Парадокс Эллсберга

Парадо́кс Э́ллсберга (англ. Ellsberg paradox) — систематический паттерн предпочтений, несовместимый с принципом гарантированного результата (англ. sure-thing principle; постулат P2) в аксиоматике субъективной ожидаемой полезности Л. Сэвиджа, наблюдаемый в задачах выбора между ставками на события с объективно известными вероятностями и ставками на события, вероятности которых заданы лишь частично. Сформулирован американским экономистом, теоретиком принятия решений и военным аналитиком Дэниелом Эллсбергом в докладе на декабрьском заседании Эконометрического общества в 1960 году и опубликован в развёрнутой форме в 1961 году в журнале Quarterly Journal of Economics. Парадокс демонстрирует, что модальный выбор реальных субъектов может одновременно удовлетворять двум парам ставок, которые не могут быть рационализированы никакой единственной аддитивной субъективной вероятностной мерой.

В узком смысле парадоксом Эллсберга называют две наиболее известные схемы из статьи 1961 года — двухурновой эксперимент и трёхцветный эксперимент, в широком — наблюдаемое в них явление избегания неоднозначности (англ. ambiguity aversion) как систематическое отклонение реальных предпочтений от требований теории субъективной ожидаемой полезности в условиях, когда вероятности исходов известны лишь частично. В литературе термин «неоднозначность» (англ. ambiguity) закрепился за ситуациями с неполным знанием вероятностей и в большинстве современных обзоров рассматривается как канонический формат операционализации найтовской неопределённости в теории принятия решений, противопоставленной риску с объективно заданными вероятностями.

Исторический контекст

Парадокс Эллсберга лежит на пересечении двух линий развития теории принятия решений. Первая — восходящее к книге Ф. Найта «Риск, неопределённость и прибыль» (1921) разграничение между риском (вероятностная мера может быть установлена однозначно) и неопределённостью (однозначная вероятностная мера невозможна). Близкие идеи о качестве свидетельств в пользу того или иного заключения развивал в «Трактате о вероятности» (1921) Дж. М. Кейнс: в его терминологии роль, сопоставимую с эллсберговской неоднозначностью, играет «вес свидетельства» (англ. weight of argument) — он растёт с поступлением новой информации даже тогда, когда сама вероятность остаётся постоянной. Сам Эллсберг в статье 1961 года Кейнса не цитирует; сближение кейнсианского «веса свидетельства» с понятием неоднозначности стало предметом позднейшей историко-методологической литературы. Вторая линия — программа Л. Сэвиджа, окончательно оформленная в «Основаниях статистики» (1954): достаточно рационального агента можно представить как максимизирующего ожидаемую полезность относительно своей субъективной вероятностной меры. Эллсберг в статье 1961 года прямо указывает, что его целью является демонстрация ситуаций, в которых выбор реальных субъектов согласованным образом противоречит сэвиджевской аксиоматике.

Д. Эллсберг (1931—2023) — американский теоретик принятия решений, бывший офицер Корпуса морской пехоты США и военный аналитик корпорации RAND, где в конце 1950-х — начале 1960-х годов формировались его идеи о выборе при неопределённости. Его докторская диссертация «Risk, Ambiguity and Decision» была представлена на экономический факультет Гарварда в апреле 1962 года и защищена в мае того же года; полная книжная публикация рукописи состоялась лишь в 2001 году. Статья 1961 года в Quarterly Journal of Economics стала каноническим текстом парадокса и содержала обе ключевые экспериментальные схемы — двухурновую и трёхцветную. Публикация вызвала опубликованный комментарий Г. Райфы в том же выпуске журнала (1961) и позднее — комментарий Х. Робертса (1963), на который Эллсберг дал печатный ответ в том же выпуске; параллельная полемическая переписка с Л. Сэвиджем в печатный ответ последнего не вылилась. Параллельно была проведена серия ранних экспериментальных проверок (С. Беккер, Ф. Браунсон, 1964; П. Словик, А. Тверски, 1974; К. Мак-Криммон, С. Ларссон, 1979), подтвердивших устойчивость наблюдаемых отклонений от теории субъективной ожидаемой полезности.

Несмотря на раннее признание работы в теоретической литературе, массовое распространение парадокса в формальных моделях пришлось на конец 1980-х годов — после публикаций Д. Шмайдлера, а также совместных работ И. Гилбоа и Д. Шмайдлера в Econometrica и Journal of Mathematical Economics. В последующие три десятилетия парадокс Эллсберга стал одним из центральных эмпирических ориентиров для построения моделей не-байесовского выбора при неоднозначности — аналогично тому, как парадокс Алле сыграл роль для моделей не-ожидаемой полезности при риске. Обзор шестидесятилетней истории исследования избегания неоднозначности дан в библиометрической работе К. Бюрена, Ф. Майера, М. Плеснера (2023); систематическое изложение современной теории — в «Handbook of the Economics of Risk and Uncertainty» (М. Мэчайна, М. Синискальки, 2014).

Формулировка

Двухурновой эксперимент

В простейшей схеме имеются две урны, в каждой по 100 шаров двух цветов — красного и чёрного. В урне A состав известен: ровно 50 красных и 50 чёрных. В урне B известно только общее число шаров, а пропорция красных и чёрных не указана и может быть любой. Испытуемому предлагается сделать ставку на цвет шара, извлекаемого наугад: если угаданный цвет вытянут, выплачивается фиксированный выигрыш, иначе — нуль.

Рассматриваются четыре ставки:

• f_1A: выигрыш при красном шаре из урны A;
• f_2A: выигрыш при чёрном шаре из урны A;
• f_1B: выигрыш при красном шаре из урны B;
• f_2B: выигрыш при чёрном шаре из урны B.

Типично наблюдаемые модальные предпочтения: безразличие между f_1A и f_2A, безразличие между f_1B и f_2B, но строгое предпочтение f_1A ≻ f_1B и одновременно f_2A ≻ f_2B. Такая комбинация означает, что субъект неявно приписывает вероятности извлечения красного шара из урны B значение, меньшее 1/2 (откуда f_1A ≻ f_1B), и одновременно — значение, меньшее 1/2 для вероятности извлечения чёрного шара (откуда f_2A ≻ f_2B). Сумма этих двух неявных оценок оказывается строго меньше единицы, что несовместимо с аддитивностью вероятностной меры: любая аддитивная мера, сопоставляющая значения только двум взаимно исключающим и исчерпывающим событиям, обязана давать в сумме единицу.

Трёхцветный эксперимент

Более широко обсуждаемая версия парадокса — схема с одной урной, содержащей 90 шаров: 30 красных, остальные 60 — чёрные или жёлтые в неизвестной пропорции. Введём обозначения: r, b, y — события извлечения красного, чёрного и жёлтого шара соответственно; вероятность P(r) = 1/3 задана точно, а вероятности P(b) и P(y) ограничены только условием P(b) + P(y) = 2/3. Испытуемым предлагают четыре ставки (x_H — фиксированный положительный выигрыш):

• f₁: x_H при r, 0 при b, 0 при y;
• f₂: 0 при r, x_H при b, 0 при y;
• f₃: x_H при r, 0 при b, x_H при y;
• f₄: 0 при r, x_H при b, x_H при y.

Устойчиво наблюдаемый модальный выбор: f₁ ≻ f₂ — то есть известная вероятность 1/3 предпочитается вероятности чёрного шара, заключённой в диапазоне от 0 до 2/3; и одновременно f₄ ≻ f₃ — то есть известная вероятность 2/3 предпочитается неизвестной вероятности события «красный или жёлтый», заключённой в диапазоне от 1/3 до 1. Именно эта пара предпочтений образует классическую эллсберговскую схему и через неё обычно формулируется формальный аргумент парадокса.

Нарушение аксиомы

Нарушение принципа гарантированного результата

Обозначим через u функцию полезности на исходах, нормированную условием u(0) = 0. В теории субъективной ожидаемой полезности предпочтению f₁ ≻ f₂ в трёхцветной схеме отвечает неравенство

u(x_H) · P(r) > u(x_H) · P(b),    (I)

то есть P(r) > P(b). Предпочтению f₄ ≻ f₃ отвечает

u(x_H) · [P(b) + P(y)] > u(x_H) · [P(r) + P(y)],    (II)

то есть P(b) > P(r). Неравенства (I) и (II) противоречат друг другу: следовательно, никакая аддитивная субъективная вероятностная мера не может одновременно рационализировать оба модальных предпочтения.

В терминах сэвиджевской аксиоматики парадокс указывает на нарушение постулата P2, служащего формальной экспликацией неформально введённого Л. Сэвиджем принципа гарантированного результата: если две альтернативы приносят одинаковый исход на некотором событии E, то предпочтение между ними должно определяться исключительно их исходами в случае, когда E не наступает. В схеме Эллсберга пары (f₁, f₂) и (f₃, f₄) различаются только исходами при наступлении события r или b; на событии y обе лотереи каждой пары приносят одинаковое значение — 0 в первой паре и x_H во второй. Постулат P2 требует, чтобы изменение общей компоненты (перенос 0 → x_H на событии y) не меняло предпочтения между лотереями; однако в наблюдаемом выборе предпочтение меняется на обратное. Параллельно эллсберговские предпочтения нарушают постулат P4* — усиленный принцип сравнительной вероятности, введённый М. Мэчайной и Д. Шмайдлером (1992) как замена сэвиджевскому P4, — и более общее свойство вероятностной искушённости (англ. probabilistic sophistication), то есть возможности свести предпочтения над актами к предпочтениям над лотереями с единственной субъективной вероятностной мерой; как подчёркивают М. Мэчайна и М. Синискальки (2014), P2 и P4* логически независимы, и их совместное нарушение в эллсберговской схеме не сводится к ослаблению одного из них.

Избегание неоднозначности

Эллсберг связал наблюдаемое нарушение с тем, что он сам назвал неоднозначностью (англ. ambiguity): это качество информации о вероятностях, зависящее от объёма имеющихся свидетельств, их типа, надёжности источников и «единодушия» разумных оценок. Когда информация об одном событии существенно полнее и надёжнее, чем о другом, субъект, по Эллсбергу, не готов трактовать их симметрично — даже если формально «средние» оценки вероятностей совпадают. Соответствующая склонность — избегание неоднозначности (англ. ambiguity aversion) — выражается в систематическом предпочтении ставок на события с объективно заданными вероятностями ставкам на события с неоднозначно заданными вероятностями. У отдельных субъектов и в определённых условиях наблюдается также обратная регулярность — поиск неоднозначности (англ. ambiguity seeking).

Устойчивая формальная экспликация избегания неоднозначности в рамках схемы Ф. Энскомба и Р. Ауманна (1963) опирается на свойство предпочтения «хеджирующих» смесей: выпуклая комбинация двух одинаково оцениваемых неоднозначных актов оценивается не ниже каждого из них, поскольку усреднение снижает зависимость общего результата от неизвестного параметра. Это свойство — аверсия к неопределённости (англ. uncertainty aversion) у И. Гилбоа и Д. Шмайдлера — лежит в основе аксиоматических характеризаций большинства современных моделей выбора при неоднозначности.

Эмпирические свойства

Воспроизводимость

Эллсберговский паттерн предпочтений многократно воспроизведён в разных экспериментальных парадигмах. Ранние проверки — С. Беккер и Ф. Браунсон (1964), П. Словик и А. Тверски (1974), К. Мак-Криммон и С. Ларссон (1979) — подтвердили устойчивость избегания неоднозначности в задачах с лабораторными стимулами и продемонстрировали готовность испытуемых платить за отказ от неоднозначной альтернативы. Последующие шесть десятилетий исследований существенно расширили диапазон парадигм: используются урны, прогностические события (спортивные результаты, погода, политические выборы), медицинские исходы, финансовые активы. Основные обзоры литературы — К. Камерер и М. Вебер (1992); С. Траутман и Г. ван де Куилен (2015); библиометрический анализ К. Бюрена, Ф. Майера, М. Плеснера (2023).

Вместе с тем, как и для парадокса Алле, исследования последнего десятилетия показали, что проявление эффекта существенно зависит от контекста и дизайна эксперимента. Ключевой уточняющий результат дали М. Кохер, А. Лано, С. Траутман (2018) в работе «Ambiguity Aversion Is Not Universal»: избегание неоднозначности доминирует только в области средних и высоких вероятностей выигрыша и в области потерь при малых вероятностях; в двух оставшихся квадрантах — выигрышах при малых вероятностях и потерях при высоких — чаще наблюдается поиск неоднозначности. Эта закономерность параллельна известному из теории перспектив «четырёхкратному паттерну» отношения к риску и указывает на общность психологических механизмов выбора при риске и при неоднозначности.

Контекстная чувствительность

Факторы, модулирующие проявление парадокса:

• знакомство и компетентность: гипотеза компетентности (англ. competence hypothesis) Ч. Хита и А. Тверски (1991) утверждает, что при источниках неопределённости, в которых субъект чувствует себя компетентным, избегание неоднозначности ослабевает или меняет знак на поиск неоднозначности — испытуемые предпочитают ставить на «свою» область знаний даже тогда, когда объективные вероятности в ней определены хуже;
• сравнительный контекст: гипотеза сравнительного незнания (англ. comparative ignorance; К. Фокс, А. Тверски, 1995) утверждает, что избегание неоднозначности проявляется резче в режиме одновременного сравнения ставок на ясные и неоднозначные события, чем при их изолированной оценке;
• связь с составным риском: Й. Халеви (2007) показал, что избегание неоднозначности тесно коррелирует с нарушениями аксиомы сведения составных лотерей; часть эффекта может объясняться неспособностью субъектов редуцировать многоступенчатые объективные лотереи к эквивалентным одноступенчатым, а не отношением к неоднозначности в строгом смысле. Последующие работы М. Абделлауи, П. Клибаноффа, Л. Пласидо (2015) подтвердили, что составной риск воспринимается иначе, чем соответствующий редуцированный простой риск;
• обучение: активное объяснение устройства задачи снижает, но не устраняет избегания неоднозначности (Р. Цзя и соавт., 2020), что указывает на глубокую поведенческую природу эффекта, не сводимую к вычислительной ошибке;
• онтогенез: по данным А. Осмонт и М. Кассотти (2023), избегание неоднозначности отсутствует у младших подростков, частично формируется в среднем подростковом возрасте и устойчиво проявляется у молодых взрослых;
• индивидуальные различия: структурное оценивание параметров на индивидуальном уровне (Д. Ан, С. Чой, Д. Гейл, Ш. Карив, 2014) выявило существенную гетерогенность: у значительной части испытуемых нулевая гипотеза согласованности с теорией субъективной ожидаемой полезности не отвергается, у другой части фиксируются статистически значимые избегание неоднозначности или её поиск.

Измерение неоднозначности

Отдельная линия исследований посвящена количественному измерению отношения к неоднозначности. М. Абделлауи, А. Байон, Л. Пласидо, П. Ваккер (2011) предложили инструмент функций источника (англ. source functions), позволяющий отделить суждение субъекта о вероятности события от его отношения к источнику неопределённости, порождающему это событие. Более поздние работы А. Байона, Чж. Хуана, А. Селим, П. Ваккера (2018) и А. Байона, Х. Блейхродта, Ч. Ли, П. Ваккера (2021) ввели хеджи убеждений (англ. belief hedges), пригодные для измерения отношения к неоднозначности на произвольных естественных событиях без доступа к первичным субъективным вероятностям. Эти инструменты позволили перейти от качественной констатации избегания неоднозначности к количественной оценке индекса отвращения к неоднозначности (b-index) и индекса неоднозначностно-порождённой нечувствительности (a-index), допускающих сопоставление между субъектами, предметными областями и экспериментальными парадигмами.

Парадокс Эллсберга и парадокс Алле

Парадокс Эллсберга принято рассматривать в паре с парадоксом Алле (1953). Оба являются эмпирическими контрпримерами к классическим аксиоматикам выбора, но относятся к разным режимам неопределённости:

• парадокс Алле проявляется в условиях риска — при объективно заданных и точно известных вероятностях. Нарушается аксиома независимости теории ожидаемой полезности фон Неймана — Моргенштерна для лотерей с известными вероятностями;
• парадокс Эллсберга проявляется в условиях неоднозначности — когда часть вероятностей задана, а часть нет. Нарушается принцип гарантированного результата Л. Сэвиджа в аксиоматике субъективной ожидаемой полезности.

Совместно два парадокса показывают, что линейная по вероятностям оценка лотерей недостаточна для описания реального выбора, а риск и неоднозначность требуют раздельного описания в теории принятия решений. Соответствующие альтернативные модели развиваются как две ветвящиеся, но связанные линии: модели не-ожидаемой полезности при риске и модели не-байесовского выбора при неоднозначности. Унифицированный подход, распространяющий рангово-зависимую схему на субъективные вероятности, — кумулятивная теория перспектив А. Тверски и Д. Канемана (1992); систематизирующий обзор обеих ветвей — М. Мэчайна и М. Синискальки (2014).

Альтернативные теории выбора

Парадокс Эллсберга стимулировал формирование теории выбора при неоднозначности (англ. decision theory under ambiguity) — отдельной ветви аксиоматико-дескриптивной литературы, в которой единственная аддитивная субъективная вероятность заменяется более богатой структурой, одновременно описывающей убеждения (англ. beliefs) о возможных распределениях и отношение к неоднозначности (англ. ambiguity attitude). Развёрнутое учебное изложение — П. Ваккер (2010); систематический обзор — М. Мэчайна, М. Синискальки (2014).

• Ожидаемая полезность по Шоке (англ. Choquet expected utility, CEU; Д. Шмайдлер, 1989) — вероятностная мера заменяется ёмкостью (англ. capacity) — неаддитивной функцией множества, а значение лотереи исчисляется как интеграл Шоке. Ключевая аксиома — комонотонная независимость (англ. comonotonic independence), ослабляющая классическую аксиому независимости только для актов, не конфликтующих в ранжировании исходов. Модель позволяет рационализировать эллсберговские предпочтения через неаддитивный учёт событий; однако в мысленных экспериментах М. Мэчайны (2009) её предсказания расходятся с интуитивно ожидаемыми, что положило начало отдельной линии «парадоксов Мэчайны» для моделей выбора при неоднозначности.
• Максиминная ожидаемая полезность (англ. maxmin expected utility, MEU; И. Гилбоа, Д. Шмайдлер, 1989) — вместо единственной вероятностной меры используется замкнутое выпуклое множество априорных распределений Γ, а лотерея оценивается по наихудшему из возможных ожидаемых значений: V(f) = min_{P ∈ Γ} ∫ u(f) dP. Ключевая новая аксиома — независимость относительно определённости (англ. certainty-independence), дополняемая аверсией к неопределённости. Модель приобрела широкое распространение в макроэкономике и финансах, в частности в литературе по робастному управлению; её ограничением является склонность к «крайнему пессимизму» — оценка ведётся строго по худшему распределению из множества Γ.
• α-Максиминная ожидаемая полезность (α-MEU; П. Гирардато, Ф. Маккерони, М. Мариначчи, 2004) — обобщение, в котором оценкой лотереи служит выпуклая комбинация минимального и максимального ожиданий по множеству априорных распределений, с параметром α ∈ [0, 1], задающим индивидуальную степень пессимизма/оптимизма субъекта.
• Гладкая модель неоднозначности (англ. smooth ambiguity model; П. Клибанофф, М. Мариначчи, С. Мукерджи, 2005) — вводится вероятностная мера второго порядка μ над множеством априорных распределений и отдельная функция φ, описывающая отношение к неоднозначности: V(f) = ∫ φ(∫ u(f) dP) dμ(P). Вогнутость φ соответствует избеганию неоднозначности; модель даёт гладкие кривые безразличия и явно отделяет убеждения субъекта от его отношения к неоднозначности, что особенно удобно в прикладных расчётах. MEU-модель получается в этой схеме как предельный случай «бесконечной» аверсии.
• Вариационные предпочтения (англ. variational preferences; Ф. Маккерони, М. Мариначчи, А. Рустикини, 2006) — дальнейшее обобщение MEU: к минимуму по множеству априорных распределений добавляется штрафная функция c(P), отражающая «стоимость» использования данного распределения в оценке лотереи: V(f) = min_P {∫ u(f) dP + c(P)}. Модель охватывает MEU, мультипликативные приоры в духе робастного управления и ряд других вариантов как частные случаи.
• Рекурсивные множественные приоры (англ. recursive multiple-priors; Л. Эпштейн, М. Шнайдер, 2003) — распространение MEU-подхода на задачи межвременного выбора; вводит свойство прямоугольности (англ. rectangularity) множества приоров, обеспечивающее динамическую согласованность байесовского обновления убеждений при наличии неоднозначности.
• Рангово-зависимые и кумулятивные подходы — в кумулятивной теории перспектив А. Тверски и Д. Канемана (1992) и в развёрнутой теории П. Ваккера (2010) веса событий задаются через рангово-зависимую трансформацию вероятностей; при переходе от объективных вероятностей к субъективным функциям источника эта схема распространяется и на неоднозначность, обеспечивая синтез подходов к риску и к неоднозначности в единой формальной конструкции.

Все перечисленные модели воспроизводят типичные предпочтения в эллсберговской схеме и различаются способом задания структуры убеждений, аналитической гибкостью, возможностью обобщения на межвременной выбор и условиями, при которых они редуцируются к классической теории субъективной ожидаемой полезности. Эксперимент К. Кузмикса, Б. Роджерса, С. Чжана (2022) и двухшаровой тест Эллсберга Б. Джабариана и С. Лазаруса (2022) показали, что и современные модели не-байесовского выбора не охватывают всех наблюдаемых паттернов: в частности, значительная доля испытуемых предпочитает ставку с известной вероятностью даже тогда, когда неоднозначная ставка гарантированно даёт большую вероятность выигрыша, — что не согласуется ни с одной из канонических моделей теории выбора при неоднозначности и свидетельствует в пользу избегания неоднозначности «как такового».

Нормативный статус и методологическая дискуссия

Нормативная обязательность сэвиджевского постулата P2 остаётся предметом устойчивой дискуссии. Традиционная позиция, связанная прежде всего с Л. Сэвиджем и Г. Райфой, трактует эллсберговские предпочтения как когнитивные искажения, подлежащие коррекции: поскольку структура задачи симметрична относительно чёрных и жёлтых шаров, рациональному субъекту следует приписать им равные субъективные вероятности по 1/3 и выбирать в пределах каждой пары безразлично. Сам Эллсберг, напротив, полагал, что при неполной информации требование сведения убеждений к единственной аддитивной мере не является нормативно обязательным, а наблюдаемое различие в отношении к событиям с разным объёмом свидетельств отражает осмысленную структуру предпочтений. В той же статье 1961 года Эллсберг наметил и собственное альтернативное правило выбора: оценка лотереи берётся как взвешенная комбинация ожидаемой полезности по «наилучшей оценке» (англ. best estimate) распределения и наихудшего ожидания по множеству правдоподобных распределений. В современной реконструкции нотации это правило можно записать в виде V(f) = ρ · E_P*[u(f)] + (1 − ρ) · min_{P ∈ Γ} E_P[u(f)], где ρ ∈ [0, 1] отражает степень доверия к «наилучшей оценке»; предложение Эллсберга ретроспективно рассматривается как ранний прообраз α-максиминной схемы П. Гирардато, Ф. Маккерони, М. Мариначчи (2004).

В современной литературе дискуссия отошла от бинарной оппозиции «парадокс — ошибка» или «парадокс — норма» к разведению трёх контуров теории принятия решений — нормативного (теория субъективной ожидаемой полезности как минимальный стандарт когерентности), дескриптивного (модели не-байесовского выбора как объяснения наблюдаемого поведения) и прескриптивного (процедуры поддержки решений, в которых явный учёт неоднозначности может быть не только допустим, но и желателен — особенно в задачах робастного макроэкономического управления, страхования редких событий и оценки климатических или эпидемиологических рисков).

Отдельная методологическая дискуссия касается альтернативных объяснений наблюдаемого поведения, не требующих привлечения избегания неоднозначности как самостоятельного феномена:

• гипотеза избегания обмана (англ. deceit aversion) — предположение о том, что испытуемые подозревают экспериментатора в неблагоприятном для них подборе состава урны; объяснение частично опровергается экспериментами, в которых состав генерируется случайно и публично;
• связь с составным риском — результаты Й. Халеви (2007) и М. Абделлауи, П. Клибаноффа, Л. Пласидо (2015) указывают, что значительная часть эффекта может объясняться трудностями сведения составных лотерей;
• регрет-объяснения — сам Эллсберг в статье 1961 года показал, что в его схеме выбор нельзя свести к классическому критерию минимакса сожалений, поскольку крайние исходы обеих пар лотерей совпадают;
• когнитивная сложность — часть эффекта может объясняться различиями в нагрузке на рабочую память при обработке ставок с известными и неизвестными вероятностями.

В совокупности современная литература признаёт устойчивость эллсберговского паттерна, но квалифицирует его не как единичный феномен, а как результирующую нескольких взаимосвязанных механизмов, включая неспособность редуцировать составной риск, чувствительность к сравнительному контексту и собственно отношение к неоднозначности источника.

Приложения

Парадокс Эллсберга и выросшие из него модели нашли систематическое применение в прикладных областях.

• Финансы и портфельный выбор — С. Диммок, Р. Кувенберг, О. Митчелл, К. Пейненбург (2016) на репрезентативной выборке домохозяйств США показали, что измеренное на индивидуальном уровне избегание неоднозначности отрицательно связано с участием в фондовом рынке, долей акций в финансовых активах и владением иностранными акциями, но положительно — с владением акциями собственного работодателя (домашний уклон и концентрация портфеля). Эти результаты дают поведенческое объяснение ряду устойчивых «портфельных аномалий», которые в классической теории инвестиционного выбора объяснить не удавалось.
• Макроэкономика и робастное управление — модели робастного управления Л. Хансена и Т. Сарджента, а также смежные построения используют формализмы MEU и вариационных предпочтений для описания решений экономических агентов, не доверяющих единственной статистической модели реальности.
• Страхование и риск-менеджмент — в условиях неоднозначности объективных вероятностей (редкие события, новые типы рисков, катастрофические угрозы) повышенный спрос на страховое покрытие и готовность платить за снижение неоднозначности обсуждаются в литературе по моделям выбора при неоднозначности в приложении к таким категориям рисков, как киберугрозы, пандемические события и климатические последствия.
• Публичная политика — решения в области изменения климата, пандемической готовности и регулирования новых технологий принимаются в условиях подлинной эпистемической неоднозначности; применение моделей выбора при неоднозначности позволяет описывать предпочтения регуляторов, не сводимые к стандартному анализу издержек и выгод по ожидаемым значениям.
• Медицина — эллсберговский паттерн наблюдается в задачах выбора между лечебными процедурами с разной степенью доказательной обеспеченности; это имеет значение для дизайна процедур информированного согласия и коммуникации медицинского риска.

Значение

Парадокс Эллсберга — одна из двух ключевых эмпирических опор поведенческой экономики XX века (наряду с парадоксом Алле) и главный стимул к построению моделей выбора, выходящих за пределы байесовской субъективной вероятности. Его систематическое изучение привело:

• к признанию неоднозначности как самостоятельной категории условий выбора — отличной от риска с объективно заданными вероятностями и обычно понимаемой как форма операционализации найтовской неопределённости в рамках теории принятия решений;
• к разработке аксиоматических моделей выбора при неоднозначности — от CEU и MEU до гладкой модели неоднозначности и вариационных предпочтений;
• к появлению количественных инструментов измерения отношения к неоднозначности (функции источника, индексы a и b, хеджи убеждений), применимых к произвольным естественным событиям;
• к переосмыслению сэвиджевской программы: принцип гарантированного результата сохраняется как нормативная идеализация, но утрачивает статус универсального дескриптивного закона;
• к прикладным перестройкам теорий инвестиционного выбора, страхования и макроэкономической политики в направлении явного учёта эффектов неоднозначности.

Современный обзор истории парадокса и состояния дискуссии — К. Бюрен, Ф. Майер, М. Плеснер (2023); аналитическая карта теоретических моделей — М. Мэчайна, М. Синискальки (2014).

Литература

• Knight F. H. Risk, Uncertainty and Profit. — Boston: Houghton Mifflin, 1921.
• Keynes J. M. A Treatise on Probability. — London: Macmillan, 1921.
• Savage L. J. The Foundations of Statistics. — New York: Wiley, 1954.
• Ellsberg D. Risk, Ambiguity, and the Savage Axioms // Quarterly Journal of Economics. — 1961. — Vol. 75, № 4. — P. 643—669.
• Raiffa H. Risk, Ambiguity, and the Savage Axioms: Comment // Quarterly Journal of Economics. — 1961. — Vol. 75, № 4. — P. 690—694.
• Anscombe F. J., Aumann R. J. A Definition of Subjective Probability // The Annals of Mathematical Statistics. — 1963. — Vol. 34, № 1. — P. 199—205.
• Roberts H. V. Risk, Ambiguity, and the Savage Axioms: Comment // Quarterly Journal of Economics. — 1963. — Vol. 77, № 2. — P. 327—336.
• Ellsberg D. Risk, Ambiguity, and the Savage Axioms: Reply // Quarterly Journal of Economics. — 1963. — Vol. 77, № 2. — P. 336—342.
• Becker S. W., Brownson F. O. What Price Ambiguity? Or the Role of Ambiguity in Decision-Making // Journal of Political Economy. — 1964. — Vol. 72, № 1. — P. 62—73.
• Slovic P., Tversky A. Who Accepts Savage's Axiom? // Behavioral Science. — 1974. — Vol. 19, № 6. — P. 368—373.
• MacCrimmon K. R., Larsson S. Utility Theory: Axioms versus "Paradoxes" // Expected Utility Hypotheses and the Allais Paradox / M. Allais, O. Hagen (eds.). — Dordrecht: Reidel, 1979. — P. 333—409.
• Segal U. The Ellsberg Paradox and Risk Aversion: An Anticipated Utility Approach // International Economic Review. — 1987. — Vol. 28, № 1. — P. 175—202.
• Gilboa I., Schmeidler D. Maxmin Expected Utility with Non-Unique Prior // Journal of Mathematical Economics. — 1989. — Vol. 18, № 2. — P. 141—153.
• Schmeidler D. Subjective Probability and Expected Utility without Additivity // Econometrica. — 1989. — Vol. 57, № 3. — P. 571—587.
• Heath C., Tversky A. Preference and Belief: Ambiguity and Competence in Choice under Uncertainty // Journal of Risk and Uncertainty. — 1991. — Vol. 4, № 1. — P. 5—28.
• Camerer C., Weber M. Recent Developments in Modeling Preferences: Uncertainty and Ambiguity // Journal of Risk and Uncertainty. — 1992. — Vol. 5, № 4. — P. 325—370.
• Machina M. J., Schmeidler D. A More Robust Definition of Subjective Probability // Econometrica. — 1992. — Vol. 60, № 4. — P. 745—780.
• Tversky A., Kahneman D. Advances in Prospect Theory: Cumulative Representation of Uncertainty // Journal of Risk and Uncertainty. — 1992. — Vol. 5, № 4. — P. 297—323.
• Fox C. R., Tversky A. Ambiguity Aversion and Comparative Ignorance // Quarterly Journal of Economics. — 1995. — Vol. 110, № 3. — P. 585—603.
• Ellsberg D. Risk, Ambiguity and Decision. — New York: Garland, 2001.
• Epstein L. G., Schneider M. Recursive Multiple-Priors // Journal of Economic Theory. — 2003. — Vol. 113, № 1. — P. 1—31.
• Ghirardato P., Maccheroni F., Marinacci M. Differentiating Ambiguity and Ambiguity Attitude // Journal of Economic Theory. — 2004. — Vol. 118, № 2. — P. 133—173.
• Klibanoff P., Marinacci M., Mukerji S. A Smooth Model of Decision Making under Ambiguity // Econometrica. — 2005. — Vol. 73, № 6. — P. 1849—1892.
• Maccheroni F., Marinacci M., Rustichini A. Ambiguity Aversion, Robustness, and the Variational Representation of Preferences // Econometrica. — 2006. — Vol. 74, № 6. — P. 1447—1498.
• Halevy Y. Ellsberg Revisited: An Experimental Study // Econometrica. — 2007. — Vol. 75, № 2. — P. 503—536.
• Hansen L. P., Sargent T. J. Robustness. — Princeton: Princeton University Press, 2008.
• Machina M. J. Risk, Ambiguity, and the Rank-Dependence Axioms // American Economic Review. — 2009. — Vol. 99, № 1. — P. 385—392.
• Wakker P. P. Prospect Theory: For Risk and Ambiguity. — Cambridge: Cambridge University Press, 2010.
• Abdellaoui M., Baillon A., Placido L., Wakker P. P. The Rich Domain of Uncertainty: Source Functions and Their Experimental Implementation // American Economic Review. — 2011. — Vol. 101, № 2. — P. 695—723.
• Baillon A., L'Haridon O., Placido L. Ambiguity Models and the Machina Paradoxes // American Economic Review. — 2011. — Vol. 101, № 4. — P. 1547—1560.
• Ahn D., Choi S., Gale D., Kariv S. Estimating Ambiguity Aversion in a Portfolio Choice Experiment // Quantitative Economics. — 2014. — Vol. 5, № 2. — P. 195—223.
• Machina M. J., Siniscalchi M. Ambiguity and Ambiguity Aversion // Handbook of the Economics of Risk and Uncertainty, vol. 1 / M. Machina, W. K. Viscusi (eds.). — Amsterdam: North-Holland, 2014. — P. 729—807.
• Abdellaoui M., Klibanoff P., Placido L. Experiments on Compound Risk in Relation to Simple Risk and to Ambiguity // Management Science. — 2015. — Vol. 61, № 6. — P. 1306—1322.
• Trautmann S. T., van de Kuilen G. Ambiguity Attitudes // The Wiley Blackwell Handbook of Judgment and Decision Making / G. Keren, G. Wu (eds.). — Chichester: Wiley, 2015. — P. 89—116.
• Dimmock S. G., Kouwenberg R., Mitchell O. S., Peijnenburg K. Ambiguity Aversion and Household Portfolio Choice Puzzles: Empirical Evidence // Journal of Financial Economics. — 2016. — Vol. 119, № 3. — P. 559—577.
• Kocher M. G., Lahno A. M., Trautmann S. T. Ambiguity Aversion Is Not Universal // European Economic Review. — 2018. — Vol. 101. — P. 268—283.
• Baillon A., Huang Z., Selim A., Wakker P. P. Measuring Ambiguity Attitudes for All (Natural) Events // Econometrica. — 2018. — Vol. 86, № 5. — P. 1839—1858.
• Jia R., Furlong E., Gao S., Santos L. R., Levy I. Learning about the Ellsberg Paradox Reduces, but Does Not Abolish, Ambiguity Aversion // PLoS ONE. — 2020. — Vol. 15, № 3. — Art. e0228782.
• Baillon A., Bleichrodt H., Li C., Wakker P. P. Belief Hedges: Measuring Ambiguity for All Events and All Models // Journal of Economic Theory. — 2021. — Vol. 198. — Art. 105353.
• Jabarian B., Lazarus S. A Two-Ball Ellsberg Paradox: An Experiment. — arXiv preprint. — 2022. — arXiv:2206.04605.
• Kuzmics C., Rogers B. W., Zhang X. An Ellsberg Paradox for Ambiguity Aversion. — arXiv preprint. — 2022. — arXiv:2212.03603.
• Bühren C., Meier F., Pleßner M. Ambiguity Aversion: Bibliometric Analysis and Literature Review of the Last 60 Years // Management Review Quarterly. — 2023. — Vol. 73, № 2. — P. 495—525.
• Osmont A., Cassotti M. Development of Ambiguity Aversion from Early Adolescence to Adulthood: New Insights from the Ellsberg Paradox // International Journal of Behavioral Development. — 2023. — Vol. 47, № 1. — P. 47—58.

См. также

• Парадокс Алле
• Теория принятия решений
• Выбор
• Риск