Функция полезности

Фу́нкция поле́зности (англ. utility function) — числовое представление предпочтений индивида над множеством альтернатив, сопоставляющее каждой альтернативе действительное число таким образом, что более предпочтительной альтернативе соответствует бо́льшее значение. Используется как основной инструмент дескриптивного и нормативного описания выбора в теории принятия решений, микроэкономике, финансах и теории игр. В контексте выбора при риске функция полезности задаёт не только порядок исходов, но и форму отношения агента к риску: вогнутость функции соответствует избеганию риска, линейность — нейтральности к риску, выпуклость — склонности к риску.

В современной теории функция полезности понимается прежде всего как инструмент представления (англ. representation) отношения предпочтения, а не как прямое измерение психологической величины. Различаются два типа представления: ординальное (англ. ordinal utility), в котором значения полезности сохраняются при любом монотонно возрастающем преобразовании и несут информацию только о порядке альтернатив, и кардинальное (англ. cardinal utility), в котором значения полезности сохраняются лишь при положительном аффинном преобразовании и несут дополнительную информацию о расстояниях между альтернативами в шкале желательности. Ключевые результаты о существовании таких представлений получены Ж. Дебрё для ординального случая («Representation of a Preference Ordering by a Numerical Function», 1954) и Дж. фон Нейманом и О. Моргенштерном для кардинального случая в задачах с объективными вероятностями («Theory of Games and Economic Behavior», 1944). Распространение кардинальной конструкции на задачи с субъективными вероятностями дано Л. Сэвиджем в монографии «The Foundations of Statistics» (1954).

Исторический контекст

Понятие полезности как меры удовлетворения, извлекаемого из обладания благом или из события, вошло в научный оборот из двух независимых источников: из утилитаристской этической традиции И. Бентама и Дж. Ст. Милля, ориентированной на совокупное благо, и из анализа рискованных денежных ставок, восходящего к переписке Н. Бернулли с П. Р. де Монмором в начале XVIII века.

Отправной эпизод в истории функции полезности — постановка санкт-петербургского парадокса (1713) Н. Бернулли: в игре, где честная монета подбрасывается до первого выпадения «орла», а выигрыш составляет $2^{n}$ денежных единиц при выпадении на n-м броске, математическое ожидание выигрыша бесконечно, однако ни один разумный игрок не согласится уплатить за участие сколь угодно большую сумму. В письме 1728 года Г. Крамер предложил нелинейную — корневую — функцию полезности денег, при которой ожидаемая полезность конечна. В работе «Specimen theoriae novae de mensura sortis» (1738; в английском переводе «Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk», опубликованном в Econometrica в 1954 году) Д. Бернулли независимо ввёл логарифмическую функцию полезности и сформулировал принцип убывающей предельной полезности (англ. diminishing marginal utility): добавочная полезность от каждой следующей денежной единицы тем меньше, чем богаче агент. На основании этого принципа Бернулли предложил максимизировать не математическое ожидание денежного выигрыша, а математическое ожидание полезности — моральное ожидание (фр. espérance morale) в терминологии той эпохи.

В маржиналистской революции 1870-х годов (У. Джевонс, К. Менгер, Л. Вальрас) полезность получила статус центрального понятия микроэкономической теории ценности. Первоначально предполагалось, что полезность есть непосредственно измеримая кардинальная величина, сопоставимая между индивидами. Геометрический аппарат кривых безразличия (англ. indifference curves) был введён Ф. Эджуортом в книге «Mathematical Psychics» (1881) — ещё в кардиналистской рамке, с интерпретацией кривых как линий уровня измеримой функции полезности. Отход от этой картины начался с работ В. Парето в начале XX века: в «Manuale di economia politica» (1906) он показал, что для вывода кривых спроса достаточно ординального сравнения наборов благ и соответствующих кривых безразличия, а абсолютная величина полезности не играет роли; тем самым Парето освободил инструментарий Эджуорта от кардиналистских допущений. Эта идея получила строгое оформление в статье Дж. Хикса и Р. Аллена «A Reconsideration of the Theory of Value» (Economica, 1934), в которой систематически разграничены кардинальная и ординальная трактовки полезности и обоснована достаточность ординальной конструкции для всей неоклассической теории потребительского выбора. Термин cardinal utility при этом существовал в обиходе и ранее, однако именно работы конца 1920-х — 1930-х годов закрепили его современное методологическое употребление (обзор периода — И. Москати, «How Cardinal Utility Entered Economic Analysis, 1909—1944», 2013). Дж. Хикс в книге «Value and Capital» (1939) развил соответствующий аппарат кривых безразличия и бюджетных ограничений.

Параллельно с ординалистской программой в 1930-е годы предпринимались попытки восстановить содержательный смысл кардинальной полезности на новых основаниях. О. Ланге в статье «The Determinateness of the Utility Function» (Review of Economic Studies, 1934) впервые явно выделил класс функций полезности, инвариантных относительно положительных аффинных преобразований, и указал на его отличие от класса функций, определённых с точностью до произвольной монотонной замены. Ф. Алт в работе «Über die Meßbarkeit des Nutzens» (Zeitschrift für Nationalökonomie, 1936) построил аксиоматическую теорию кардинальной полезности на основе сравнений разностей полезностей между наборами благ, не прибегая к лотереям. Эти работы предвосхитили операциональную трактовку кардинальности, формализованную в теореме фон Неймана — Моргенштерна.

В 1944 году Дж. фон Нейман и О. Моргенштерн в «Theory of Games and Economic Behavior» предложили аксиоматическое построение, в котором кардинальная мера полезности восстанавливается из ординальных предпочтений над лотереями с объективными вероятностями. В 1954 году Л. Сэвидж в «The Foundations of Statistics» распространил аксиоматическое построение на случай субъективных вероятностей. Независимо Ф. Рамсей ещё в статье «Truth and Probability» (1926, опубликована посмертно в 1931) очертил сходную программу, хотя и без полного доказательства. В 1954 году Ж. Дебрё в статье «Representation of a Preference Ordering by a Numerical Function» доказал базовый результат об ординальном представлении непрерывных предпочтений непрерывной числовой функцией; соответствующая конструкция легла в основу систематического изложения в его монографии «Theory of Value» (1959). Ещё ранее близкий топологический результат был получен С. Эйленбергом («Ordered Topological Spaces», American Journal of Mathematics, 1941); в связи с этим в современной литературе соответствующую линию теорем представления часто называют теоремой Эйленберга — Дебрё. Дополнительно ранние строгие результаты о числовом представлении предпочтений были получены Х. Вольдом в цикле работ «A Synthesis of Pure Demand Analysis» (Skandinavisk Aktuarietidskrift, 1943—1944); формулировка Дебрё, однако, стала канонической в экономическом контексте благодаря общности и аксиоматической ясности. В этот же период были введены количественные меры отношения к риску: коэффициент абсолютного избегания риска (К. Эрроу, «Aspects of the Theory of Risk-Bearing», 1965; Дж. Пратт, «Risk Aversion in the Small and in the Large», Econometrica, 1964) стал стандартным инструментом работы с функциями полезности в приложениях к страхованию, финансам и портфельному анализу.

В 1970-х — 1980-х годах началась систематическая ревизия эмпирической адекватности теории ожидаемой полезности: парадокс Алле (1953), парадокс Эллсберга (1961), эксперименты А. Тверски, Д. Канемана, П. Словика и других показали, что наблюдаемые предпочтения систематически нарушают аксиомы ожидаемой полезности. Это привело к появлению обширного семейства моделей не-ожидаемой полезности, в которых классическая функция полезности либо модифицируется (вводится точка отсчёта, асимметрия выигрышей и потерь), либо дополняется другими компонентами (нелинейное взвешивание вероятностей, функция сожаления или разочарования).

Ординальная функция полезности

Отношение предпочтения

Пусть X — множество альтернатив (потребительское множество, англ. consumption set), над которым определено бинарное отношение слабого предпочтения ⪰. Запись x ⪰ y означает, что альтернатива x не менее желательна, чем y. Стандартно вводятся производные отношения строгого предпочтения ≻ (x ≻ y ⇔ x ⪰ y и не (y ⪰ x)) и безразличия ∼ (x ∼ y ⇔ x ⪰ y и y ⪰ x).

Отношение ⪰ называется рациональным (или слабым порядком, weak order), если оно удовлетворяет двум аксиомам:

полнота (англ. completeness): для любых x, y ∈ X выполнено x ⪰ y или y ⪰ x (или и то, и другое);
транзитивность (англ. transitivity): если x ⪰ y и y ⪰ z, то x ⪰ z.

В содержательном плане полнота означает способность агента сравнить любые две альтернативы, а транзитивность — согласованность этих сравнений. Стандартный аргумент в пользу транзитивности — так называемый денежный насос (англ. money pump): агент с нетранзитивными предпочтениями может быть последовательно вовлечён в серию обменов, каждый из которых локально для него приемлем, но в совокупности они возвращают его к исходному набору с чистой денежной потерей.

Теорема об ординальном представлении

Функция u: X → ℝ представляет отношение ⪰, если для любых x, y ∈ X выполнено

x ⪰ y ⟺ u (x) ⩾ u (y) .

В конечном случае справедлива элементарная теорема: отношение ⪰ на конечном множестве X представимо числовой функцией тогда и только тогда, когда оно полно и транзитивно. Ординальная функция полезности определена при этом с точностью до монотонно возрастающего преобразования: если u представляет ⪰, то и любая функция v = f(u), где f строго возрастает, также представляет ⪰.

Для бесконечных множеств альтернатив полноты и транзитивности недостаточно — классический контрпример даёт лексикографический порядок на $ℝ^{2}$ : предпочтения вида «сначала сравниваются первые координаты, при их равенстве — вторые» полны, транзитивны, но не представимы никакой действительнозначной функцией (П. Фишберн, «Utility Theory for Decision Making», 1970). Стандартная достаточная предпосылка, которую дополнительно накладывают в теоремах представления, — условие непрерывности (англ. continuity): для любого x ∈ X множества {y ∈ X : y ⪰ x} и {y ∈ X : x ⪰ y} замкнуты в исходной топологии. Одной непрерывности, однако, недостаточно в произвольном пространстве; для гарантии существования числового представления требуются и структурные ограничения на X (например, связность и сепарабельность в духе теоремы Эйленберга — Дебрё, излагаемой ниже).

Теорема Эйленберга — Дебрё (одна из стандартных формулировок): Если X — связное сепарабельное топологическое пространство, а отношение ⪰ на X полно, транзитивно и непрерывно (англ. continuous — контурные множества {y : y ⪰ x} и {y : x ⪰ y} замкнуты для всех x ∈ X), то существует непрерывная функция u: X → ℝ, представляющая ⪰. Функция u единственна с точностью до строго возрастающего непрерывного преобразования. В этом виде теорема принадлежит С. Эйленбергу («Ordered Topological Spaces», 1941); Ж. Дебрё (1954, 1964) получил родственные результаты при других топологических предпосылках (в частности, для пространств со второй счётной аксиомой) и адаптировал построение для экономического контекста.

В прикладных учебниковых изложениях чаще используется частный случай: при X ⊆ ℝⁿ (стандартно — замкнутый положительный ортант $ℝ_{+}^{n}$ , допускающий нулевые потребления и, соответственно, угловые решения задачи потребителя; либо строго положительный ортант $ℝ_{+ +}^{n}$ при работе только с внутренними решениями) непрерывность ⪰ гарантирует существование непрерывной функции полезности без дополнительных топологических предположений. Общая топологическая формулировка необходима в задачах с абстрактными пространствами альтернатив (включая, например, пространства временных траекторий потребления или пространства лотерей).

Теорема Эйленберга — Дебрё обеспечивает математическое обоснование того, что во всех задачах, где выполнены её условия, выбор можно эквивалентно описывать либо через исходное отношение предпочтения, либо через максимизацию числовой функции. Это снимает давнишнее возражение о том, что использование функций полезности требует гипотезы об «измеримости счастья»: для ординальных приложений такая гипотеза не нужна.

Свойства типичных ординальных функций

Для задач потребительского выбора в пространстве благ $ℝ_{+}^{L}$ обычно постулируются дополнительные свойства предпочтений, переходящие в соответствующие свойства функции u:

монотонность (больше любого блага не хуже): u возрастает по каждому аргументу;
строгая монотонность (больше хотя бы одного блага строго лучше): u строго возрастает;
выпуклость предпочтений (любое смешение двух безразличных наборов не хуже каждого из них): u квазивогнутая;
строгая выпуклость: u строго квазивогнутая.

Эти свойства обеспечивают корректную работу аппарата предельного анализа: существование решения задачи максимизации полезности при бюджетном ограничении (обеспечивается непрерывностью предпочтений и компактностью бюджетного множества, которое при p ≫ 0 и w < ∞ автоматически компактно), выполнение закона Вальраса — исчерпание бюджета в оптимуме (требует локальной ненасыщаемости), выпуклость множества решений (при квазивогнутости u), единственность решения (при строгой квазивогнутости), а также непрерывность функций спроса при соответствующих дополнительных условиях и применимость теоремы об огибающей. Важное производное понятие — предельная норма замещения (англ. marginal rate of substitution, MRS), определяемая как модуль наклона кривой безразличия и выражающая отношение предельных полезностей: $M R S_{x_{1}, x_{2}} = \frac{\partial u / \partial x_{1}}{\partial u / \partial x_{2}}$ .

Кардинальная функция полезности и ожидаемая полезность

Мотивация перехода к лотереям

Ординальная функция полезности достаточна для анализа выбора в условиях определённости, но не для анализа выбора при риске. Причина — наблюдение, отмеченное в энциклопедическом изложении предметной области в статье «Decision Theory» (К. Стил, О. Стефанссон, Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2015, существенное обновление 2025): ожидаемая полезность лотереи зависит не только от порядка альтернатив, но и от числовых значений u, поэтому произвольное монотонное преобразование u меняет сравнение лотерей. Для корректной работы с рискованными перспективами нужна более информативная — интервальная, или кардинальная — мера полезности, сохраняющая отношения расстояний между альтернативами и устойчивая лишь к положительным аффинным преобразованиям вида $u^{'} = a \cdot u + b$ при $a > 0$ .

Способ построения такой меры, восходящий к Ф. Рамсею и систематически развитый Дж. фон Нейманом и О. Моргенштерном, состоит во введении лотерей (англ. lotteries) — распределений вероятностей на множестве исходов — и аксиоматизации предпочтений уже на пространстве лотерей, а не на пространстве сырых исходов.

Теорема фон Неймана — Моргенштерна

Пусть O — конечное множество исходов, ℒ — множество всех лотерей на O, замкнутое относительно вероятностных смешений. Обозначим через ${p A, (1 - p) C}$ составную лотерею, дающую A с вероятностью p и C с вероятностью 1 − p, где A и C — исходы либо лотереи. Отношение предпочтения ⪰ на ℒ подчиняется четырём аксиомам:

аксиома 1 (полнота): для любых L₁, L₂ ∈ ℒ выполнено $L_{1} ⪰ L_{2}$ или $L_{2} ⪰ L_{1}$ ;
аксиома 2 (транзитивность): если $L_{1} ⪰ L_{2}$ и $L_{2} ⪰ L_{3}$ , то $L_{1} ⪰ L_{3}$ ;
аксиома 3 (непрерывность; часто называется также архимедовой аксиомой — англ. Archimedean axiom — и связана с отсутствием «бесконечно лучших» или «бесконечно худших» исходов): если C ⪰ B ⪰ A, то существует p ∈ [0, 1] такое, что ${p A, (1 - p) C} \sim B$ ;
аксиома 4 (независимость): если B ⪰ A, то для любого C и любого p ∈ [0, 1] выполнено ${p B, (1 - p) C} ⪰ {p A, (1 - p) C}$ .

Содержательно аксиома независимости утверждает, что при сравнении двух лотерей общие компоненты должны сокращаться: предпочтение зависит только от различий.

Теорема фон Неймана — Моргенштерна (1944): Отношение ⪰ на ℒ удовлетворяет аксиомам 1—4 тогда и только тогда, когда существует функция u: O → ℝ, единственная с точностью до положительного аффинного преобразования, относительно которой ⪰ представимо максимизацией ожидаемой полезности:

L_{1} ⪰ L_{2} ⟺ \sum_{k} p_{1 k} \cdot u (O_{k}) ⩾ \sum_{k} p_{2 k} \cdot u (O_{k}),

где p_ik — вероятность исхода O_k в лотерее L_i. Такая функция u называется функцией полезности фон Неймана — Моргенштерна (англ. von Neumann — Morgenstern utility function, vNM-функция). Доступная иллюстрация доказательства дана в книге Д. Крепса «Notes on the Theory of Choice» (1988).

Теорема не утверждает, что агент сознательно вычисляет математические ожидания. Она утверждает, что поведение агента, удовлетворяющее аксиомам, формально изоморфно процессу максимизации $E U (L) = \sum_{k} p_{k} \cdot u (O_{k})$ — так называемая интерпретация «как если бы» (англ. as-if interpretation). Конкретное применение этой идеи к функции полезности при риске дано М. Фридманом и Л. Сэвиджем в статье «The Utility Analysis of Choices Involving Risk» (Journal of Political Economy, 1948); систематическое методологическое обоснование «как если бы» как принципа построения экономических теорий развернул М. Фридман в статье «The Methodology of Positive Economics» (1953). Это наблюдение задаёт методологическую позицию, в которой теория служит прежде всего инструментом предсказания наблюдаемого выбора, а не гипотезой о внутренних когнитивных процессах; критики этой позиции возражают, что дескриптивная адекватность модели без психологического основания остаётся уязвимой, и этот спор — постоянный фон обсуждения оснований теории ожидаемой полезности.

Нормативный статус аксиом vNM опирается на два взаимодополняющих аргумента. Денежный насос (money pump), разобранный ранее в связи с транзитивностью ординальных предпочтений, классически применяется и как довод в защиту соответствующей аксиомы в рамках vNM. Теоремы голландской книги (англ. Dutch book theorems, восходящие к работам Ф. Рамсея 1926 года и Б. де Финетти 1937 года) показывают, что агент, чьи степени уверенности нарушают аксиомы вероятности, допускает существование пакета пари, гарантирующего ему денежный убыток независимо от реализации случайных событий; этот аргумент в первую очередь обосновывает когерентность вероятностных убеждений. Распространение аналогичного прагматического аргумента на аксиому независимости остаётся предметом продолжающейся дискуссии в философии решений.

Кардинальность vNM-функции иногда вызывает смешение: функция однозначна с точностью до аффинного преобразования, то есть её шкала и начало отсчёта произвольны, но отношения разностей — содержательные величины. В частности, утверждение «прирост полезности от x до y вдвое больше, чем прирост от y до z» инвариантно относительно допустимых преобразований u, тогда как утверждение «полезность в точке x вдвое больше полезности в точке y» — нет. Кардинальность vNM-функции — математическое свойство её класса эквивалентности, а не тезис об измеримости субъективного удовольствия (У. Баумоль формулировал это обстоятельство как «кардинальная полезность, которая ординальна», The Economic Journal, 1958).

Теорема Сэвиджа и субъективная ожидаемая полезность

Теорема фон Неймана — Моргенштерна применима только к лотереям с заданными объективными вероятностями. В реальных задачах выбора — при отсутствии готового механизма рандомизации — агент вынужден опираться на собственные представления о вероятности событий. Концептуальное различение этих двух ситуаций введено Ф. Найтом в работе «Risk, Uncertainty, and Profit» (1921): термин риск (англ. risk) Найт зарезервировал за ситуациями, в которых вероятности исходов могут быть заданы объективно или установлены на основе частотного анализа, а термин неопределённость (англ. uncertainty, позднее называемая Найтовой неопределённостью) — за ситуациями, в которых объективные вероятности принципиально недоступны. Большинство содержательных экономических, управленческих и политических решений принимается в режиме неопределённости, и задача распространения аппарата ожидаемой полезности на этот режим решена Л. Сэвиджем в 1954 году.

Первичные объекты в теории Сэвиджа — состояния мира (англ. states of the world) из множества S и исходы (англ. outcomes) из множества O. Действием (англ. act) называется функция f: S → O, сопоставляющая каждому возможному состоянию мира свой исход. Отношение предпочтения ⪰ определено на множестве всех действий F. Сэвидж накладывает на ⪰ семь постулатов P1—P7; точная формулировка и нумерация в современной литературе несколько варьируется. В одном из стандартных изложений речь идёт о следующих аксиомах: аксиома порядка (P1), принцип верной вещи (англ. sure-thing principle, P2) — аналог независимости, не зависящий от вероятностей, пособытийная монотонность (англ. eventwise monotonicity, P3: желаемость исхода не зависит от состояния мира, при котором он реализуется; формально — для любых постоянных действий и любого неничтожного события условные предпочтения совпадают с безусловными), аксиома согласованности качественных вероятностей (P4), аксиома нетривиальности (P5), аксиома неатомарности / непрерывности событий (P6) и аксиома доминирования для общих действий (P7). Первые шесть постулатов обеспечивают представление субъективной ожидаемой полезности на классе простых (конечнозначных) действий; P7 — аксиома доминирования, обеспечивающая распространение представления на общие действия с произвольным множеством исходов. Ограниченность функции полезности u при этом не формулируется как часть аксиоматики, а является следствием P1—P7 в стандартных изложениях.

Теорема Сэвиджа (1954): Если отношение ⪰ удовлетворяет аксиомам P1—P6, то существует единственная (конечно аддитивная) вероятностная мера P на S и функция u: O → ℝ, единственная с точностью до положительного аффинного преобразования, такие что для любых простых (конечнозначных) действий f = (E₁:x₁, …, E_n:x_n) и g = (F₁:y₁, …, F_m:y_m), где E_i = f⁻¹(x_i), F_j = g⁻¹(y_j) — разбиения пространства состояний по исходам, предпочтение f ⪯ g эквивалентно сравнению ожидаемых полезностей:

f ⪯ g ⟺ \sum_{i} u (x_{i}) \cdot P (E_{i}) ⩽ \sum_{j} u (y_{j}) \cdot P (F_{j}) .

При дополнительном постулате P7 представление распространяется на общие действия с произвольным множеством исходов; в этом случае конечная сумма заменяется интегралом по мере P.

Теорема формально отделяет представление убеждений (вероятностная мера P) от представления желаний (функция полезности u) и выводит оба объекта из единого источника — наблюдаемых предпочтений над действиями. В этом отношении теорема Сэвиджа служит центральным результатом субъективной ожидаемой полезности (subjective expected utility, SEU) и одновременно — аксиоматическим обоснованием байесовской парадигмы принятия решений.

Важная предпосылка конструкции Сэвиджа — независимость полезности от состояния (англ. state-independence): полезность исхода u(f(s)) зависит только от самого исхода, но не от того, при каком состоянии мира s этот исход реализовался. Эмпирически это допущение нарушается в задачах, где ценность денежного исхода содержательно зависит от состояния (здоровья, трудоспособности, наличия иждивенцев и т. п.). Модели полезности, зависящей от состояния (англ. state-dependent utility; Э. Карни, «Decision Making Under Uncertainty: The Case of State-Dependent Preferences», 1985) расширяют SEU, допуская функции полезности u_s с явной зависимостью от состояния; при этом вопрос о единственном выделении субъективной вероятности из наблюдаемого выбора становится более тонким.

Существенное техническое упрощение аксиоматики SEU предложено Ф. Анскомбом и Р. Ауманом в статье «A Definition of Subjective Probability» (Annals of Mathematical Statistics, 1963). Объектами выбора в их конструкции служат двухуровневые составные лотереи: на внешнем уровне — лотереи на скачках (англ. horse lotteries), исход которых зависит от состояния мира, а на внутреннем — рулеточные лотереи (англ. roulette lotteries) с объективно заданными вероятностями. Подставляя во внешние лотереи рулеточные на месте чистых исходов, Анскомб и Ауман используют уже готовое vNM-представление на внутреннем уровне и выводят субъективную вероятностную меру состояний из предпочтений над внешней составляющей, минуя структурные аксиомы Сэвиджа (P4—P6). При этом полезность однозначна с точностью до положительного аффинного преобразования, а вероятностная мера единственна — сохраняются свойства уникальности, аналогичные теореме Сэвиджа. Конструкция Анскомба — Аумана удобнее в доказательствах и стала рабочим стандартом при построении моделей выбора при неоднозначности — максимина ожидаемой полезности И. Гилбоа и Д. Шмейдлера (1989), мягкой ожидаемой полезности П. Клибаноффа, М. Маринакки, С. Муккерджи (2005) и Шоке-ожидаемой полезности Д. Шмейдлера (1989).

Альтернативная аксиоматизация, в которой не требуется разделение исходов и состояний мира, а объектами предпочтения выступают пропозиции, предложена Р. Джеффри в книге «The Logic of Decision» (1965); соответствующая теорема представления доказана Э. Болкером (1966). В модели Джеффри — Болкера желательность пропозиции p задаётся как условное ожидание желательностей её реализаций при условии её истинности — $D e s (p) = \sum_{i} D e s (p_{i}) \cdot P (p_{i} ∣ p)$ , где ${p_{1}, \dots, p_{n}}$ — разбиение p. В отличие от конструкции Сэвиджа, допускается вероятностная зависимость между действиями и состояниями, что снимает ограничения на форму декомпозиции задачи, но ценой утраты единственности вероятностной меры. Теория Джеффри относится к семейству эвиденциальных (англ. evidential) теорий выбора: действие оценивается через условное ожидание исходов при условии его совершения, независимо от того, служит ли оно причиной состояния мира или лишь его свидетельством. В задачах, где это различие существенно, эвиденциальная теория расходится с каузальной теорией решений (А. Гиббард и У. Харпер, «Counterfactuals and Two Kinds of Expected Utility», 1978; Д. Льюис, «Causal Decision Theory», Australasian Journal of Philosophy, 1981); канонический пример такого расхождения — парадокс Ньюкома.

Функция полезности и отношение к риску

Понятие отношения к риску (англ. risk attitude) в изложенном ниже виде сформулировано в рамках теории ожидаемой полезности (vNM / SEU): именно здесь форма функции полезности над итоговым богатством или потреблением однозначно связана с предпочтениями между рискованными перспективами. Для произвольного ординального представления (общей полезности, определённой с точностью до монотонного преобразования) такой связи нет — форма функции u определяется с точностью до выбора допустимого преобразования и не содержит самостоятельной информации о риске.

Геометрия отношения к риску

В аппарате vNM-полезности форма функции u непосредственно кодирует отношение агента к риску. Пусть w — богатство (или потребление), L — случайная величина с распределением на $ℝ_{+}$ , представляющая рискованную денежную перспективу. Агент называется:

нейтральным к риску (англ. risk-neutral), если для любой L: $u (E [L]) = E [u (L)]$ ; это эквивалентно линейности u;
избегающим риска (англ. risk-averse), если $u (E [L]) ⩾ E [u (L)]$ для любой L; по неравенству Йенсена это эквивалентно вогнутости u;
склонным к риску (англ. risk-loving), если $u (E [L]) ⩽ E [u (L)]$ для любой L; это эквивалентно выпуклости u.

Количественные характеристики риска:

эквивалент определённости (англ. certainty equivalent) CE — гарантированная сумма, дающая агенту ту же полезность, что и рискованная перспектива: $u (C E) = E [u (L)]$ ;
премия за риск (англ. risk premium) π — разница между ожидаемой величиной перспективы и её эквивалентом определённости: $π = E [L] - C E$ .

Для избегающего риска агента CE < E[L] и π > 0; чем больше вогнутость u, тем выше премия за риск и тем ниже эквивалент определённости.

Мера Эрроу — Пратта

Вторая производная u″ сама по себе не может служить мерой избегания риска, поскольку меняется при допустимых аффинных преобразованиях u. Нормировка, устраняющая эту зависимость, введена Дж. Праттом («Risk Aversion in the Small and in the Large», Econometrica, 1964) и независимо К. Эрроу в сборнике лекций «Aspects of the Theory of Risk-Bearing» (1965; соответствующая лекция носит название «The Theory of Risk Aversion»).

Коэффициент абсолютного избегания риска Эрроу — Пратта (англ. Arrow — Pratt coefficient of absolute risk aversion, ARA):

A (w) = - \frac{u^{″} (w)}{u^{'} (w)} .

Коэффициент относительного избегания риска (англ. Arrow — Pratt coefficient of relative risk aversion, RRA):

R (w) = - \frac{w \cdot u^{″} (w)}{u^{'} (w)} = w \cdot A (w) .

Первая мера имеет размерность 1/денежной единицы и естественно возникает при аддитивных рисках; вторая — безразмерна и естественно возникает при мультипликативных рисках (рисках, пропорциональных богатству). Для малого добавочного риска с нулевым математическим ожиданием (E[L] = 0) справедлива аппроксимация премии π ≈ (1/2) · A(w) · Var(L), что служит операциональной интерпретацией коэффициента: ARA w численно задаёт приращение страховой премии на единицу дисперсии малого риска.

Поведение мер ARA и RRA в зависимости от w формализуется через понятия:

убывающее (возрастающее) абсолютное избегание риска (англ. decreasing / increasing absolute risk aversion, DARA / IARA): $A^{'} (w) < 0$ (соответственно $> 0$ ). Содержательная интерпретация: при росте богатства агент готов вкладывать в рискованный актив бо́льшую (меньшую) абсолютную сумму. Эмпирические данные преимущественно согласуются с DARA (И. Френд, М. Блюм, «The Demand for Risky Assets», American Economic Review, 1975);
убывающее (возрастающее) относительное избегание риска (англ. decreasing / increasing relative risk aversion, DRRA / IRRA): $R^{'} (w) < 0$ (соответственно $> 0$ ). Содержательная интерпретация — изменение доли рискованного актива в портфеле.

Стохастическое доминирование

Самостоятельный аппарат сравнения рисковых перспектив, не требующий фиксации конкретной функции полезности, даёт теория стохастического доминирования (англ. stochastic dominance), развитая в работах Дж. Хэдара и У. Расселла («Rules for Ordering Uncertain Prospects», American Economic Review, 1969) и М. Ротшильда и Дж. Стиглица («Increasing Risk: I. A Definition», Journal of Economic Theory, 1970).

Распределение F стохастически доминирует по первому порядку (англ. first-order stochastic dominance, FSD) над распределением G, если F(x) ≤ G(x) для всех x. Эквивалентная характеризация в терминах полезности: FSD выполнено тогда и только тогда, когда E_F[u(X)] ≥ E_G[u(X)] для любой возрастающей функции полезности u. Иными словами, FSD объединяет предпочтения всех агентов, предпочитающих больше меньшему, независимо от их отношения к риску.

Распределение F стохастически доминирует по второму порядку (англ. second-order stochastic dominance, SSD) над G, если E_F[u(X)] ≥ E_G[u(X)] для любой возрастающей вогнутой функции полезности u. SSD, таким образом, объединяет предпочтения всех избегающих риска агентов одновременно. Эквивалентная характеризация через функции распределения: для всех t выполняется $\int_{- \infty}^{t} F (x) d x ⩽ \int_{- \infty}^{t} G (x) d x$ . В частном случае, когда F и G имеют равные математические ожидания, SSD эквивалентно тому, что G получается из F добавлением сохраняющего среднее распространения риска (англ. mean-preserving spread).

Стохастическое доминирование служит инструментом частичного упорядочения рисковых перспектив: отношения FSD и SSD — неполные (большинство пар распределений не сравнимы), но выводы, которые они позволяют сделать, не зависят от конкретной формы функции полезности в соответствующем классе.

Функции полезности специального вида

Для вычислительной работы и при эмпирическом оценивании обычно выбирают функцию полезности из параметрического семейства, допускающего удобное аналитическое обращение. Наиболее используемые классы:

CARA (англ. constant absolute risk aversion) — экспоненциальная полезность: $u (w) = (1 - \exp (- α w)) / α$ при $α > 0$ ; предельный случай $α \to 0$ по правилу Лопиталя даёт линейную полезность $u (w) = w$ (риск-нейтральный агент). В финансовой литературе часто используется эквивалентная с точностью до положительного аффинного преобразования форма $u (w) = - \exp (- α w)$ . Коэффициент абсолютного избегания риска $A (w) = α$ не зависит от w. Главное удобство — совместимость с нормально распределёнными рисками: при $L \sim N (μ, σ^{2})$ эквивалент определённости равен $C E = μ - α σ^{2} / 2$ , что лежит в основе классической теории среднего-дисперсии (англ. mean-variance analysis).
CRRA (англ. constant relative risk aversion) — изоэластичная полезность: $u (w) = (w^{1 - γ} - 1) / (1 - γ)$ при $γ \neq 1$ и $u (w) = \ln w$ при $γ = 1$ (предел при $γ \to 1$ по правилу Лопиталя). Коэффициент относительного избегания риска $R (w) = γ$ постоянен. В стандартной модели ожидаемой полезности, сепарабельной во времени, параметр γ одновременно служит обратной величиной межвременной эластичности замещения, что существенно для макроэкономических моделей на CRRA-предпочтениях; в рекурсивных конструкциях типа Эпстейна — Зина (см. раздел «Межвременная функция полезности») это отождествление снимается. Логарифмическая полезность (предложенная Д. Бернулли как разрешение санкт-петербургского парадокса) соответствует частному случаю $γ = 1$ .
HARA (англ. hyperbolic absolute risk aversion) — общий класс функций, включающий CARA, CRRA и квадратичную полезность как частные случаи. Задаётся условием $A (w) = 1 / (a w + b)$ ; эквивалентно HARA-класс вводится через линейность толерантности к риску (англ. risk tolerance) $T (w) = 1 / A (w) = a w + b$ — такая запись чаще используется в финансовой литературе. Соответствующая функция u допускает замкнутую форму и широко применяется при построении портфельных моделей с разделимыми решениями (Р. Мертон, 1971).
Квадратичная полезность: $u (w) = w - b w^{2} / 2$ . В области монотонности w < 1/b делает ожидаемую полезность E[u(W)] зависящей исключительно от первых двух моментов распределения богатства — среднего и дисперсии; этим квадратичная полезность служит одним из микрооснований теории среднего-дисперсии в указанной области (при условиях, гарантирующих, что реализации W остаются в области монотонности). Основные ограничения применимости: возрастающее абсолютное избегание риска (A(w) = b/(1 − bw) растёт по w) и наличие точки насыщения (англ. bliss point) при w = 1/b, после которой предельная полезность становится отрицательной, а функция теряет монотонность — что делает прямое глобальное применение квадратичной формы к неограниченным распределениям некорректным.

Выбор функции из этих классов — модельное допущение, ограничивающее допустимые формы отношения к риску. Эмпирические оценки параметра γ в CRRA-функции сильно зависят от метода калибровки и типа используемых данных: микроэкономические данные о потребительском и портфельном поведении типично дают низкие значения (порядка 1—3), тогда как калибровка на агрегированных данных финансовых рынков требует существенно более высоких значений — именно это расхождение фиксирует загадка премии по акциям (англ. equity premium puzzle; Р. Мехра и Э. Прескотт, 1985), ставшая одним из центральных вызовов стандартной CRRA-модели ожидаемой полезности и одним из мотивов последующего развития поведенческих и рекурсивных альтернатив.

Функции полезности в потребительском выборе

Помимо анализа риска, функция полезности служит основой моделирования выбора потребителя между наборами благ. Для этого применяется ряд стандартных параметрических форм:

Кобб — Дуглас: $u (x_{1}, \dots, x_{L}) = \prod_{ℓ} x_{ℓ}^{α_{ℓ}}$ . Стандартно накладывается нормировочное условие Σ_ℓ α_ℓ = 1 (в ординальном контексте оно несущественно, но в маршаллианской интерпретации обеспечивает прямое прочтение α_ℓ как доли расхода на благо ℓ в бюджете потребителя). Функция гомотетична, порождает постоянные доли расходов на каждое благо и повсеместно применяется в теории производства и теории экономического роста.
CES (англ. constant elasticity of substitution): $u (x_{1}, \dots, x_{L}) = {(\sum_{ℓ} α_{ℓ} x_{ℓ}^{ρ})}^{1 / ρ}$ . Содержит Кобба — Дугласа ( $ρ \to 0$ ), Леонтьева ( $ρ \to - \infty$ ) и линейную полезность ( $ρ = 1$ ) как частные случаи.
Квазилинейная полезность: $u (x_{0}, x_{1}, \dots, x_{L}) = x_{0} + v (x_{1}, \dots, x_{L})$ . При внутреннем решении задачи потребителя (когда потребление нумерарного блага x₀ положительно, что в стандартных условиях обеспечивается достаточно большим доходом) спрос на блага x₁, …, x_L не зависит от дохода; это свойство нарушается при угловых решениях, когда бюджетное ограничение становится активным по x₀. Отсутствие эффекта дохода в стандартном случае делает конструкцию удобной для анализа частичного равновесия и прикладной оценки благосостояния.
Аддитивно сепарабельная полезность: $u (x_{1}, \dots, x_{L}) = \sum_{ℓ} v_{ℓ} (x_{ℓ})$ . Предпосылка независимости предельных полезностей, широко критикуемая, но удобная в приложениях.
Стоун — Гири: $u (x_{1}, \dots, x_{L}) = \prod_{ℓ} (x_{ℓ} - γ_{ℓ})^{α_{ℓ}}$ , определена при $x_{ℓ} > γ_{ℓ}$ для всех ℓ. Функция Кобба — Дугласа со сдвигом $γ_{ℓ}$ , интерпретируемым как минимальный прожиточный уровень потребления блага ℓ; лежит в основе линейной системы расходов Р. Стоуна (1954).

Важное следствие ординальности потребительской полезности: формы Кобба — Дугласа, CES и Стоуна — Гири определены с точностью до монотонного преобразования, поэтому за пределами контекста ожидаемой полезности их конкретная числовая шкала интерпретационно не содержательна.

Межвременная функция полезности

Задачи, в которых потребление распределено во времени — сбережения, инвестиционный выбор, планирование пенсионного обеспечения — требуют расширения аппарата функции полезности на последовательности благ, относящиеся к разным моментам. Формально объектом предпочтения выступает поток потребления (англ. consumption stream) c = (c₀, c₁, …, c_T), а функция полезности определяется над всем потоком.

Дисконтированная полезность

Стандартная модель — дисконтированная полезность (англ. discounted utility, DU), предложенная П. Самуэльсоном в статье «A Note on Measurement of Utility» (Review of Economic Studies, 1937). Межвременная полезность аддитивно сепарируется по периодам и дисконтируется с постоянным коэффициентом δ ∈ (0, 1]:

U (c) = \sum_{t = 0}^{T} δ^{t} \cdot u (c_{t}),

где u — одномоментная (instantaneous) функция полезности, а δ — коэффициент временного дисконтирования. Параметр δ связан со ставкой временных предпочтений ρ соотношением δ = 1/(1 + ρ). Самуэльсон ввёл эту модель как удобный аналитический инструмент и сразу оговорил её нормативный, а не дескриптивный характер. Строгую аксиоматическую основу DU дал Т. Коупманс в статье «Stationary Ordinal Utility and Impatience» (Econometrica, 1960), выведший экспоненциальную форму дисконтирования из ограниченного набора аксиом о предпочтениях над потреблением — в первую очередь из свойства стационарности (англ. stationarity): относительное сравнение двух хвостовых траекторий не зависит от момента, в который они начинаются.

Главное аналитическое свойство DU — динамическая согласованность (англ. dynamic consistency): если в момент t₀ агент планирует некоторое решение в момент t₁ > t₀, то, придя к моменту t₁, он не будет иметь стимула пересмотреть свой план. Это свойство обеспечивается именно экспоненциальным видом дисконтирования и делает DU совместимой со стандартным аппаратом динамической оптимизации (уравнение Беллмана).

Гиперболическое дисконтирование

Систематические эмпирические отклонения от DU наблюдаются при сравнении близких и отдалённых выигрышей. В экспериментах субъекты демонстрируют разворот предпочтений во времени: предпочитая бо́льшую сумму через год маленькой сегодня, они же при переносе обоих моментов на год вперёд могут предпочесть меньшую в момент t + 1 бо́льшей в момент t + 2. Это несовместимо с экспоненциальным дисконтированием.

Гиперболическое дисконтирование (англ. hyperbolic discounting) восходит к анализу динамической непоследовательности Р. Стротца («Myopia and Inconsistency in Dynamic Utility Maximization», Review of Economic Studies, 1955), показавшего, что согласованность плановых решений во времени требует именно экспоненциальной формы дисконтирования. Собственно гиперболическая функциональная форма $d (t) = 1 / (1 + k t)$ предложена Дж. Эйнсли в работе «Specious Reward» (Psychological Bulletin, 1975) на основе экспериментальных данных о выборе между отсроченными вознаграждениями. Аналитически удобной квазигиперболической формы, совместимой с дискретно-временным формализмом, дал Д. Лейбсон в статье «Golden Eggs and Hyperbolic Discounting» (Quarterly Journal of Economics, 1997) — так называемая β—δ-модель: $d (0) = 1$ , $d (t) = β \cdot δ^{t}$ при $t ⩾ 1$ , где $β \in (0, 1)$ задаёт настоящее смещение (англ. present bias) — непропорциональную переоценку ближайшего исхода. Соответствующая функция межвременной полезности:

U (c) = u (c_{0}) + β \sum_{t = 1}^{T} δ^{t} \cdot u (c_{t}) .

Ключевое следствие — динамическая непоследовательность: агент, оптимально планирующий из t₀, в момент t₁ пересматривает план в сторону ускорения потребления, что формально делает задачу выбора игрой между «я-сейчас» и «я-завтра». Гиперболическое дисконтирование даёт микроэкономическое основание для наблюдаемых феноменов недостаточного сбережения на старость, прокрастинации, спроса на механизмы самосвязывания (англ. commitment devices) — автоматических пенсионных отчислений, сберегательных программ с ограниченной ликвидностью, обязывающих контрактов.

Рекурсивная полезность

Стандартная аддитивно-сепарабельная форма DU имеет структурный дефект: в ней коэффициент относительного избегания риска γ и обратная эластичность межвременного замещения 1/ψ отождествлены и равны одному и тому же параметру CRRA. Эмпирические данные, однако, указывают на их различные величины. Рекурсивная полезность Л. Эпстейна и С. Зина («Substitution, Risk Aversion, and the Temporal Behavior of Consumption and Asset Returns: A Theoretical Framework», Econometrica, 1989) разводит эти две характеристики, определяя полезность через функциональное уравнение $V_{t} = W (c_{t}, μ (V_{t + 1}))$ , где W — агрегатор потребления и будущей полезности, а μ — оператор эквивалента определённости для рискованной будущей полезности. Рекурсивные предпочтения лежат в основе современных моделей макрофинансов, в частности модели долгосрочного риска Р. Бансала и А. Ярона (2004).

Многоатрибутная функция полезности

Многие прикладные задачи выбора требуют одновременного учёта нескольких качественно различных измерений исхода — денежного, временного, экологического, связанного с безопасностью или со здоровьем. В таких случаях стандартная одномерная функция полезности расширяется до многоатрибутной функции полезности (англ. multi-attribute utility function, MAUT). Систематическая теория этого аппарата построена Р. Кини и Г. Райффой в монографии «Decisions with Multiple Objectives: Preferences and Value Tradeoffs» (1976); более поздняя методологическая рамка — Р. Кини, «Value-Focused Thinking» (1992).

В аппарате MAUT принято различать два содержательно разных объекта: многоатрибутную функцию ценности (англ. value function) — ординальное представление предпочтений в детерминированных задачах, определяемое с точностью до монотонного преобразования, — и собственно многоатрибутную функцию полезности (англ. utility function) — кардинальное представление, применимое к задачам с риском и определяемое с точностью до положительного аффинного преобразования в духе vNM-конструкции. Соответственно различаются и условия независимости, на которых строится декомпозиция: преференциальная независимость для функций ценности и полезностная независимость для функций полезности. В русскоязычной практике разграничение между value и utility часто размыто, однако в задачах выбора при риске оно содержательно.

Исходный объект теории — функция u(x₁, …, x_n) над векторами значений атрибутов. Главная трудность — операциональная: прямое оценивание совместной поверхности полезности по n атрибутам требует экспоненциально растущего числа оценок (англ. elicitations) и становится практически невозможным уже при пяти-шести атрибутах. Решение состоит в наложении условий условной независимости, позволяющих разложить многомерную функцию в комбинацию одномерных.

Центральные структурные условия:

Преференциальная независимость (англ. preferential independence) — ординальное условие, применимое в детерминированных задачах: множество атрибутов Y преференциально независимо от Z, если порядок предпочтений над вариантами в пространстве Y не меняется при изменении фиксированных значений атрибутов из Z. Если каждое подмножество атрибутов преференциально независимо от своего дополнения и выполнены дополнительные технические условия (существенность атрибутов, непрерывность предпочтений, при n ≥ 3 — условия разрешимости или Томсена), многоатрибутная функция ценности в детерминированном случае допускает аддитивное представление u(x) = Σ_i v_i(x_i) (теорема Дебрё — Гормана). Сама преференциальная независимость эквивалентна условию, что кривые безразличия в двумерной проекции любых двух атрибутов не искажаются при изменении значений остальных атрибутов.
Взаимная независимость полезностей (англ. mutual utility independence) — более сильное, кардинальное условие, применимое к задачам с риском: для любого разбиения множества атрибутов на непересекающиеся подмножества Y и Z предпочтения над лотереями по Y не зависят от конкретных значений Z (и наоборот). Если это условие выполнено, MAUT представима в мультипликативной форме: $1 + k \cdot u (x) = \prod_{i} (1 + k \cdot k_{i} \cdot u_{i} (x_{i}))$ , где u_i — условные одноатрибутные функции полезности, нормированные на отрезок [0, 1], $k_{i} \in (0, 1)$ — шкалирующие коэффициенты атрибутов, а общий коэффициент взаимодействия $k > - 1$ однозначно определяется из условия нормировки глобальной функции ( $u (x^{*}) = 1$ на наилучшем векторе атрибутов), которое даёт уравнение $1 + k = \prod_{i} (1 + k \cdot k_{i})$ . Это уравнение при $\sum_{i} k_{i} \neq 1$ имеет ровно один ненулевой корень в области $k > - 1$ ; при $\sum_{i} k_{i} = 1$ единственное решение — $k = 0$ , что соответствует аддитивному случаю. Знак k определяется соотношением $\sum_{i} k_{i}$ и единицы: при $\sum_{i} k_{i} > 1$ параметр $k < 0$ (атрибуты взаимозаменимы), при $\sum_{i} k_{i} < 1$ — $k > 0$ (атрибуты взаимодополняемы).
Аддитивная независимость (англ. additive independence) — предпочтения над любой лотереей в пространстве атрибутов зависят только от маргинальных распределений отдельных атрибутов, а не от их совместного распределения. Условие сильнее взаимной независимости и выполняется эквивалентно условию k = 0. При его выполнении MAUT принимает аддитивную форму:

u (x_{1}, \dots, x_{n}) = \sum_{i} k_{i} \cdot u_{i} (x_{i}),

где коэффициенты

k_{i} > 0

удовлетворяют условию

\sum_{i} k_{i} = 1

и отражают относительную важность атрибутов.

Стандартная методика построения многоатрибутной функции включает структурирование иерархии целей и выбор наблюдаемых атрибутов, проверку выполнения условий независимости, выявление одноатрибутных функций u_i (методом эквивалента определённости или методом деления пополам, англ. bisection method), калибровку шкалирующих коэффициентов k_i через компромиссные лотереи между атрибутами и итеративную проверку согласованности полученной функции с независимыми содержательными суждениями.

Методологическое преимущество MAUT — явное разделение двух источников оценочных суждений: одномерных полезностей u_i, описывающих отношение агента к отдельному атрибуту, и шкалирующих коэффициентов k_i, отражающих суждение о сравнительной важности атрибутов. Эти два компонента могут независимо пересматриваться и обсуждаться заинтересованными сторонами, что делает MAUT удобным инструментом для структурированного анализа в многосторонних задачах.

Аппарат MAUT применяется в анализе государственных политик, оценке медицинских решений (в сочетании с показателями QALY), инженерном проектировании сложных технических систем, задачах выбора поставщиков и мест размещения, в оборонных и энергетических приложениях. Систематические обзоры прикладной практики — Р. Кини и Г. Райффа (1976); Д. фон Винтерфельдт, У. Эдвардс, «Decision Analysis and Behavioral Research» (1986); монография В. Бельтона и Т. Стюарта «Multiple Criteria Decision Analysis: An Integrated Approach» (2002).

Важное концептуальное отличие MAUT от методов анализа многокритериальных решений (англ. multi-criteria decision analysis, MCDA) нерискового типа — метода аналитической иерархии Т. Саати, методов ELECTRE, PROMETHEE: MAUT укоренена в vNM-аксиоматике ожидаемой полезности и допускает корректный учёт риска и неопределённости, тогда как большинство MCDA-методов предназначено для задач с детерминированными альтернативами и оперирует рейтинговыми шкалами без явной связи с теорией полезности.

Критика и альтернативные теории

Функция полезности как инструмент описания выбора сталкивается с несколькими уровнями критики.

Эмпирические нарушения аксиом ожидаемой полезности

Наиболее систематические эмпирические возражения относятся не к самой идее числового представления предпочтений, а к конкретным аксиомам, обеспечивающим существование vNM-представления.

Парадокс Алле (М. Алле, 1953) демонстрирует типичное нарушение аксиомы независимости. В классической формулировке парадокса — эффекте общей компоненты (англ. common consequence effect) — две пары лотерей связаны заменой одной и той же вероятностной компоненты: пара (A, B) и пара (C, D), где A отличается от C (и B от D) только заменой общей компоненты с некоторой фиксированной вероятностью на нулевой исход. Аксиома независимости предписывает сохранять предпочтение между лотереями в обеих парах, однако модальные ответы систематически нарушают это требование; механизм нарушения связан с нелинейностью субъективных весов вероятностей, особенно на значениях, близких к единице. В эффекте общего отношения (англ. common ratio effect) — другой форме того же парадокса — пары лотерей получаются пропорциональным уменьшением всех ненулевых вероятностей; при этом модальное предпочтение смещается от гарантированного выигрыша в первой паре к рискованной альтернативе во второй. Именно эта форма парадокса наиболее прямо выражает эффект уверенности (англ. certainty effect, Д. Канеман, А. Тверски) — непропорциональную переоценку гарантированных исходов по сравнению с исходами, лишь очень вероятными.
Парадокс Эллсберга (Д. Эллсберг, 1961) фиксирует нарушения принципа верной вещи Сэвиджа в задачах с неоднозначно заданными вероятностями: агенты систематически предпочитают лотереи с точно известным распределением лотереям с неизвестным. Ключевое следствие — наблюдаемому паттерну предпочтений нельзя сопоставить никакую единственную аддитивную субъективную вероятностную меру; тем самым паттерн выводит агента за пределы стандартной SEU-рамки Сэвиджа. Это явление получило название неприятия неоднозначности (англ. ambiguity aversion). Парадокс дал начало самостоятельному направлению — моделям выбора при неоднозначности.
- В модели Шоке-ожидаемой полезности (англ. Choquet expected utility, CEU; Д. Шмейдлер, 1989) субъективные представления о правдоподобии задаются не аддитивной вероятностной мерой, а неаддитивной ёмкостью (англ. capacity) $ν : 2^{S} \to [0, 1]$ , для которой в общем случае $ν (A \cup B) \neq ν (A) + ν (B) - ν (A \cap B)$ . Ожидание вычисляется как интеграл Шоке по ν, что соответствует рангово-зависимому взвешиванию накопленных мер от худшего исхода к лучшему. Формальная структура CEU оказалась гомоморфна структуре рангово-зависимой полезности Дж. Квиггина (1982), несмотря на различие мотиваций.
- В модели максимина ожидаемой полезности (англ. maxmin expected utility, MEU; И. Гилбоа, Д. Шмейдлер, 1989) убеждения агента представлены выпуклым множеством вероятностных мер 𝒫. Ценность акта f оценивается как $V (f) = \min_{P \in 𝒫} \int u (f) d P$ — агент выбирает акт, максимизирующий пессимистическую нижнюю оценку ожидаемой полезности по всему допустимому семейству вероятностных мер. MEU объясняет систематическое избегание неоднозначности и даёт микрооснование для зон отсутствия торговли на финансовых рынках (Дж. Доу и С. Уэрланг, «Uncertainty Aversion, Risk Aversion, and the Optimal Choice of Portfolio», Econometrica, 1992): в периоды резкого роста неоднозначности агенты с широкими множествами 𝒫 могут одновременно отказываться от покупки и продажи актива, что воспроизводит наблюдаемые эпизоды потери рыночной ликвидности в макроэкономических кризисах.
- Мягкая ожидаемая полезность (англ. smooth ambiguity model; П. Клибанофф, М. Маринакки, С. Муккерджи, 2005) задаёт над 𝒫 субъективную вероятностную меру второго порядка и отдельную функцию φ отношения к неоднозначности; этим удаётся непрерывным образом варьировать степень неприятия неоднозначности и отделять её от отношения к риску.
Теорема калибровки Рабина (М. Рабин, «Risk Aversion and Expected-Utility Theory: A Calibration Theorem», Econometrica, 2000) показывает, что отказ избегающего риска агента от малых симметричных пари (например, от пари вида «потерять 100 или выиграть 110 с равной вероятностью» на любом уровне богатства) в рамках теории ожидаемой полезности вынуждает неправдоподобно высокую степень избегания крупных рисков. Формальный вывод: наблюдаемое отвращение к мелким пари несовместимо с объяснением через кривизну vNM-функции при разумной её форме. Этот результат обеспечивает сильный теоретический аргумент в пользу моделей, различающих функцию полезности над итоговым богатством и функцию ценности над приращениями.
Разворот предпочтений (С. Лихтенштайн, П. Словик, 1971; Д. Гретэр, Ч. Плотт, American Economic Review, 1979): в экспериментах сравнение лотерей и их эквивалентов определённости систематически даёт несовместимые результаты в зависимости от процедуры выявления (прямой выбор против оценки). Этот эффект неустраним в рамках теории, постулирующей единую функцию полезности, и интерпретируется как свидетельство зависимости наблюдаемых предпочтений от процедуры опроса.

Дескриптивные альтернативы

В ответ на систематические эмпирические нарушения разработано семейство моделей не-ожидаемой полезности, каждая из которых по-своему модифицирует классическую конструкцию функции полезности:

Теория перспектив и кумулятивная теория перспектив (Д. Канеман, А. Тверски, 1979, 1992): функция полезности u заменяется функцией ценности v, определённой на приращениях богатства относительно точки отсчёта, а не на итоговых уровнях; v вогнута в области выигрышей, выпукла в области потерь и имеет более крутой наклон в области потерь (отвращение к потерям). Вероятности преобразуются через нелинейную функцию взвешивания. Это наиболее влиятельная дескриптивная альтернатива, составляющая ядро поведенческой экономики. Параллельно Д. Канеман, П. Уоккер и Р. Сарин в статье «Back to Bentham? Explorations of Experienced Utility» (Quarterly Journal of Economics, 1997) предложили терминологическое разграничение полезности выбора (англ. decision utility) — функции, выявляемой из наблюдаемого выбора в духе revealed preference — и испытываемой полезности (англ. experienced utility) — непосредственного гедонистического опыта в моменте, восходящего к бентамовской традиции; эмпирические исследования показывают, что прогнозируемые агентами значения испытываемой полезности систематически отклоняются от её фактических значений (ошибка аффективного прогнозирования, англ. affective forecasting error), что нарушает простое отождествление двух понятий.
Нейроэкономика (англ. neuroeconomics, систематизированная П. Глимчером в монографии «Foundations of Neuroeconomic Analysis», 2011) ищет нейрофизиологические корреляты функции ожидаемой полезности и связанных с ней величин в активности конкретных структур мозга — дофаминергической системы среднего мозга, стриатума и префронтальной коры. Обнаруженная линейная зависимость отдельных нейронных сигналов от ожидаемой ценности предлагается как эмпирическое подкрепление кардинального понимания полезности, однако уже на биологическом уровне, а не как реконструкция бентамовской «психологической меры удовольствия».
Рангово-зависимая полезность (Дж. Квиггин, 1982): сохраняется кардинальная функция полезности над итоговыми исходами, но линейное взвешивание вероятностей заменяется нелинейным взвешиванием накопленных вероятностей «хвостов» распределения. Служит формальным ядром кумулятивной теории перспектив.
Дуальная теория выбора при риске (М. Яари, «The Dual Theory of Choice under Risk», Econometrica, 1987): представляет собой «дуальный» предельный случай рангово-зависимой конструкции, в котором функция полезности u предполагается линейной, а отклонение от ожидаемой ценности полностью поглощается нелинейным взвешиванием накопленных вероятностей. Это симметрично противоположно vNM-конструкции, в которой веса линейны, а нелинейность сосредоточена в u.
Теория разочарования (Ф. Гуль, «A Theory of Disappointment Aversion», Econometrica, 1991): функция полезности дополняется поправкой на разочарование или удовольствие, возникающее при сравнении фактически полученного исхода с ожидаемым значением лотереи до розыгрыша.
Теория сожаления (Г. Лумс, Р. Сагден, 1982; Д. Белл, 1982): предпочтения формулируются над парами альтернатив, с поправкой на ощущение сожаления, связанное со сравнением реализовавшегося исхода с тем, что могло бы быть при альтернативном выборе.
Ожидаемая полезность, взвешенная по риску (англ. risk-weighted expected utility, REU; Л. Бучак, «Risk and Rationality», 2013): независимость заменяется более слабым условием, дополнительно вводится функция риска r, отражающая склонность агента к обмену шансов. Классическая ожидаемая полезность — частный случай при $r (p) = p$ .

Ограниченная рациональность и сатисфайсинг

Фундаментальная критика самой возможности максимизации функции полезности выдвинута Г. Саймоном в статьях «A Behavioral Model of Rational Choice» (Quarterly Journal of Economics, 1955) и «Rational Choice and the Structure of the Environment» (Psychological Review, 1956). Саймон указал, что стандартная модель рационального выбора предполагает у агента неограниченные вычислительные возможности, полное знание доступных альтернатив, точные вероятностные оценки их последствий и стабильную, заранее заданную функцию полезности. Эти требования эмпирически несовместимы с наблюдаемыми когнитивными ограничениями человеческого мышления: конечностью памяти и внимания, ограниченностью времени на обдумывание, вычислительной сложностью задачи поиска оптимума в пространствах большой размерности.

На этом основании Саймон сформулировал программу ограниченной рациональности (англ. bounded rationality), в которой выбор моделируется не как максимизация, а как сатисфайсинг (англ. satisficing, от satisfy — удовлетворить и suffice — быть достаточным; в русскоязычной литературе также встречается перевод «поиск удовлетворительного решения»). Агент не перебирает всё пространство альтернатив, а последовательно их исследует и останавливается на первой альтернативе, удовлетворяющей некоторому внутреннему уровню притязаний (англ. aspiration level); уровень притязаний адаптивно пересматривается в зависимости от результатов поиска. Эта процедура не оптимальна в смысле стандартной теории полезности, но в условиях реалистичных когнитивных ограничений часто превосходит оптимизационные процедуры по совокупным затратам времени и усилий — и потому рациональна в более широком, экологическом смысле.

Программа ограниченной рациональности развёрнута в следующих направлениях:

Эвристики и систематические искажения (англ. heuristics and biases, Д. Канеман, А. Тверски, начиная со статьи «Judgment under Uncertainty: Heuristics and Biases», Science, 1974): исследование упрощающих процедур оценки вероятности и ценности (доступность, репрезентативность, привязка и корректировка — англ. anchoring and adjustment), порождающих систематические отклонения от нормативных стандартов.
Экологическая рациональность (англ. ecological rationality, Г. Гигеренцер и группа «Простые эвристики, делающие нас умными», с середины 1990-х): демонстрация того, что в определённых информационных средах простые эвристики (например, take-the-best) дают предсказания не хуже, а иногда точнее, чем оптимизационные процедуры с многими параметрами.
Эмпирическая поведенческая экономика: Р. Талер, К. Санстейн и последующие авторы показали, что систематические отклонения от максимизации полезности устойчивы в широком круге задач, и предложили инструменты архитектуры выбора (nudge), корректирующие решения, не ограничивая формальной свободы агента.

Ограниченная рациональность — не альтернативная функция полезности, а альтернативная парадигма описания выбора, в которой категории «оптимальность» и «максимизация» уступают место категориям «достаточности», «процедурной рациональности» и «экологической адаптации».

Позиционная критика: несводимость предпочтений к единой функции

Отдельная линия критики касается самого предположения о существовании устойчивой функции полезности индивида. Дж. Робинсон в «Economic Philosophy» (1962) указала на циркулярность бытового определения полезности: полезность — это свойство благ, побуждающее их покупать, а факт покупки свидетельствует о наличии полезности, так что гипотеза не фальсифицируема. В более строгом ключе этот аргумент развит в теории выявленных предпочтений (англ. revealed preference theory): только наблюдаемый выбор имеет эмпирический статус, а приписывание ему функции полезности — это теоретическая конструкция, ценность которой исчерпывается предсказательной силой. Слабая аксиома выявленных предпочтений (англ. weak axiom of revealed preference, WARP) введена П. Самуэльсоном в статье «A Note on the Pure Theory of Consumer's Behaviour» (Economica, 1938); сильная аксиома (strong axiom of revealed preference, SARP), достаточная для полной рационализации наблюдаемого выбора функцией полезности, сформулирована Х. Хаутхаккером в статье «Revealed Preference and the Utility Function» (Economica, 1950). Операциональный критерий рационализуемости конечного набора наблюдений вогнутой монотонной функцией полезности даёт теорема Африата (1967).

К этой же линии относится возражение об устойчивости функции полезности во времени: эмпирические данные показывают, что предпочтения систематически меняются с контекстом, настроением, информационной обстановкой и порядком предъявления альтернатив. Эксперименты Д. Ариели, Э. Лёвенстайна, Д. Прелека («Coherent Arbitrariness», Quarterly Journal of Economics, 2003) демонстрируют, что формируемые в моменте оценки готовности платить сильно зависят от произвольных якорей, что подрывает гипотезу о существовании заранее заданной функции полезности, которую выбор только «обнаруживает».

Проблема межличностного сравнения

Отдельный вопрос — возможность межличностного сравнения полезности, необходимого для построения функций общественного благосостояния. В ординальной рамке сравнение принципиально невозможно: преобразования u_i → f_i(u_i) у разных индивидов выполняются независимо и не поддаются согласованию. Теорема Эрроу о невозможности (К. Эрроу, «Social Choice and Individual Values», 1951) формализует связанные с этим ограничения на агрегирование предпочтений. В кардинальной рамке vNM-функция также остаётся несопоставимой между индивидами: произвольный выбор единиц и начала отсчёта для каждого субъекта делает любое межличностное сложение или сравнение произвольным.

Мост между vNM-полезностью и теорией общественного благосостояния предложен Дж. Харсани в статье «Cardinal Welfare, Individualistic Ethics, and Interpersonal Comparisons of Utility» (Journal of Political Economy, 1955). Теорема агрегирования Харсани утверждает: если индивидуальные предпочтения и предпочтения социального планировщика удовлетворяют аксиомам vNM, а планировщик уважает единогласие индивидов (Парето-условие по лотереям), то функция общественного благосостояния является взвешенной суммой индивидуальных vNM-функций полезности, $W = \sum_{i} λ_{i} u_{i}$ . При слабом Парето-условии веса λ_i могут быть выбраны неотрицательными, при строгом Парето-условии — строго положительными (с точностью до произвольного положительного аффинного преобразования каждой u_i, которое перенормирует веса). Теорема сводит задачу построения функции благосостояния к содержательному выбору весов, но не разрешает сам вопрос о межличностной сопоставимости полезностей: веса λ_i неоднозначно определяются в силу произвольности аффинных преобразований у каждой u_i. Альтернативные формы агрегирования — функция общественного благосостояния Бергсона — Самуэльсона W = W(u₁, …, u_n) с произвольной возрастающей по всем аргументам функцией (А. Бергсон, 1938; П. Самуэльсон, «Foundations of Economic Analysis», 1947) и ролзианский максимин W = min(u₁, …, u_n) (Дж. Ролз, «A Theory of Justice», 1971), — рассматриваются в теории социального выбора как этически различные агрегирующие функционалы. Обсуждение трудности межличностных сравнений и попыток её обхода — К. Бинмор, «Interpersonal Comparison of Utility» (UCL Working Paper, 2009).

Применения

Аппарат функций полезности проник практически во все области нормативно-ориентированной прикладной экономики и смежных дисциплин.

Теория потребительского выбора и теория спроса. Максимизация u(x) при бюджетном ограничении $p \cdot x ⩽ w$ порождает функции спроса Маршалла x(p, w), косвенную функцию полезности $v (p, w) = \max_{x} u (x)$ , а также связанные двойственные конструкции — функцию расходов e(p, u) и функции спроса Хикса. Основные рабочие связи между этими объектами задают тождество Роя (англ. Roy's identity) $x_{i} (p, w) = - \frac{\partial v / \partial p_{i}}{\partial v / \partial w}$ , позволяющее восстанавливать функции спроса из косвенной функции полезности, и уравнение Слуцкого, разлагающее реакцию спроса на изменение цены на эффект замещения и эффект дохода. Стандартный аппарат изложен в учебниках А. Мас-Колелла, М. Уинстона, Дж. Грина «Microeconomic Theory» (1995) и Х. Вэриана «Microeconomic Analysis» (1992).
Модели случайной полезности и дискретного выбора. В прикладной микроэконометрике функция полезности часто представляется как сумма детерминированной и случайной компонент: U_ij = V_ij(x_ij, β) + ε_ij, где индивид i выбирает альтернативу j. При определённых предположениях о распределении ε этот формализм даёт оценимые модели (мультиномиальный логит, пробит и их обобщения), связывающие теорию полезности с эмпирическим анализом дискретного выбора. За основополагающий вклад в эту линию Д. Макфадден получил Нобелевскую премию по экономике (2000).
Финансы и портфельный анализ. Выбор портфеля формулируется как задача максимизации ожидаемой полезности $E [u (W)]$ по итоговому богатству W, зависящему от весов активов. Для CARA-функции и нормально распределённых доходностей задача сводится к максимизации $μ - α σ^{2} / 2$ (теория среднего — дисперсии Г. Марковица, 1952). Для CRRA-функции решение портфеля Р. Мертона (1969, 1971) предписывает постоянную долю рискованных активов, не зависящую от богатства.
Страхование. Оптимальное страховое покрытие избегающего риска агента решается как задача максимизации $E [u (W - X + I (X) - π)]$ , где X — случайный убыток, I — страховое возмещение, π — премия. Классический результат К. Эрроу («Uncertainty and the Welfare Economics of Medical Care», 1963): при актуарно справедливой премии (π = E[X]) оптимально полное страхование (I(X) = X); при положительной нагрузке (π > E[X], отражающей административные издержки и нормальную прибыль страховщика) оптимальный контракт приобретает форму страхования с франшизой (I(X) = max{X − d, 0}), где d — оптимальный уровень франшизы.
Поведенческие финансы. Модели, основанные на функции ценности кумулятивной теории перспектив, воспроизводят эффект диспозиции (Х. Шефрин, М. Стэтман, 1985), загадку премии по акциям (Ш. Бенарци, Р. Талер, 1995), предпочтение скошенности (Н. Барберис, М. Хуан, 2008) и другие рыночные аномалии, не объяснимые в рамках CARA/CRRA-функций.
Медицинские решения. Функция полезности состояния здоровья (англ. health utility) применяется в анализе затрат — эффективности QALY (quality-adjusted life years); стандартные методы её выявления — метод эквивалента определённости (standard gamble, восходящий к vNM-конструкции) и метод обмена времени (time trade-off).
Теория игр. vNM-функции полезности — стандартная модель платежей в играх с неопределёнными исходами; равновесие Нэша формулируется в терминах максимизации ожидаемой полезности по смешанным стратегиям оппонентов.
Оптимальное проектирование механизмов. Квазилинейные функции полезности обеспечивают корректность аппарата обмена денежными трансфертами — именно при квазилинейности полезность напрямую переводима в деньги без эффекта дохода (transferable utility), что и делает возможной конструкцию денежных трансфертов, выравнивающих стимулы участников. На этой основе построен механизм Викри — Кларка — Гровса (англ. Vickrey — Clarke — Groves mechanism, VCG) и теория аукционов.
Искусственный интеллект. Функция полезности — одна из базовых конструкций в моделях рационального агента (С. Рассел, П. Норвиг, «Artificial Intelligence: A Modern Approach», многократные переиздания). Марковские процессы принятия решений и алгоритмы обучения с подкреплением построены на максимизации ожидаемой дисконтированной полезности будущих наград.

Значение

Функция полезности — базовое понятие современной теории принятия решений, объединяющее нормативный, дескриптивный и прикладной аппарат анализа выбора.

Функция полезности обеспечивает математическое представление, в котором анализ предпочтений сводится к максимизации числового функционала и становится доступным для стандартного аналитического инструментария — дифференциального исчисления, выпуклой оптимизации, методов оценивания.
Теорема Дебрё даёт строгое обоснование использованию функции полезности в задачах выбора без риска, показывая, что никакого дополнительного допущения об измеримости психологической «удовлетворённости» не требуется.
Теоремы фон Неймана — Моргенштерна и Сэвиджа распространяют конструкцию на задачи выбора при риске и неопределённости, одновременно задавая нормативный стандарт рационального поведения — принцип максимизации ожидаемой полезности.
Аппарат Эрроу — Пратта связывает кривизну функции полезности с количественным описанием отношения к риску и порождает рабочие параметрические классы (CARA, CRRA, HARA), повсеместно применяемые в финансах, страховании и макроэкономике.
Систематические нарушения аксиом ожидаемой полезности породили семейство моделей не-ожидаемой полезности (теория перспектив, рангово-зависимая полезность, теории разочарования и сожаления), в которых классическая функция полезности либо модифицируется, либо заменяется комплексом функций. Эти модели обладают большей дескриптивной точностью в экспериментальных условиях, но менее удобны в аналитических приложениях, что сохраняет за классической конструкцией роль основного рабочего инструмента в нормативных задачах.
За вклад в теорию принятия решений, тесно связанный с аппаратом функции полезности, присуждён ряд Нобелевских премий по экономике: П. Самуэльсону (1970, за развитие статической и динамической экономической теории); Дж. Хиксу и К. Эрроу (1972, за вклад в общую теорию равновесия и теорию благосостояния); Ж. Дебрё (1983, за включение новых аналитических методов в экономическую теорию и строгую переформулировку теории общего равновесия); Г. Марковицу совместно с У. Шарпом и М. Миллером (1990, за работы в области финансовой экономики); Д. Макфаддену (2000, совместно с Дж. Хекманом — за разные вклады; Макфадден — за разработку теории и методов анализа дискретного выбора, непосредственно связанную с аппаратом случайной полезности); Д. Канеману совместно с В. Смитом (2002, за интеграцию психологических исследований в экономическую науку, прежде всего в связи с формированием суждений и принятием решений в условиях неопределённости); Р. Талеру (2017, за вклад в поведенческую экономику).

Систематические изложения — учебник А. Мас-Колелла, М. Уинстона, Дж. Грина «Microeconomic Theory» (1995, главы 1—3 и 6); монография П. Ваккера «Prospect Theory: For Risk and Ambiguity» (2010); обзорная статья «Decision Theory» К. Стил и О. Стефанссона в Stanford Encyclopedia of Philosophy. Историко-аналитический обзор перехода от кардиналистского к ординалистскому пониманию полезности — И. Москати, «Measuring Utility: From the Marginal Revolution to Behavioral Economics» (Oxford University Press, 2019).

См. также

Литература

Bernoulli D. Specimen theoriae novae de mensura sortis // Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae. — 1738. — Vol. 5. — P. 175—192. Английский перевод: Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk // Econometrica. — 1954. — Vol. 22, № 1. — P. 23—36.
Edgeworth F. Y. Mathematical Psychics: An Essay on the Application of Mathematics to the Moral Sciences. — London: Kegan Paul, 1881.
Pareto V. Manuale di economia politica. — Milano: Società Editrice Libraria, 1906.
Knight F. H. Risk, Uncertainty, and Profit. — Boston: Houghton Mifflin, 1921.
Ramsey F. P. Truth and Probability // The Foundations of Mathematics and Other Logical Essays / Ed. by R. B. Braithwaite. — London: Kegan Paul, 1931. — P. 156—198.
Hicks J. R., Allen R. G. D. A Reconsideration of the Theory of Value // Economica. — 1934. — Vol. 1, № 1. — P. 52—76; № 2. — P. 196—219.
Lange O. The Determinateness of the Utility Function // Review of Economic Studies. — 1934. — Vol. 1, № 3. — P. 218—225.
Alt F. Über die Meßbarkeit des Nutzens // Zeitschrift für Nationalökonomie. — 1936. — Vol. 7, № 2. — P. 161—169.
de Finetti B. La prévision: ses lois logiques, ses sources subjectives // Annales de l'Institut Henri Poincaré. — 1937. — Vol. 7, № 1. — P. 1—68.
Samuelson P. A. A Note on Measurement of Utility // Review of Economic Studies. — 1937. — Vol. 4, № 2. — P. 155—161.
Samuelson P. A. A Note on the Pure Theory of Consumer's Behaviour // Economica. — 1938. — Vol. 5, № 17. — P. 61—71.
Bergson A. A Reformulation of Certain Aspects of Welfare Economics // Quarterly Journal of Economics. — 1938. — Vol. 52, № 2. — P. 310—334.
Samuelson P. A. Foundations of Economic Analysis. — Cambridge, MA: Harvard University Press, 1947.
Hicks J. R. Value and Capital: An Inquiry into Some Fundamental Principles of Economic Theory. — Oxford: Clarendon Press, 1939.
Eilenberg S. Ordered Topological Spaces // American Journal of Mathematics. — 1941. — Vol. 63, № 1. — P. 39—45.
Neumann J. von, Morgenstern O. Theory of Games and Economic Behavior. — Princeton: Princeton University Press, 1944.
Wold H. A Synthesis of Pure Demand Analysis, I—III // Skandinavisk Aktuarietidskrift. — 1943—1944. — Vol. 26 (1943). — P. 85—118, 220—263; Vol. 27 (1944). — P. 69—120.
Friedman M., Savage L. J. The Utility Analysis of Choices Involving Risk // Journal of Political Economy. — 1948. — Vol. 56, № 4. — P. 279—304.
Friedman M. The Methodology of Positive Economics // Essays in Positive Economics. — Chicago: University of Chicago Press, 1953. — P. 3—43.
Marschak J. Rational Behavior, Uncertain Prospects, and Measurable Utility // Econometrica. — 1950. — Vol. 18, № 2. — P. 111—141.
Houthakker H. S. Revealed Preference and the Utility Function // Economica. — 1950. — Vol. 17, № 66. — P. 159—174.
Arrow K. J. Social Choice and Individual Values. — New York: Wiley, 1951.
Markowitz H. Portfolio Selection // Journal of Finance. — 1952. — Vol. 7, № 1. — P. 77—91.
Allais M. Le comportement de l'homme rationnel devant le risque: critique des postulats et axiomes de l'école américaine // Econometrica. — 1953. — Vol. 21, № 4. — P. 503—546.
Debreu G. Representation of a Preference Ordering by a Numerical Function // Decision Processes / Ed. by R. M. Thrall, C. H. Coombs, R. L. Davis. — New York: Wiley, 1954. — P. 159—165.
Savage L. J. The Foundations of Statistics. — New York: Wiley, 1954.
Stone R. Linear Expenditure Systems and Demand Analysis: An Application to the Pattern of British Demand // Economic Journal. — 1954. — Vol. 64, № 255. — P. 511—527.
Harsanyi J. C. Cardinal Welfare, Individualistic Ethics, and Interpersonal Comparisons of Utility // Journal of Political Economy. — 1955. — Vol. 63, № 4. — P. 309—321.
Simon H. A. A Behavioral Model of Rational Choice // Quarterly Journal of Economics. — 1955. — Vol. 69, № 1. — P. 99—118.
Strotz R. H. Myopia and Inconsistency in Dynamic Utility Maximization // Review of Economic Studies. — 1955. — Vol. 23, № 3. — P. 165—180.
Simon H. A. Rational Choice and the Structure of the Environment // Psychological Review. — 1956. — Vol. 63, № 2. — P. 129—138.
Baumol W. J. The Cardinal Utility which is Ordinal // Economic Journal. — 1958. — Vol. 68, № 272. — P. 665—672.
Debreu G. Theory of Value: An Axiomatic Analysis of Economic Equilibrium. — New York: Wiley, 1959.
Debreu G. Topological Methods in Cardinal Utility Theory // Mathematical Methods in the Social Sciences, 1959 / Ed. by K. J. Arrow, S. Karlin, P. Suppes. — Stanford: Stanford University Press, 1960. — P. 16—26.
Koopmans T. C. Stationary Ordinal Utility and Impatience // Econometrica. — 1960. — Vol. 28, № 2. — P. 287—309.
Ellsberg D. Risk, Ambiguity, and the Savage Axioms // Quarterly Journal of Economics. — 1961. — Vol. 75, № 4. — P. 643—669.
Robinson J. Economic Philosophy. — London: C. A. Watts, 1962.
Arrow K. J. Uncertainty and the Welfare Economics of Medical Care // American Economic Review. — 1963. — Vol. 53, № 5. — P. 941—973.
Anscombe F. J., Aumann R. J. A Definition of Subjective Probability // Annals of Mathematical Statistics. — 1963. — Vol. 34, № 1. — P. 199—205.
Pratt J. W. Risk Aversion in the Small and in the Large // Econometrica. — 1964. — Vol. 32, № 1/2. — P. 122—136.
Arrow K. J. Aspects of the Theory of Risk Bearing. — Helsinki: Yrjö Jahnssonin Säätiö, 1965.
Jeffrey R. C. The Logic of Decision. — New York: McGraw-Hill, 1965.
Bolker E. D. Functions Resembling Quotients of Measures // Transactions of the American Mathematical Society. — 1966. — Vol. 124, № 2. — P. 292—312.
Afriat S. N. The Construction of Utility Functions from Expenditure Data // International Economic Review. — 1967. — Vol. 8, № 1. — P. 67—77.
Gorman W. M. The Structure of Utility Functions // Review of Economic Studies. — 1968. — Vol. 35, № 4. — P. 367—390.
Hadar J., Russell W. R. Rules for Ordering Uncertain Prospects // American Economic Review. — 1969. — Vol. 59, № 1. — P. 25—34.
Merton R. C. Lifetime Portfolio Selection under Uncertainty: The Continuous-Time Case // Review of Economics and Statistics. — 1969. — Vol. 51, № 3. — P. 247—257.
Fishburn P. C. Utility Theory for Decision Making. — New York: Wiley, 1970.
Rothschild M., Stiglitz J. E. Increasing Risk: I. A Definition // Journal of Economic Theory. — 1970. — Vol. 2, № 3. — P. 225—243.
Merton R. C. Optimum Consumption and Portfolio Rules in a Continuous-Time Model // Journal of Economic Theory. — 1971. — Vol. 3, № 4. — P. 373—413.
Rawls J. A Theory of Justice. — Cambridge, MA: Harvard University Press, 1971.
Lichtenstein S., Slovic P. Reversals of Preference between Bids and Choices in Gambling Decisions // Journal of Experimental Psychology. — 1971. — Vol. 89, № 1. — P. 46—55.
Tversky A., Kahneman D. Judgment under Uncertainty: Heuristics and Biases // Science. — 1974. — Vol. 185, № 4157. — P. 1124—1131.
McFadden D. Conditional Logit Analysis of Qualitative Choice Behavior // Frontiers in Econometrics / Ed. by P. Zarembka. — New York: Academic Press, 1974. — P. 105—142.
Ainslie G. Specious Reward: A Behavioral Theory of Impulsiveness and Impulse Control // Psychological Bulletin. — 1975. — Vol. 82, № 4. — P. 463—496.
Friend I., Blume M. E. The Demand for Risky Assets // American Economic Review. — 1975. — Vol. 65, № 5. — P. 900—922.
Keeney R. L., Raiffa H. Decisions with Multiple Objectives: Preferences and Value Tradeoffs. — New York: Wiley, 1976.
Gibbard A., Harper W. L. Counterfactuals and Two Kinds of Expected Utility // Foundations and Applications of Decision Theory / Ed. by C. A. Hooker, J. J. Leach, E. F. McClennen. — Dordrecht: Reidel, 1978. — Vol. 1. — P. 125—162.
Grether D. M., Plott C. R. Economic Theory of Choice and the Preference Reversal Phenomenon // American Economic Review. — 1979. — Vol. 69, № 4. — P. 623—638.
Kahneman D., Tversky A. Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk // Econometrica. — 1979. — Vol. 47, № 2. — P. 263—291.
Lewis D. Causal Decision Theory // Australasian Journal of Philosophy. — 1981. — Vol. 59, № 1. — P. 5—30.
Bell D. E. Regret in Decision Making under Uncertainty // Operations Research. — 1982. — Vol. 30, № 5. — P. 961—981.
Loomes G., Sugden R. Regret Theory: An Alternative Theory of Rational Choice under Uncertainty // Economic Journal. — 1982. — Vol. 92, № 368. — P. 805—824.
Quiggin J. A Theory of Anticipated Utility // Journal of Economic Behavior & Organization. — 1982. — Vol. 3, № 4. — P. 323—343.
Machina M. J. «Expected Utility» Analysis without the Independence Axiom // Econometrica. — 1982. — Vol. 50, № 2. — P. 277—323.
Mehra R., Prescott E. C. The Equity Premium: A Puzzle // Journal of Monetary Economics. — 1985. — Vol. 15, № 2. — P. 145—161.
Shefrin H., Statman M. The Disposition to Sell Winners Too Early and Ride Losers Too Long: Theory and Evidence // Journal of Finance. — 1985. — Vol. 40, № 3. — P. 777—790.
Karni E. Decision Making Under Uncertainty: The Case of State-Dependent Preferences. — Cambridge, MA: Harvard University Press, 1985.
Winterfeldt D. von, Edwards W. Decision Analysis and Behavioral Research. — Cambridge: Cambridge University Press, 1986.
Kreps D. M. Notes on the Theory of Choice. — Boulder: Westview Press, 1988.
Gilboa I., Schmeidler D. Maxmin Expected Utility with Non-unique Prior // Journal of Mathematical Economics. — 1989. — Vol. 18, № 2. — P. 141—153.
Schmeidler D. Subjective Probability and Expected Utility without Additivity // Econometrica. — 1989. — Vol. 57, № 3. — P. 571—587.
Yaari M. E. The Dual Theory of Choice under Risk // Econometrica. — 1987. — Vol. 55, № 1. — P. 95—115.
Epstein L. G., Zin S. E. Substitution, Risk Aversion, and the Temporal Behavior of Consumption and Asset Returns: A Theoretical Framework // Econometrica. — 1989. — Vol. 57, № 4. — P. 937—969.
Gul F. A Theory of Disappointment Aversion // Econometrica. — 1991. — Vol. 59, № 3. — P. 667—686.
Dow J., Werlang S. R. C. Uncertainty Aversion, Risk Aversion, and the Optimal Choice of Portfolio // Econometrica. — 1992. — Vol. 60, № 1. — P. 197—204.
Tversky A., Kahneman D. Advances in Prospect Theory: Cumulative Representation of Uncertainty // Journal of Risk and Uncertainty. — 1992. — Vol. 5, № 4. — P. 297—323.
Varian H. R. Microeconomic Analysis. — 3rd ed. — New York: W. W. Norton, 1992.
Keeney R. L. Value-Focused Thinking: A Path to Creative Decisionmaking. — Cambridge, MA: Harvard University Press, 1992.
Benartzi S., Thaler R. H. Myopic Loss Aversion and the Equity Premium Puzzle // Quarterly Journal of Economics. — 1995. — Vol. 110, № 1. — P. 73—92.
Mas-Colell A., Whinston M. D., Green J. R. Microeconomic Theory. — New York: Oxford University Press, 1995.
Laibson D. Golden Eggs and Hyperbolic Discounting // Quarterly Journal of Economics. — 1997. — Vol. 112, № 2. — P. 443—477.
Kahneman D., Wakker P. P., Sarin R. Back to Bentham? Explorations of Experienced Utility // Quarterly Journal of Economics. — 1997. — Vol. 112, № 2. — P. 375—405.
Gigerenzer G., Todd P. M., ABC Research Group. Simple Heuristics That Make Us Smart. — New York: Oxford University Press, 1999.
Rabin M. Risk Aversion and Expected-Utility Theory: A Calibration Theorem // Econometrica. — 2000. — Vol. 68, № 5. — P. 1281—1292.
Belton V., Stewart T. J. Multiple Criteria Decision Analysis: An Integrated Approach. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002.
Ariely D., Loewenstein G., Prelec D. Coherent Arbitrariness: Stable Demand Curves Without Stable Preferences // Quarterly Journal of Economics. — 2003. — Vol. 118, № 1. — P. 73—105.
Bansal R., Yaron A. Risks for the Long Run: A Potential Resolution of Asset Pricing Puzzles // Journal of Finance. — 2004. — Vol. 59, № 4. — P. 1481—1509.
Klibanoff P., Marinacci M., Mukerji S. A Smooth Model of Decision Making under Ambiguity // Econometrica. — 2005. — Vol. 73, № 6. — P. 1849—1892.
Thaler R. H., Sunstein C. R. Nudge: Improving Decisions about Health, Wealth, and Happiness. — New Haven: Yale University Press, 2008.
Barberis N., Huang M. Stocks as Lotteries: The Implications of Probability Weighting for Security Prices // American Economic Review. — 2008. — Vol. 98, № 5. — P. 2066—2100.
Binmore K. Interpersonal Comparison of Utility // UCL Discussion Papers in Economics. — 2009. — № 09-02.
Wakker P. P. Prospect Theory: For Risk and Ambiguity. — Cambridge: Cambridge University Press, 2010.
Glimcher P. W. Foundations of Neuroeconomic Analysis. — Oxford: Oxford University Press, 2011.
Buchak L. Risk and Rationality. — Oxford: Oxford University Press, 2013.
Steele K., Stefánsson H. O. Decision Theory // Stanford Encyclopedia of Philosophy / Ed. by E. N. Zalta. — Stanford, 2015 (substantive revision 2025).
Moscati I. How Cardinal Utility Entered Economic Analysis, 1909—1944 // European Journal of the History of Economic Thought. — 2013. — Vol. 20, № 6. — P. 906—939.
Moscati I. Measuring Utility: From the Marginal Revolution to Behavioral Economics. — Oxford: Oxford University Press, 2019.

Функция полезности

Содержание

Исторический контекст

Ординальная функция полезности

Отношение предпочтения

Теорема об ординальном представлении

Свойства типичных ординальных функций

Кардинальная функция полезности и ожидаемая полезность

Мотивация перехода к лотереям

Теорема фон Неймана — Моргенштерна

Теорема Сэвиджа и субъективная ожидаемая полезность

Функция полезности и отношение к риску

Геометрия отношения к риску

Мера Эрроу — Пратта

Стохастическое доминирование

Функции полезности специального вида

Функции полезности в потребительском выборе

Межвременная функция полезности

Дисконтированная полезность

Гиперболическое дисконтирование

Рекурсивная полезность

Многоатрибутная функция полезности

Критика и альтернативные теории

Эмпирические нарушения аксиом ожидаемой полезности

Дескриптивные альтернативы

Ограниченная рациональность и сатисфайсинг

Позиционная критика: несводимость предпочтений к единой функции

Проблема межличностного сравнения

Применения

Значение

См. также

Литература

Навигация

Функция полезности

Исторический контекст

Ординальная функция полезности

Отношение предпочтения

Теорема об ординальном представлении

Свойства типичных ординальных функций

Кардинальная функция полезности и ожидаемая полезность

Мотивация перехода к лотереям

Теорема фон Неймана — Моргенштерна

Теорема Сэвиджа и субъективная ожидаемая полезность

Функция полезности и отношение к риску

Геометрия отношения к риску

Мера Эрроу — Пратта

Стохастическое доминирование

Функции полезности специального вида

Функции полезности в потребительском выборе

Межвременная функция полезности

Дисконтированная полезность

Гиперболическое дисконтирование

Рекурсивная полезность

Многоатрибутная функция полезности

Критика и альтернативные теории

Эмпирические нарушения аксиом ожидаемой полезности

Дескриптивные альтернативы

Ограниченная рациональность и сатисфайсинг

Позиционная критика: несводимость предпочтений к единой функции

Проблема межличностного сравнения

Применения

Значение

См. также

Литература

Навигация

Поиск