Теория полезности

Теория полезности — это направление в теории принятия решений, которое изучает количественное выражение предпочтений лица, принимающего решение (ЛПР), с целью выявления наилучших альтернатив в условиях определенности, неопределенности или риска. Она основана на построении числовой функции, называемой функцией полезности, которая отражает субъективную ценность возможных исходов выбора.

Общая характеристика

Теория полезности опирается на представление о рациональном выборе, при котором ЛПР стремится максимизировать субъективную полезность результата. Эта функция может быть:

• функцией ценности — в условиях полной определенности;
• функцией полезности — в условиях вероятностной неопределенности.

Каждой альтернативе сопоставляется числовое значение, отражающее её относительную желательность для ЛПР. Сравнение значений функции позволяет упорядочить варианты и выбрать наиболее предпочтительный.

Аксиоматический подход

Функция полезности вводится на основе системы аксиом, отражающих требования к рациональному поведению. Классическая аксиоматика включает:

• аксиому полной сравнимости — любые два варианта можно сравнить;
• аксиому транзитивности — предпочтения между вариантами логически согласованы;
• аксиому непрерывности — между любыми двумя вариантами найдётся лотерея, эквивалентная третьему;
• аксиому независимости — предпочтение между вариантами сохраняется при включении их в составные лотереи​.

Выполнение этих условий позволяет построить числовую функцию полезности, инвариантную к линейным преобразованиям, что означает возможность её использования в шкале интервалов​

Виды функций полезности

1. Линейная функция полезности

Линейная форма используется, когда:

• исходы выражены в одной числовой шкале (например, денежные значения),
• предпочтения ЛПР обладают постоянной предельной полезностью,
• отсутствует взаимодействие между критериальными характеристиками.

2. Выпуклая и вогнутая функции полезности

• Вогнутая функция отражает неприязнь к риску (риск-аверсия): полезность увеличивается с ростом значений, но с убывающей отдачей.

• Выпуклая функция — признак склонности к риску (риск-пристрастие): ЛПР предпочитает потенциально более выигрышные, но менее надёжные варианты.

Форма функции полезности даёт возможность учитывать отношение ЛПР к неопределённости при выборе между надёжными и рискованными альтернативами.

3. Ступенчатая (дискретная) функция полезности

Используется, когда предпочтения выражаются по качественным шкалам или в ситуациях с ограниченным числом дискретных исходов (например, одобрение/неодобрение, уровни качества). В такой функции каждой альтернативе приписывается фиксированное значение полезности без учёта промежуточных градаций. Ступенчатые функции применяются в вербальных методах, экспертных системах и логико-лингвистических моделях выбора.

4. Аддитивная функция полезности (MAUT)

Используется в задачах многокритериального выбора, когда предпочтения по каждому критерию независимы. Общая полезность представляется в виде суммы частных полезностей по каждому критерию, умноженных на весовые коэффициенты.

5. Мультипликативная функция полезности

Используется, если между критериями существуют взаимодействия (например, один критерий усиливает или ослабляет значимость другого).

6. Функции полезности на вероятностных пространствах

Применяются в задачах принятия решений под риском. Каждому исходу приписывается не только значение результата, но и вероятность его наступления. Функция полезности используется для расчёта ожидаемой полезности — математического ожидания субъективной ценности результата.

Теория одномерной и многомерной полезности

В одномерной модели полезность определяется для каждого варианта в целом.

В многомерной модели (MAUT — Multi-Attribute Utility Theory) учитываются частные оценки по нескольким критериям. Общая полезность формируется на основе:

• аддитивной модели, если предпочтения по критериям независимы;
• мультипликативной модели, если имеется взаимодействие между критериями​ .

Пример: полезность решения может зависеть одновременно от времени, стоимости и риска; в таком случае оцениваются функции частной полезности и весовые коэффициенты для каждого критерия.

Субъективная и объективная полезность

Теория полезности различает:

• объективные вероятности (например, из статистики),
• субъективные вероятности, задаваемые самим ЛПР.

Субъективная полезность учитывает личную уверенность в наступлении событий и предпочтения, что позволяет использовать теорию в реальных задачах, где отсутствует полная информация​ .

Теория проспектов и критика аксиоматики

На практике установлено, что поведение ЛПР не всегда укладывается в классическую аксиоматику. Выявлены парадоксы (например, парадокс Алле), демонстрирующие отклонение от предполагаемой рациональности.

В ответ на эти ограничения была разработана теория проспектов (Д. Канеман и А. Тверски), в которой учитываются:

• асимметрия восприятия выигрышей и потерь;
• завышение значимости определённых исходов;
• нелинейная оценка вероятностей и последствий​ .

Метод оценки функции полезности

Один из методов — метод стандартной игры. ЛПР сравнивает детерминированный вариант с лотереей между наилучшим и наихудшим исходом, чтобы определить точку безразличия. Это позволяет вычислить значение функции полезности варианта, основываясь на субъективной вероятности этой лотереи​.