Optimización

Óptimo — lo mejor en condiciones dadas. La calidad se evalúa mediante un criterio de optimalidad, y las condiciones se establecen en forma de restricciones sobre criterios adicionales.

La aspiración a aumentar la eficiencia del trabajo, la creatividad y cualquier actividad con un propósito definido, esta inclinación natural del ser humano, ha encontrado una expresión clara y comprensible en la idea de optimalidad. La diferencia entre la comprensión estrictamente científica y la "comúnmente aceptada" o cotidiana de la optimalidad es bastante pequeña. Es cierto que expresiones como «el más óptimo» o «lograremos el máximo efecto con el mínimo de costes» son matemáticamente incorrectas, pero las personas que usan estas expresiones en realidad solo están expresando una idea correcta de manera poco rigurosa e desafortunada: tan pronto como se trata de una optimización concreta, corrigen rápida y fácilmente sus formulaciones.

Optimización: en matemáticas, informática e investigación de operaciones, es la tarea de encontrar el extremo (mínimo o máximo) de una función objetivo en una cierta región de un espacio vectorial de dimensión finita, limitada por un conjunto de igualdades y/o desigualdades lineales y/o no lineales.

Modelos de optimización

Un modelo de optimización es un modelo de toma de decisiones que contiene un indicador de eficiencia (función objetivo) que debe ser optimizado, sujeto al cumplimiento de un conjunto de restricciones dadas.

Los modelos de optimización están diseñados para determinar los parámetros óptimos (los mejores) de un objeto modelado desde el punto de vista de algún criterio, o para encontrar el modo de control óptimo (el mejor) de un proceso. Una parte de los parámetros del modelo se clasifica como parámetros de control, cuya variación permite obtener diferentes conjuntos de valores para los parámetros de salida. Por lo general, estos modelos se construyen utilizando uno o varios modelos descriptivos e incluyen algún criterio que permite comparar entre sí las diferentes variantes de los conjuntos de valores de los parámetros de salida con el fin de seleccionar el mejor. Sobre el dominio de los parámetros de entrada se pueden imponer restricciones en forma de igualdades y desigualdades, relacionadas con las particularidades del objeto o proceso en consideración. El objetivo de los modelos de optimización es encontrar aquellos parámetros de control admisibles con los que el criterio de selección alcanza su «mejor valor».

Modelos de optimización en la investigación de operaciones

El problema se formula como un modelo matemático. El modelo matemático típico de la investigación de operaciones se presenta con la siguiente formulación:

Maximizar o minimizar la función objetivo, sujeto al cumplimiento de las restricciones

Se denominan soluciones óptimas a aquellas que, por una u otra razón, son preferibles a otras. Cada elección de la mejor opción es específica, ya que se basa en el cumplimiento de criterios establecidos. Al hablar de una opción óptima, se especifican estos criterios («óptimo según...»). Lo que es óptimo bajo un criterio no necesariamente lo será bajo otro.

Solución factible: si satisface todas las restricciones del modelo. En algunos casos, puede haber un número infinito de soluciones factibles.

Solución óptima: si, además de ser factible, la función objetivo alcanza su valor máximo o mínimo en esta solución.

Optimización: la maximización o minimización de la función objetivo.

Solución óptima: un conjunto factible de valores para las variables de decisión que optimiza la función objetivo de un modelo de optimización.

Modelo de elección óptima

Un gran número de problemas de elección que se encuentran en la práctica se reducen a encontrar las mejores o más preferibles opciones para una persona y, a menudo, a buscar la única mejor opción. En este proceso, cada tomador de decisiones (TDD) tiene sus propias percepciones subjetivas sobre lo que es preferible para él en una situación de elección específica.

Existen bastantes problemas para los que se puede construir un modelo matemático de elección, donde el concepto de la "mejor opción" se formaliza mediante la definición de uno o varios indicadores numéricos de eficiencia o criterios de calidad de la decisión. Estos indicadores, aunque son definidos por el tomador de decisiones, tienen un carácter objetivo determinado por el contenido del problema a resolver y se expresan mediante funciones que dependen de las variables que miden las propiedades de las opciones. En tales casos, se considera que la opción más preferible para el tomador de decisiones es la llamada opción óptima, que corresponde al valor extremo de uno o varios indicadores de eficiencia de la decisión bajo las condiciones existentes.

Un punto fundamental para formular un problema de elección óptima es la capacidad de describir la situación problemática y las preferencias del tomador de decisiones de forma cuantitativa. Esto significa, en primer lugar, que las posibles soluciones (alternativas, objetos, cursos de acción) se definen mediante características cuantitativas (variables, parámetros, atributos) medibles en escalas numéricas. En segundo lugar, deben establecerse indicadores cuantitativos (criterios de optimalidad, indicadores de eficiencia, funciones objetivo, funciones de valor) por cuya magnitud se evalúa la calidad de la opción seleccionada. Este tipo de situaciones es característico de problemas bien estructurados y situaciones de elección recurrentes, típicas de la investigación de operaciones y el control óptimo.

Para analizar las posibles soluciones a un problema (formas de alcanzar un objetivo) y seleccionar una o varias de las mejores opciones, se construyen modelos formales de elección óptima. Un modelo proporciona una representación simplificada del problema real y debe reflejar las dependencias y relaciones más importantes y objetivamente existentes entre las opciones, sus características descriptivas y las restricciones, que están determinadas por factores controlables e incontrolables. La construcción de dicho modelo es tarea de consultores-analistas y expertos, con la participación del tomador de decisiones. Al construir un modelo de elección, es necesario equilibrar la adecuación y el nivel de detalle del modelo con la precisión requerida para la solución del problema real, así como con la cantidad de información necesaria para encontrar la solución, tanto la disponible como la que se pueda obtener adicionalmente.

Limitaciones del enfoque de optimización

Los problemas de optimización son tareas matemáticas estrictamente formales. El valor práctico de las soluciones a tales problemas depende directamente de la calidad del modelo matemático inicial. En sistemas complejos, el modelado matemático es difícil, aproximado e impreciso. Cuanto más complejo es el sistema, con más cautela se debe abordar su optimización.

Desde la perspectiva del análisis de sistemas, la actitud hacia la optimización puede formularse de la siguiente manera: es una herramienta poderosa para aumentar la eficiencia, pero debe usarse con creciente cautela a medida que aumenta la complejidad del problema.

A pesar de la evidente utilidad de la idea de optimización, la práctica exige tratarla con precaución. Existen razones de peso para esta conclusión.

1. La solución óptima a menudo resulta ser inestable: cambios aparentemente insignificantes en las condiciones del problema pueden llevar a la elección de alternativas sustancialmente diferentes.
2. El sistema en consideración es parte de un sistema más grande, y en ese caso, la optimización local no necesariamente conducirá al mismo resultado que se requeriría del subsistema al optimizar el sistema en su conjunto. Esto lleva a la necesidad de alinear los criterios de los subsistemas con los del sistema general, lo que a menudo hace que la optimización local sea innecesaria.
3. Los criterios caracterizan el objetivo solo de forma indirecta, a veces mejor, a veces peor, pero siempre de manera aproximada. La maximización del criterio de optimalidad a menudo se identifica con el objetivo, pero en realidad son cosas diferentes. De hecho, el criterio y el objetivo se relacionan entre sí como un modelo y su original, con todas las implicaciones que esto conlleva. Muchos objetivos son difíciles o incluso imposibles de describir cuantitativamente.
4. Si no se establecen todas las restricciones necesarias, al maximizar el criterio principal podemos obtener efectos secundarios imprevistos e indeseables.

Bibliografía

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• Taha, Hamdy A. Operations Research: An Introduction. — Pearson. (Especificar la edición, por ejemplo, 10th ed., 2017)
• Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introduction to Operations Research. — McGraw-Hill Education.