Modelos de investigación de operaciones

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Modelos de investigación de operaciones

La Investigación de operaciones (IO) utiliza modelos para analizar y resolver problemas de gestión y toma de decisiones. Un modelo en IO es una representación simplificada y formalizada de una operación o sistema real, diseñada para estudiar su comportamiento y encontrar las mejores soluciones.

Para aplicar los métodos cuantitativos de la investigación, es necesario construir un modelo matemático de la operación. Al construir un modelo, la operación, por lo general, se simplifica, se esquematiza, y este esquema se describe utilizando algún aparato matemático. Un modelo de operación es una descripción suficientemente precisa de la operación mediante un aparato matemático (diversos tipos de funciones, ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades). La eficiencia de una operación se define como el grado de su adecuación para cumplir una tarea.

Planteamiento general del problema y estructura del modelo en IO

En la investigación de operaciones, una situación de gestión incluye objetivos y decisiones. Las decisiones se toman para alcanzar los objetivos. La situación de gestión se describe mediante un modelo.

El modelo contiene un indicador explícito de efectividad, mediante el cual se determina qué tan cerca está una solución del objetivo. Este indicador depende de factores que influyen en la operación. Todos los factores que forman parte de la descripción de la operación se pueden dividir en dos grupos:

  • Factores no controlables (constantes): Condiciones externas o parámetros del sistema sobre los cuales el tomador de decisiones (TD) no puede influir (por ejemplo, la demanda del mercado, los precios de las materias primas, el clima).
  • Factores controlables (gestionables): Parámetros de la operación cuyos valores el TD puede elegir y modificar (por ejemplo, el volumen de producción, la ruta de entrega, la asignación de recursos). Estos factores también se denominan variables de decisión.

Conceptualmente, un modelo de IO puede representarse como una «caja negra», donde la atención principal se centra en definir las entradas y salidas:

  • Entradas: Variables (factores) controlables y no controlables.
  • Modelo: Aparato matemático (funciones, ecuaciones, desigualdades) que describe las interrelaciones entre las entradas y las salidas.
  • Salida: Criterio de efectividad (Función objetivo).

El criterio de efectividad, expresado por alguna función, se denomina función objetivo. La función objetivo es un indicador de efectividad formulado matemáticamente (formalizado) que se debe maximizar o minimizar.

Definición matemática de un modelo

En la IO, un modelo matemático se entiende como cualquier operador que permite establecer los valores de salida de los parámetros de un objeto de modelado a partir de los valores correspondientes de los parámetros de entrada, dentro del conjunto de valores admisibles de los parámetros de entrada y salida para el objeto modelado.

Modelo matemático típico de IO

La mayoría de los problemas de IO se reducen a la optimización y se formulan como el siguiente modelo matemático:

Maximizar (o minimizar) la función objetivo sujeto a las restricciones.

  • Función objetivo: Expresa cuantitativamente el criterio por el cual se evalúa la solución (por ejemplo, ganancias, costos, tiempo). La elección de la función objetivo es un momento central y crucial de la investigación. Es mejor encontrar una solución no óptima con un criterio correctamente elegido que una solución óptima con uno incorrecto.
  • Restricciones: Expresiones matemáticas (en forma de igualdades o desigualdades) que deben satisfacer las variables del modelo. Reflejan límites reales de recursos, requisitos tecnológicos, metas de planificación y otras condiciones. Las restricciones limitan el conjunto de posibles soluciones.

Soluciones en los modelos de IO

  • Solución factible: Cualquier conjunto de valores de las variables que satisface todas las restricciones del modelo. El conjunto de todas las soluciones factibles forma la región factible (RF). Puede haber un número infinito de tales soluciones.
  • Solución óptima: Una solución factible en la que la Función objetivo alcanza su valor extremo (máximo o mínimo). La solución óptima (si existe) siempre se encuentra en la RF.
    • En algunos casos, puede que no exista una solución óptima (por ejemplo, si la RF está vacía o si la Función objetivo no está acotada en la RF).
    • Se denomina óptima a la solución que es preferible a otras según un criterio de optimización dado.
    • La optimalidad siempre es relativa a un criterio ("óptimo según...").

Clasificación de los modelos de investigación de operaciones

Los modelos de IO se pueden clasificar según diversos criterios, en particular, según el aparato matemático utilizado y el tipo de problema:

Por estructura matemática

  • Modelos de programación lineal (PL): La función objetivo y todas las restricciones son funciones lineales de las variables.
  • Modelos de programación lineal entera (PLE): Parte o la totalidad de las variables deben tomar valores enteros.
  • Modelos de programación no lineal (PNL): La función objetivo y/o las restricciones son funciones no lineales.
  • Modelos de programación convexa: Un caso especial de PNL donde se minimiza la Función objetivo (o se maximiza una función cóncava), y la RF es un conjunto convexo.
  • Modelos de programación dinámica (PD): Se utilizan para problemas donde la decisión se toma por etapas a lo largo del tiempo, y el criterio de optimalidad se expresa mediante relaciones de recurrencia.
  • Modelos heurísticos: Se aplican cuando encontrar el óptimo exacto es imposible debido a una alta complejidad computacional. Se utilizan métodos heurísticos para encontrar una solución "suficientemente buena".

Por tipos de problemas de IO

  • Problemas de planificación y gestión de redes: Optimización de los plazos y costos de ejecución de conjuntos de trabajos (por ejemplo, el método de la ruta crítica).
  • Problemas de servicio masivo (Teoría de colas): Análisis y optimización de sistemas con colas (determinación del número de canales de servicio, tiempo de servicio).
  • Problemas de gestión de inventarios: Determinación de los niveles de inventario y tamaños de pedido óptimos para minimizar los costos mientras se satisface la demanda.
  • Problemas de asignación de recursos: Asignación óptima de recursos limitados entre operaciones o tipos de actividad competidores.
  • Problemas de reparación y reemplazo de equipos: Determinación de los momentos óptimos para reparar o reemplazar equipos, teniendo en cuenta el desgaste y el envejecimiento.
  • Modelos de teoría de juegos: Análisis de situaciones de conflicto con múltiples partes que persiguen objetivos diferentes, y la búsqueda de estrategias óptimas.

Literatura

  • Ventsel, E. S. Investigación de operaciones: problemas, principios, metodología. — Moscú: Naúka, 1988.
  • Ackoff, R. L., Sasieni, M. W. Fundamentos de investigación de operaciones. — Moscú: Mir, 1971.
  • Taha, Hamdy A. Operations Research: An Introduction. — Pearson. (10ª ed., 2017)

Véase también

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