Принятие решений в условиях риска

Принятие решений в условиях риска — это процесс выбора наилучшей альтернативы в ситуации, когда результат зависит не только от действий лица, принимающего решение (ЛПР), но и от случайных факторов, вероятности которых известны или обоснованно оценены. В таких задачах каждому выбору соответствует не единственный исход, а распределение возможных исходов с заданными вероятностями.

Особенности ситуации риска

К ситуации риска относятся задачи, в которых:

• возможные состояния внешней среды (сценарии) известны и перечислимы;
• каждому состоянию сопоставлена числовая вероятность его наступления;
• результат выбора — случайная величина, зависящая от совместного действия решения ЛПР и наступившего состояния среды.

В отличие от полной определённости, где исход однозначен, и от неопределённости, где вероятности состояний неизвестны, условия риска допускают применение численных оценок, основанных на вероятностях.

Формальная постановка задачи

Задача принятия решений в условиях риска описывается следующими элементами:

• множество альтернатив A = {A₁, …, A_m};
• множество состояний среды S = {S₁, …, S_n};
• распределение вероятностей p = (p₁, …, p_n), p_j ≥ 0, Σ_j p_j = 1;
• платёжная матрица с элементами a_ij — результатом при выборе i-й альтернативы и наступлении j-го состояния.

В зависимости от содержания задачи матрица интерпретируется либо как матрица выигрышей (тогда критерий — максимизация), либо как матрица потерь (тогда критерий — минимизация). Смешение этих интерпретаций — типичный источник ошибок при расчётах, поэтому в каждой задаче направление оптимизации должно быть явно оговорено.

Типы риска

Риск в задачах принятия решений принято различать по источнику вероятностных оценок.

• Объективный риск — вероятности получены из статистики, частотных наблюдений или физической модели процесса. Характерен для задач страхования, надёжности технических систем, контроля качества.
• Субъективный риск — вероятности задаются ЛПР или экспертами на основании опыта и суждений. Теоретическую базу для работы с такими вероятностями дают аксиоматические построения Ф. Рамсея, Б. де Финетти и Л. Сэвиджа.
• Параметрический риск — форма распределения вероятностей известна с точностью до параметра, значение которого оценивается по выборке или задаётся априорно.

Отдельное различие, введённое Ф. Найтом, отделяет риск как измеримую неопределённость от истинной неопределённости, где вероятности принципиально недоступны. В этой терминологии предмет настоящей статьи — именно измеримая неопределённость.

Отношение ЛПР к риску

Поведение ЛПР при выборе между рискованными альтернативами описывается типом его отношения к риску.

• Неприятие риска (risk-averse) — при равном математическом ожидании ЛПР предпочитает альтернативу с меньшим разбросом. Соответствует вогнутой функции полезности.
• Нейтральность к риску (risk-neutral) — ЛПР ориентируется только на математическое ожидание и не реагирует на разброс. Функция полезности линейна; выбор совпадает с решением по байесовскому критерию.
• Склонность к риску (risk-seeking) — при равном ожидании предпочитается альтернатива с бо́льшим разбросом. Функция полезности выпукла.

Количественной характеристикой отношения к риску служит мера Эрроу — Пратта:

• абсолютное неприятие риска r_A(x) = −U″(x) ⁄ U′(x);
• относительное неприятие риска r_R(x) = −x · U″(x) ⁄ U′(x).

Тип отношения к риску определяет выбор критерия: нейтральному ЛПР достаточно байесовского критерия, тогда как для неприятия или склонности к риску требуется критерий ожидаемой полезности или комбинированные критерии.

Основные критерии выбора в условиях риска

Критерии, применимые в условиях риска, различаются по теоретическому статусу. Нормативное ядро образует критерий максимума ожидаемой полезности фон Неймана — Моргенштерна; байесовский критерий является его частным случаем при линейной функции полезности — то есть для ЛПР, нейтрального к риску. Эти два критерия опираются на аксиоматическое обоснование рациональности и задают эталон, от которого отсчитываются остальные. Критерий «среднее — дисперсия» и минимум ожидаемого сожаления — прикладные формы того же ядра, удобные в специфических постановках (портфельная теория; явное представление упущенной выгоды). Ходжеса — Лемана, энтропийный и Гермейера — осторожные и гибридные критерии, применяемые там, где ядро нужно дополнить учётом частичного доверия к вероятностям, хвостовых рисков или критичности отдельных исходов. Ниже каждый критерий описан отдельно; выбор между ними определяется не «правильностью», а соответствием постановке задачи и установке ЛПР.

Байесовский критерий

Выбирается альтернатива с наибольшим математическим ожиданием результата:

W_i = Σ_j p_j · a_ij → max_i.

Критерий известен также как критерий максимума математического ожидания выигрыша или критерий ожидаемой эффективности. Оправдан в ситуациях, где ЛПР нейтрален к риску, а принимаемое решение повторяется многократно и позволяет опереться на закон больших чисел.

Критерий максимума ожидаемой полезности

Введён Дж. фон Нейманом и О. Моргенштерном. Альтернативы сравниваются не по ожидаемому выигрышу, а по ожидаемой полезности результата:

E[U(X_i)] = Σ_j p_j · U(a_ij) → max_i.

Форма функции полезности U(·) кодирует отношение ЛПР к риску: вогнутая — для неприятия, линейная — для нейтральности, выпуклая — для склонности. Теорема фон Неймана — Моргенштерна показывает, что при выполнении аксиом полноты, транзитивности, непрерывности и независимости предпочтения ЛПР представимы через ожидаемую полезность. Это центральный нормативный критерий теории решений в условиях риска.

Критерий «среднее — дисперсия» (Марковиц)

Альтернатива характеризуется парой (математическое ожидание, дисперсия) результата. ЛПР ищет компромисс между ожидаемым выигрышем и его разбросом, выбирая решение на границе эффективности — множестве альтернатив, для которых нельзя одновременно повысить ожидание и снизить дисперсию. Сама по себе граница не даёт единственного ответа: выбор конкретной точки на ней определяется функцией полезности ЛПР. Эквивалентность критерия «среднее — дисперсия» и максимума ожидаемой полезности справедлива лишь при дополнительных предпосылках — квадратичной функции полезности или нормальном (шире — эллиптическом) распределении результатов; в общем случае E[U(X)] зависит и от моментов выше второго. Критерий применяется прежде всего в портфельной теории и финансовом анализе.

Критерий Ходжеса — Лемана

Комбинирует байесовский критерий и гарантирующий критерий Вальда с параметром доверия λ ∈ [0, 1]:

W_i = λ · Σ_j p_j · a_ij + (1 − λ) · min_j a_ij → max_i.

При λ = 1 критерий совпадает с байесовским, при λ = 0 — с критерием Вальда. Применяется, когда ЛПР доверяет оценке вероятностей лишь частично и хочет застраховаться от наихудшего сценария.

Критерий минимума ожидаемого сожаления

Вероятностное обобщение критерия Сэвиджа. Для каждой альтернативы строится матрица сожалений r_ij = max_k a_kj − a_ij, после чего выбирается решение с минимальным ожидаемым сожалением:

E[R_i] = Σ_j p_j · r_ij → min_i.

В отличие от классического критерия Сэвиджа, применимого в условиях неопределённости без вероятностей, данная форма использует заданное распределение p и корректно вписывается в задачу риска. Следует учитывать, что при известных вероятностях EOL даёт ту же оптимальную альтернативу, что и байесовский критерий: разность E[R_i] = Σ p_j·max_k a_kj − E[W_i] отличается от −E[W_i] лишь константой, одинаковой для всех альтернатив. Самостоятельная ценность критерия — в матрице сожалений как форме, явно показывающей упущенную выгоду и удобной для анализа чувствительности.

Энтропийный критерий

Учитывает чувствительность к неблагоприятным сценариям через экспоненциальную функцию полезности. Используется энтропийная мера риска:

ρ_θ(X_i) = (1 ⁄ θ) · ln E[exp(−θ · X_i)] → min_i, θ > 0.

Формула записана для матрицы выигрышей; при переходе к матрице потерь знак параметра под экспонентой меняется — используется exp(θ · X_i).

Критерий штрафует альтернативы с тяжёлыми левыми хвостами распределения и настраивается параметром θ, отражающим степень осторожности ЛПР. При θ → 0 критерий сходится к байесовскому, при θ → ∞ — к гарантирующему (критерию Вальда). При малых θ справедливо разложение ρ_θ(X) ≈ −E[X] + (θ ⁄ 2) · Var[X], из которого виден переход к критерию «среднее — дисперсия»: параметр θ играет роль коэффициента неприятия разброса.

Энтропия используется в теории решений и в другой роли — для согласования самих вероятностей: принцип максимума энтропии Э. Джейнса позволяет восстановить распределение p по частичной информации о нём (заданным моментам, ограничениям на носитель). Это задача оценки вероятностей, а не выбора альтернативы; её результаты могут затем подаваться на вход любого вероятностного критерия.

Критерий Гермейера

Ориентирован на задачи с отрицательными результатами (потерями). Выбирается альтернатива, для которой наименьшее произведение вероятности состояния на потерю максимально:

W_i = min_j (p_j · a_ij) → max_i, где a_ij ≤ 0.

Внутренний минимум по состояниям выделяет наиболее отрицательный взвешенный исход альтернативы — её «взвешенный худший случай»; внешний максимум по альтернативам выбирает ту, у которой этот худший случай ближе всего к нулю. Критерий относится к гарантирующим подходам с учётом вероятностной информации и применяется там, где последствия ошибки критичны.

Выбор критерия зависит от поведенческих особенностей ЛПР, целей анализа (максимизация дохода, минимизация потерь, устойчивость результата) и степени доверия к оценкам вероятностей.

Стохастическое доминирование

Если для всех разумных функций полезности одна альтернатива предпочтительнее другой, выбор можно сделать без задания конкретной U(·). Инструмент такого анализа — стохастическое доминирование.

Доминирование первого порядка (FSD): X доминирует Y, если для всех x выполнено F_X(x) ≤ F_Y(x). В этом случае X предпочтительнее Y для любого ЛПР с монотонно возрастающей функцией полезности.

Доминирование второго порядка (SSD): X доминирует Y, если для всех x выполнено ∫_−∞^x [F_X(t) − F_Y(t)] dt ≤ 0. В этом случае X предпочтительнее Y для любого ЛПР, не склонного к риску (с вогнутой U). SSD применяется, когда FSD не выполняется, но одна из альтернатив всё же предпочтительна при неприятии риска.

Если между альтернативами есть стохастическое доминирование, сравнение по критерию ожидаемой полезности не требуется — доминирующая альтернатива будет выбрана в любом случае.

Меры риска

Количественное описание риска требует мер, отличных от математического ожидания.

• Дисперсия и стандартное отклонение — классические меры разброса; симметричны относительно среднего и не различают благоприятные и неблагоприятные отклонения.
• Полудисперсия (downside risk) — учитывает только отклонения в неблагоприятную сторону.
• Коэффициент вариации — нормированная мера, сопоставимая для альтернатив с разным масштабом результатов.
• Value at Risk (VaR) — квантильная мера: порог потерь, который не будет превышен с заданной доверительной вероятностью.
• Conditional VaR (CVaR, Expected Shortfall) — ожидаемые потери за пределами VaR; когерентная мера риска в смысле аксиом Ф. Артцнера, Ф. Дельбаена, Ж.-М. Эбера и Д. Хита.

VaR и CVaR пришли из финансовой математики и применяются прежде всего в портфельном и банковском риск-менеджменте, однако их формулировки применимы к любой случайной величине потерь.

Когерентность меры риска означает одновременное выполнение четырёх свойств: монотонности, субаддитивности, положительной однородности и инвариантности к сдвигу. Принципиальна субаддитивность: без неё мера способна показывать рост риска при диверсификации, что противоречит содержательному смыслу риска. Дисперсия нарушает монотонность и инвариантность к сдвигу (одинаково штрафует за благоприятные и неблагоприятные отклонения); VaR нарушает субаддитивность на распределениях с тяжёлыми хвостами; CVaR удовлетворяет всем четырём аксиомам, чем и объясняется его предпочтительность в задачах, где возможны катастрофические хвостовые исходы.

Безрисковый эквивалент и премия за риск

Безрисковым эквивалентом CE(X) случайного результата X называется детерминированная величина, которую ЛПР считает для себя равноценной участию в лотерее X:

U(CE(X)) = E[U(X)].

Премия за риск π(X) = E[X] − CE(X) показывает, какой частью ожидаемого выигрыша ЛПР готов пожертвовать ради отказа от риска. Для малых рисков справедлива приближённая формула Эрроу — Пратта:

π(X) ≈ ½ · σ²(X) · r_A(E[X]),

связывающая премию с дисперсией результата и мерой абсолютного неприятия риска. Премия за риск лежит в основе страховых тарифов, требуемой доходности рискованных активов и метода безрискового эквивалента при анализе инвестиций.

Ценность информации

В условиях риска ЛПР может платно получать дополнительную информацию о состоянии среды — проводить исследование, заказывать экспертизу, запускать пилотный проект. Решение о целесообразности таких затрат опирается на понятие ценности информации.

Ожидаемая ценность полной информации (EVPI) — разница между ожидаемым выигрышем при знании истинного состояния среды до выбора и ожидаемым выигрышем при оптимальном байесовском решении без дополнительных данных:

EVPI = Σ_j p_j · max_i a_ij − max_i Σ_j p_j · a_ij.

EVPI задаёт верхний предел суммы, которую имеет смысл потратить на получение информации: никакое исследование не может дать больше, чем устранение всей неопределённости.

Ожидаемая ценность выборочной информации (EVSI) — аналогичная величина для частичной, неполной информации (например, результата эксперимента с известной вероятностной моделью ошибки). Если d — наблюдаемый результат такого эксперимента с распределением P(d), то

EVSI = Σ_d P(d) · max_i E[a_ij | d] − max_i Σ_j p_j · a_ij,

где внутренние ожидания вычисляются по апостериорному распределению, получаемому байесовским обновлением. Всегда справедливо 0 ≤ EVSI ≤ EVPI. На практике доступна лишь EVSI — идеальная информация редко существует, — и зазор между EVSI и EVPI часто значителен. Поэтому прогноз с ценой, близкой к EVPI, может оказаться нерентабельным даже при видимой дешевизне: чем ниже точность источника, тем меньше реальная готовность ЛПР за него платить.

Субъективная оценка вероятностей

Если статистика отсутствует или событие уникально, вероятности задаются ЛПР или экспертами. Субъективные вероятности используются в расчётах наравне с объективными, однако требуют процедурного обоснования.

Теоретическую основу даёт аксиоматика Сэвиджа, показывающая, что рациональный выбор при соблюдении аксиом согласованности эквивалентен максимизации ожидаемой полезности по субъективным вероятностям. Методы получения таких оценок включают:

• непосредственное приписывание вероятностей;
• метод парных сравнений;
• метод пари и эталонных лотерей;
• агрегирование мнений группы экспертов (методы Дельфи, номинальных групп, взвешенного среднего).

Субъективные вероятности уточняются по мере поступления новых данных с помощью байесовского обновления — пересчёта априорного распределения в апостериорное по формуле Байеса:

P(H | D) = P(D | H) · P(H) ⁄ P(D),

где P(H) — априорная вероятность гипотезы, P(D | H) — правдоподобие данных при данной гипотезе, P(H | D) — апостериорная вероятность гипотезы после получения данных.

Поведенческие подходы

Эмпирические исследования показывают, что реальное поведение ЛПР систематически отклоняется от предписаний теории ожидаемой полезности. Эти отклонения изучаются в рамках дескриптивных моделей риска.

Парадокс Алле демонстрирует нарушение аксиомы независимости: в задачах с близкими к единице вероятностями большинство людей делает выбор, несовместимый ни с какой функцией полезности. Парадокс показывает, что ожидаемая полезность — нормативный идеал, а не описание фактического поведения.

Теория перспектив Д. Канемана и А. Тверски заменяет функцию полезности на функцию ценности, определённую относительно точки отсчёта, а не абсолютного уровня богатства. Функция вогнута в области выигрышей, выпукла в области потерь и круче слева от нуля — это отражает неприятие потерь: потеря воспринимается острее равного по величине выигрыша (по оценке А. Тверски и Д. Канемана 1992 года — примерно в 2,25 раза). Вероятности в теории перспектив преобразуются функцией взвешивания вероятностей, которая завышает малые и занижает большие вероятности; практически это проявляется как переоценка редких событий (включая катастрофические и очень благоприятные) и недооценка почти достоверных. Одно из проявлений этой функции — эффект определённости: ЛПР существенно переплачивают за полное устранение риска (переход от вероятности 0,99 к 1,0) по сравнению с таким же количественным снижением вероятности в промежуточной области (от 0,51 к 0,50).

К устойчивым отклонениям относят также эвристики доступности, репрезентативности и якоря, искажающие оценки вероятностей. Учёт поведенческих эффектов важен там, где решение принимается однократно и где последствия значимы для ЛПР лично.

Важно различать неприятие риска — классическое понятие, связанное с вогнутостью функции полезности, — и неприятие потерь — понятие теории перспектив, возникающее из асимметрии функции ценности относительно точки отсчёта.

Стратегии управления риском

Помимо выбора альтернативы, ЛПР может изменять сам уровень риска ситуации. Основные стратегии:

• избегание — отказ от действий, несущих недопустимый риск;
• предотвращение и снижение — уменьшение вероятности неблагоприятного исхода организационными или техническими мерами;
• передача — переложение риска на другую сторону (страхование, аутсорсинг, гарантийные соглашения);
• диверсификация — распределение риска по слабо коррелированным направлениям;
• хеджирование — компенсация возможных потерь встречной операцией на производных инструментах;
• поглощение — сознательное принятие риска с формированием резервов на покрытие потерь.

Стратегии комбинируются в зависимости от природы риска, его величины и стоимости управляющих мер.

Инструменты и представление решений

Матрицы эффективности

Платёжная матрица [a_ij] — базовая форма представления задачи. Строки соответствуют альтернативам, столбцы — состояниям среды, ячейки — результатам. Над этой матрицей работают все табличные критерии, перечисленные выше.

Деревья решений

Дерево решений применяется для задач с последовательностью выборов и реализаций случайных событий. В нём различают два типа узлов:

• узлы решений (обычно обозначаются квадратом) — точки, где ЛПР выбирает альтернативу;
• узлы случая (обозначаются кругом) — точки, где реализуется случайное состояние с известной вероятностью.

Оптимальная стратегия находится методом обратной индукции (rollback): от концевых листьев к корню. В каждом узле случая вычисляется оценка результата — математическое ожидание для нейтрального к риску ЛПР либо ожидаемая полезность E[U(X)] в общем случае; в каждом узле решения выбирается ветвь с максимальной оценкой. Накопленные значения передаются к корню, а путь через выбранные ветви задаёт оптимальную стратегию. Выбор шкалы агрегирования (денежная или полезностная) согласуется с критерием, принятым для задачи: без этой согласованности дерево решений неявно предполагает нейтральность к риску.

Простейший пример: ЛПР выбирает между рискованной альтернативой A₁ (выигрыш +100 с вероятностью 0,3 или проигрыш −50 с вероятностью 0,7) и гарантированной A₂ (+20). В узле случая для A₁ вычисляется E = 0{,}3 · 100 + 0{,}7 · (−50) = −5; сравнение с A₂ даёт оптимальный выбор A₂. В более сложных деревьях процедура применяется рекурсивно снизу вверх.

Функции полезности

Функция полезности U(x) переводит денежные или натуральные результаты в субъективно сопоставимые единицы. Её форма отражает тип отношения ЛПР к риску: линейная — нейтральность, вогнутая (например, U(x) = ln x или U(x) = √x) — неприятие, выпуклая — склонность. Параметры функции определяются методом эталонных лотерей или из наблюдений за выборами ЛПР в контролируемых задачах.

Пример

ЛПР выбирает один из трёх проектов A₁, A₂, A₃. Возможны три состояния рынка с вероятностями p₁ = 0{,}3, p₂ = 0{,}5, p₃ = 0{,}2. Матрица выигрышей (в условных единицах):

Матрица выигрышей

Альтернатива	S1 (p = 0,3)	S2 (p = 0,5)	S3 (p = 0,2)
A1	60	60	60
A2	90	60	20
A3	130	40	−30

Байесовский критерий:

E[A₁] = 60; E[A₂] = 27 + 30 + 4 = 61; E[A₃] = 39 + 20 − 6 = 53.

Выбор: A₂.

Критерий ожидаемой полезности для ЛПР с неприятием риска, U(x) = √(x + 40). Константа 40 введена под корень, чтобы избежать отрицательных аргументов (минимальный исход в матрице равен −30); содержательно её удобно интерпретировать как фоновый уровень богатства ЛПР, не поставленный на кон в этой задаче. Вогнутость функции при этом сохраняется и отражает неприятие риска. Альтернатива A₁ безрискова (все исходы равны 60), поэтому E[U(A₁)] = U(60) = √100; для остальных вычисляется полная сумма:

E[U(A₁)] = √100 = 10{,}00;

E[U(A₂)] = 0{,}3 · √130 + 0{,}5 · √100 + 0{,}2 · √60 ≈ 9{,}97;

E[U(A₃)] = 0{,}3 · √170 + 0{,}5 · √80 + 0{,}2 · √10 ≈ 9{,}02.

Выбор: A₁. Осторожный ЛПР предпочитает гарантированный результат, жертвуя одной единицей ожидания ради нулевой дисперсии.

Критерий Ходжеса — Лемана при λ = 0{,}5:

W(A₁) = 0{,}5 · 60 + 0{,}5 · 60 = 60;

W(A₂) = 0{,}5 · 61 + 0{,}5 · 20 = 40{,}5;

W(A₃) = 0{,}5 · 53 + 0{,}5 · (−30) = 11{,}5.

Выбор: A₁.

Ценность полной информации:

E[max] = 0{,}3 · 130 + 0{,}5 · 60 + 0{,}2 · 60 = 81;

EVPI = 81 − 61 = 20.

ЛПР имеет смысл вкладываться в информацию о состоянии рынка на сумму не более 20 единиц.

Пример показывает, что выбор оптимальной альтернативы зависит не только от платёжной матрицы и вероятностей, но и от отношения ЛПР к риску: нейтральный выбирает A₂, осторожный — A₁.

Анализ чувствительности

Оптимальное решение в задаче риска зависит от заданных вероятностей и значений платёжной матрицы. Анализ чувствительности показывает, насколько устойчив выбор при их возмущении.

Типичные приёмы:

• варьирование одной вероятности с пропорциональным пересчётом остальных и построение зависимости оптимальной альтернативы от p_j;
• определение критических значений вероятностей, при которых происходит смена оптимальной альтернативы;
• анализ рангов альтернатив при разных правдоподобных сценариях задания p.

Если оптимум сохраняется в широком диапазоне возмущений, решение считается робастным. Если же малые изменения вероятностей меняют выбор, требуется либо уточнение оценок, либо переход к критериям с иной чувствительностью — менее зависимым от точности оценок вероятностей (Ходжеса — Лемана) или по-иному реагирующим на хвосты распределения (энтропийный).

См. также

• Теория принятия решений
• Принятие решений в условиях неопределенности
• Критерии принятия решений
• Матричная модель принятия решений
• Дерево решений
• Оптимальный выбор

Литература

• Нейман Дж. фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. — М.: Наука, 1970.
• Savage L. J. The Foundations of Statistics. — New York: Wiley, 1954.
• Allais M. Le Comportement de l'Homme Rationnel devant le Risque: Critique des Postulats et Axiomes de l'École Américaine // Econometrica. — 1953. — Vol. 21, № 4. — P. 503–546.
• Markowitz H. Portfolio Selection // Journal of Finance. — 1952. — Vol. 7, № 1. — P. 77–91.
• Arrow K. J. Essays in the Theory of Risk-Bearing. — Chicago: Markham, 1971.
• Pratt J. W. Risk Aversion in the Small and in the Large // Econometrica. — 1964. — Vol. 32, № 1–2. — P. 122–136.
• Hadar J., Russell W. R. Rules for Ordering Uncertain Prospects // American Economic Review. — 1969. — Vol. 59, № 1. — P. 25–34.
• Kahneman D., Tversky A. Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk // Econometrica. — 1979. — Vol. 47, № 2. — P. 263–291.
• Tversky A., Kahneman D. Advances in Prospect Theory: Cumulative Representation of Uncertainty // Journal of Risk and Uncertainty. — 1992. — Vol. 5, № 4. — P. 297–323.
• Artzner P., Delbaen F., Eber J.-M., Heath D. Coherent Measures of Risk // Mathematical Finance. — 1999. — Vol. 9, № 3. — P. 203–228.
• Föllmer H., Schied A. Convex Measures of Risk and Trading Constraints // Finance and Stochastics. — 2002. — Vol. 6, № 4. — P. 429–447.
• Райфа Г. Анализ решений: введение в проблему выбора в условиях неопределённости. — М.: Наука, 1977.
• Ларичев О. И. Теория и методы принятия решений. — М.: Логос, 2002.
• Вентцель Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. — М.: Дрофа, 2004.