — для проверки гипотез.

Дескриптивная теория

Дескриптивная теория исследует, как люди принимают решения в действительности, и фиксирует систематические отклонения от нормативных моделей.

Ограниченная рациональность

Г. Саймон (1955) показал, что реальное ЛПР не способно перебрать и оценить все альтернативы. Вместо максимизации полезности человек использует принцип удовлетворительного выбора (satisficing) — выбирает первый вариант, удовлетворяющий приемлемому уровню притязаний.

Теория перспектив

Д. Канеман и А. Тверски (1979) предложили модель, в которой ЛПР оценивает исходы не по абсолютной величине, а по отклонению от некоторой точки отсчёта. Функция ценности в теории перспектив асимметрична (S-образна): потери воспринимаются острее, чем эквивалентные выигрыши (неприятие потерь). Вероятности трансформируются нелинейно: малые вероятности завышаются, большие — занижаются. В 1992 году Тверски и Канеман предложили совокупную теорию перспектив, распространившую модель на произвольное число исходов и обеспечившую совместимость со стохастическим доминированием.

Когнитивные эвристики, искажения и парадоксы

К важнейшим результатам дескриптивной теории относятся также:

• когнитивные эвристики — упрощённые стратегии суждения (эвристика доступности, репрезентативности, привязки);
• когнитивные искажения — систематические ошибки, в частности эффект фрейминга (нарушение аксиомы инвариантности описания), ошибка невозвратных затрат, чрезмерная уверенность;
• парадоксы — экспериментальные нарушения аксиом нормативной теории (парадокс Алле, парадокс Эллсберга).

Натуралистическое принятие решений

Направление натуралистического принятия решений (Naturalistic Decision Making, Г. Клейн) исследует, как опытные профессионалы — хирурги, пожарные, пилоты, военные — принимают решения в реальных условиях: под давлением времени, при неполной информации и высоких ставках. В отличие от лабораторных исследований когнитивных искажений, здесь акцент делается на распознавании образов и ситуационной осведомлённости (recognition-primed decision model).

Условия принятия решений

Ф. Найт (1921) выделил три базовых типа условий: определённость, риск и неопределённость. В расширенной классификации отдельно рассматривается четвёртый тип — конфликт, при котором исход зависит от действий рационального противника.

Принятие решений в условиях определённости

ЛПР точно знает, к какому исходу приведёт каждая альтернатива. Задача сводится к оптимизации целевой функции на множестве допустимых решений. Сюда относятся классические задачи математического программирования — линейного, нелинейного, целочисленного.

Принятие решений в условиях риска

Исходы альтернатив зависят от состояний среды, вероятности которых известны или могут быть оценены. Базовый инструмент — максимизация ожидаемой полезности (или ожидаемой денежной стоимости, EMV). Типичные модели: деревья решений, байесовский анализ, критерий Байеса.

Принятие решений в условиях неопределённости

Вероятности состояний среды неизвестны и не могут быть обоснованно оценены. Для выбора применяются критерии, отражающие различные стратегии отношения к неизвестности:

• критерий Вальда (максимин) — выбор альтернативы с наилучшим из наихудших исходов; стратегия крайнего пессимизма;
• критерий максимакса — выбор альтернативы с наилучшим из наилучших исходов; стратегия крайнего оптимизма;
• критерий Гурвица — взвешенная комбинация оптимизма и пессимизма с параметром $\alpha \in [0,1]$;
• критерий Сэвиджа (минимакс сожалений) — минимизация максимального упущенного выигрыша;
• критерий Лапласа — равновероятное предположение о состояниях среды и максимизация среднего выигрыша.

Для формализации выбора в условиях нестрогой, лингвистической информации применяется аппарат теории нечётких множеств (Л. Заде, 1965), получивший широкое распространение в современных методах MCDM (Fuzzy AHP, Fuzzy TOPSIS).

Выбор при неоднозначности (ambiguity)

Парадокс Эллсберга показал, что ЛПР систематически различают ситуации с известными и неизвестными вероятностями, проявляя неприятие неоднозначности (ambiguity aversion). Это наблюдение стимулировало разработку моделей, обобщающих классическую EU-теорию:

• Ожидаемая полезность Шоке (Choquet Expected Utility, Д. Шмейдлер, 1989) — вероятности заменяются неаддитивной ёмкостью (capacity), а интегрирование ведётся по Шоке;
• Максиминная ожидаемая полезность (Maxmin EU, И. Гильбоа, Д. Шмейдлер, 1989) — ЛПР рассматривает множество правдоподобных распределений вероятностей и максимизирует EU при наихудшем из них;
• Модель множественных априорных распределений (multiple priors) — обобщение, в котором ЛПР оперирует не одним, а целым семейством вероятностных мер.

Эти модели образуют активно развивающийся пласт современной теории решений, соединяющий аксиоматическую теорию, экономику неопределённости и философию вероятности.

Принятие решений в условиях конфликта

Результат зависит от действий рационального противника, преследующего собственные цели. Формальный аппарат здесь — теория игр. Основные результаты включают теорему о минимаксе (Дж. фон Нейман, 1928), гарантирующую существование оптимальных смешанных стратегий (случайного выбора между действиями) в антагонистических играх, и равновесие Нэша (Дж. Нэш, 1950) — набор стратегий, при котором ни одному из участников невыгодно в одностороннем порядке менять свою стратегию.

Задачи теории игр различаются по нескольким основаниям: антагонистические игры с нулевой суммой; некооперативные игры общего вида; кооперативные игры, в которых участники могут заключать обязывающие соглашения (задачи о торге, решение Нэша); повторяющиеся (repeated) игры, где стратегическое поведение меняется благодаря возможности наказания и сотрудничества; эволюционные игры, моделирующие адаптацию стратегий в популяции.

Канонические примеры — дилемма заключённого (конфликт индивидуальной и коллективной рациональности), игра «Битва полов» (проблема координации) и «Охота на оленя» (выбор между безопасной и рискованной кооперацией). В играх с неполной информацией (Дж. Харсаньи, 1967) участники не знают типов друг друга; решение находится через байесовское равновесие Нэша. Связь теории игр с теорией принятия решений двусторонняя: игра против природы (один ЛПР, пассивная среда) — частный случай игры, а стратегическое взаимодействие требует от каждого участника решения задачи выбора с учётом рациональности остальных.

Динамический и межвременной выбор

Последовательные решения

Когда решение принимается в несколько шагов, ключевой инструмент — динамическое программирование, основанное на принципе оптимальности Р. Беллмана (1957): оптимальная стратегия обладает тем свойством, что каждое её продолжение оптимально относительно состояния, достигнутого на текущем шаге.

В стохастических многошаговых задачах динамическое программирование в сочетании с вероятностной моделью переходов образует аппарат марковских процессов принятия решений (MDP). При неполной наблюдаемости состояний модель обобщается до частично наблюдаемых марковских процессов (POMDP). MDP и POMDP составляют один из фундаментальных формализмов последовательного выбора в условиях неопределённости и лежат в основе современного обучения с подкреплением (Reinforcement Learning).

Межвременной выбор и предпочтения во времени

Отдельный класс задач связан с выбором между исходами, разнесёнными во времени. Классическая модель дисконтированной полезности (П. Самуэльсон, 1937) предполагает экспоненциальное дисконтирование будущих выгод с постоянной ставкой. Дескриптивные исследования, однако, показали, что люди систематически отклоняются от экспоненциальной модели, демонстрируя гиперболическое дисконтирование и связанную с ним непоследовательность предпочтений во времени (Дж. Эйнсли, Д. Лейбсон). Проблематика межвременного выбора занимает центральное место в поведенческой экономике, финансах и экономике здоровья.

Анализ решений (Decision Analysis)

Анализ решений — прескриптивная дисциплина, выросшая из работ Г. Райффы и Р. Ховарда (1960-е годы) и направленная на систематическую помощь реальному ЛПР. В отличие от нормативной теории, которая формулирует идеал, и дескриптивной, которая описывает реальность, анализ решений предлагает практическую процедуру преодоления когнитивных ограничений.

Основные этапы анализа решений:

• структурирование проблемы (problem framing) — определение целей, критериев, альтернатив и границ задачи;
• выявление и формализация предпочтений (elicitation) — извлечение у ЛПР функции полезности, весов критериев, вероятностных оценок;
• построение модели — диаграммы влияния (influence diagrams), деревья решений, байесовские сети;
• расчёт и анализ чувствительности (sensitivity analysis) — определение того, какие параметры модели существенно влияют на выбор;
• ценность информации (value of information) — оценка того, стоит ли собирать дополнительные данные перед принятием решения.

Результат анализа решений — не автоматический ответ, а структурированное обоснование выбора, повышающее его прозрачность и воспроизводимость. Методы анализа решений применяются в медицине, энергетике, оценке рисков, стратегическом менеджменте и государственном регулировании.

Практическое программное воплощение анализа решений — системы поддержки принятия решений (СППР / DSS), комплексы, интегрирующие модели, базы данных и интерфейс взаимодействия с ЛПР.

Многокритериальный анализ решений

В большинстве практических задач альтернативы оцениваются не по одному, а по нескольким — как правило, противоречивым — критериям. Многокритериальный анализ решений (MCDA / MCDM) составляет одно из наиболее развитых направлений теории.

Центральное понятие — Парето-оптимальность: альтернатива считается Парето-оптимальной (недоминируемой), если не существует другой альтернативы, которая была бы не хуже по всем критериям и строго лучше хотя бы по одному. Множество Парето-оптимальных альтернатив образует границу компромиссов, из которой ЛПР осуществляет окончательный выбор.

К основным методам относятся:

• Метод анализа иерархий (AHP) Т. Саати — иерархическая декомпозиция задачи с парными сравнениями альтернатив и критериев;
• Методы семейства ELECTRE (Б. Руа) — последовательное исключение альтернатив на основе отношений превосходства (outranking), вычисляемых через индексы согласия и несогласия (concordance / discordance indices);
• Метод PROMETHEE (Ж.-П. Бранс) — ранжирование альтернатив на основе попарных потоков предпочтений;
• Метод TOPSIS (К.-Л. Хванг, К. Юн, 1981) — выбор альтернативы, ближайшей к идеальному решению и наиболее удалённой от анти-идеального;
• Метод VIKOR (С. Опричович, 1998) — компромиссное ранжирование с учётом близости к идеальному решению и максимального группового согласия;
• Многокритериальная теория полезности (MAUT) (Р. Кини, Г. Райффа, 1976) — построение аддитивной или мультипликативной функции полезности по нескольким критериям.

Коллективный выбор

Когда решение принимается группой лиц, возникает проблема агрегирования индивидуальных предпочтений в коллективное. Центральный результат в этой области — теорема о невозможности К. Эрроу (1951): не существует правила агрегации, одновременно удовлетворяющего нескольким естественным требованиям (универсальность, единогласие, независимость от посторонних альтернатив, отсутствие диктатора). Теорема Гиббарда — Саттертуэйта дополняет этот результат, показывая, что любая недиктаторская процедура голосования с тремя и более альтернативами подвержена стратегическому манипулированию.

Ослабление условий Эрроу позволило построить теории, обходящие парадокс невозможности. А. Сен (1970) показал, что даже минимальное требование индивидуальных свобод конфликтует с Парето-оптимальностью (либеральный парадокс). Дж. Харсаньи (1955) показал, что беспристрастный наблюдатель, с равной вероятностью оказывающийся в положении любого участника, приходит к максимизации суммы индивидуальных полезностей (утилитаристское обоснование).

К практическим методам коллективного выбора относятся различные процедуры голосования: голосование относительным большинством, метод Борда (ранговое суммирование), правило Кондорсе (победитель во всех попарных сравнениях, если он существует), одобрительное голосование (approval voting). Каждая процедура обладает своими достоинствами и уязвимостями: парадокс Кондорсе показывает, что попарное большинство может быть циклическим, а теорема Гиббарда — Саттертуэйта доказывает неизбежность стратегического манипулирования. Экспертные методы (мозговой штурм, метод Дельфи, метод комиссий) дополняют формальные процедуры в ситуациях, где предпочтения трудно формализовать.

Место и роль в системе наук

Теория принятия решений формировалась как обособленная область знания во второй половине XX века в тесной связи с развитием системного анализа, кибернетики, теории управления, экономики и прикладной математики. В неё интегрированы идеи и методы, заимствованные из:

• системного анализа;
• исследования операций;
• математической статистики и статистической теории решений;
• теории игр;
• теории оптимального управления;
• экономической кибернетики;
• информатики и искусственного интеллекта;
• когнитивной психологии;
• поведенческой экономики;
• философии науки и эпистемологии.

Каждая из этих дисциплин рассматривает проблему выбора со своей методологической позиции, применительно к объектам различной природы — от технических систем до человеческого поведения. В результате сформировалась интегративная научная область, изучающая принятие решений как универсальный процесс целенаправленного действия. Теория не подменяет собой процесс мышления или волевой акт выбора, но предоставляет инструменты для его рационализации и обоснования.

Литература

• Bernoulli D. Specimen Theoriae Novae de Mensura Sortis // Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. — 1738. — Vol. 5. — P. 175–192. — (Англ. пер.: Econometrica, 1954, Vol. 22, No. 1, P. 23–36).
• Фон Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. — М.: Наука, 1970. — (Оригинал: 1944; аксиоматика EU — 1947).
• Сэвидж Л. Основания статистики. — М.: Наука, 1972. — (Оригинал: Savage L.J. The Foundations of Statistics, 1954).
• Anscombe F.J., Aumann R.J. A Definition of Subjective Probability // Annals of Mathematical Statistics. — 1963. — Vol. 34, No. 1. — P. 199–205.
• Harsanyi J.C. Cardinal Welfare, Individualistic Ethics, and Interpersonal Comparisons of Utility // Journal of Political Economy. — 1955. — Vol. 63, No. 4. — P. 309–321.
• Teller P. Conditionalization and Observation // Synthese. — 1973. — Vol. 26, No. 2. — P. 218–258.
• Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений. — 2-е изд. — М.: Логос, 2002.
• Орлов А.И. Теория принятия решений. — М.: Экзамен, 2005.
• Петровский А.Б. Теория принятия решений. — М.: Издательский центр «Академия», 2009.
• Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. — М.: Наука, 1982.
• Халин В.Г. (ред.) Теория принятия решений: в 2 т. — М.: Юрайт, 2019.
• Bell D., Raiffa H., Tversky A. (eds.) Decision Making: Descriptive, Normative, and Prescriptive Interactions. — Cambridge University Press, 1988.
• Peterson M. An Introduction to Decision Theory. — 2nd ed. — Cambridge University Press, 2017.
• Parmigiani G., Inoue L. Decision Theory: Principles and Approaches. — Wiley, 2009.
• Berger J.O. Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis. — 2nd ed. — Springer, 1985.
• Gilboa I. Theory of Decision under Uncertainty. — Cambridge University Press, 2009.
• Keeney R.L., Raiffa H. Decisions with Multiple Objectives: Preferences and Value Tradeoffs. — Wiley, 1976; Cambridge University Press, 1993.
• Howard R.A., Abbas A.E. Foundations of Decision Analysis. — Pearson, 2015.
• Ramsey F.P. Truth and Probability (1926) // The Foundations of Mathematics and Other Logical Essays. — London: Kegan Paul, 1931. — P. 156–198.
• de Finetti B. La prévision: ses lois logiques, ses sources subjectives // Annales de l'Institut Henri Poincaré. — 1937. — Vol. 7, No. 1. — P. 1–68.
• Jeffrey R.C. The Logic of Decision. — McGraw-Hill, 1965; 2nd ed. — University of Chicago Press, 1983.
• Wald A. Statistical Decision Functions. — Wiley, 1950.
• Nash J.F. Equilibrium Points in N-Person Games // Proceedings of the National Academy of Sciences. — 1950. — Vol. 36, No. 1. — P. 48–49.
• Bellman R.E. Dynamic Programming. — Princeton University Press, 1957.
• Schmeidler D. Subjective Probability and Expected Utility without Additivity // Econometrica. — 1989. — Vol. 57, No. 3. — P. 571–587.
• Gilboa I., Schmeidler D. Maxmin Expected Utility with Non-Unique Prior // Journal of Mathematical Economics. — 1989. — Vol. 18, No. 2. — P. 141–153.
• Kahneman D., Tversky A. Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk // Econometrica. — 1979. — Vol. 47, No. 2. — P. 263–291.
• Tversky A., Kahneman D. Advances in Prospect Theory: Cumulative Representation of Uncertainty // Journal of Risk and Uncertainty. — 1992. — Vol. 5, No. 4. — P. 297–323.
• Simon H.A. A Behavioral Model of Rational Choice // Quarterly Journal of Economics. — 1955. — Vol. 69, No. 1. — P. 99–118.
• Klein G. Sources of Power: How People Make Decisions. — MIT Press, 1998.
• Arrow K.J. Social Choice and Individual Values. — Yale University Press, 1951.
• Sen A.K. Collective Choice and Social Welfare. — Holden-Day, 1970; расширенное изд. — Penguin, 2017.
• Saaty T.L. The Analytic Hierarchy Process. — McGraw-Hill, 1980.

См. также

• Принятие решений
• Критерии принятия решений
• Исследование операций
• Системный анализ