Теория перспектив

Тео́рия перспекти́в (англ. prospect theory) — дескриптивная теория выбора при риске, описывающая систематические отклонения наблюдаемых решений от предсказаний теории ожидаемой полезности фон Неймана — Моргенштерна. Предложена Д. Канеманом и А. Тверски в статье «Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk», опубликованной в журнале Econometrica в 1979 году. В отличие от теории ожидаемой полезности, оценивающей альтернативы по итоговому уровню богатства через вогнутую функцию полезности и линейное взвешивание вероятностей, теория перспектив оценивает исходы как изменения относительно точки отсчёта (англ. reference point), применяет к этим изменениям S-образную функцию ценности (англ. value function) с выраженной асимметрией между выигрышами и потерями и преобразует вероятности через нелинейную функцию взвешивания (англ. probability weighting function).

В статье 1979 года заданы три содержательных эффекта, мотивирующих отход от теории ожидаемой полезности: эффект уверенности (англ. certainty effect) — непропорциональная переоценка гарантированных исходов; эффект отражения (англ. reflection effect) — обращение предпочтений при смене знака исходов; эффект изоляции (англ. isolation effect) — игнорирование компонентов, общих для сравниваемых лотерей. В статье 1992 года «Advances in Prospect Theory: Cumulative Representation of Uncertainty» теория перестроена на рангово-зависимой основе и получила название кумулятивная теория перспектив (англ. cumulative prospect theory, CPT); этот вариант считается канонической формулировкой и используется в большинстве современных эмпирических и прикладных работ. За разработку теории перспектив и связанные психологические исследования Д. Канеман получил в 2002 году Нобелевскую премию по экономике, разделённую с В. Смитом (за методологию лабораторных экспериментов в экономическом анализе); А. Тверски скончался в 1996 году и не мог стать лауреатом, поскольку статут Нобелевского фонда не допускает посмертного присуждения премии.

Исторический контекст

Появление теории перспектив подготовлено четырьмя независимыми линиями исследования. Первая — аксиоматическое обоснование ожидаемой полезности в «Theory of Games and Economic Behavior» Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна (1944) и её развитие в субъективной версии Л. Сэвиджа («Foundations of Statistics», 1954). Вторая — накопление эмпирических контрпримеров: ещё Г. Марковиц в статье «The Utility of Wealth» (1952) предложил функцию полезности, определённую на отклонениях от привычного уровня богатства и имеющую точки перегиба; парадокс Алле (1953) продемонстрировал нарушение аксиомы независимости в задачах с объективными вероятностями; парадокс Эллсберга (1961) зафиксировал нарушение постулата P2 Сэвиджа в задачах с неоднозначно заданными вероятностями. Третья — программа ограниченной рациональности (англ. bounded rationality) Г. Саймона, сформулированная в статье «A Behavioral Model of Rational Choice» (Quarterly Journal of Economics, 1955): реальный агент не оптимизирует, а придерживается принципа удовлетворительности (англ. satisficing) — останавливается на первой альтернативе, соответствующей приемлемому уровню притязаний. Саймон показал, что описание поведения через оптимизирующий максимизатор не выдерживает проверки на вычислительные и когнитивные ограничения реальных субъектов, и тем самым открыл исследовательскую программу, к которой теория перспектив примыкает как наиболее развёрнутая количественная формулировка. Четвёртая — программа изучения эвристик и систематических искажений суждения, развёрнутая Д. Канеманом и А. Тверски в серии публикаций 1970-х годов, начиная с работы «Judgment under Uncertainty: Heuristics and Biases» (Science, 1974).

Д. Канеман (1934—2024) и А. Тверски (1937—1996) — израильско-американские психологи, сформулировавшие ядро поведенческой программы в Еврейском университете в Иерусалиме во второй половине 1960-х — начале 1970-х годов. В последующие десятилетия А. Тверски работал в Стэнфорде, а Д. Канеман — в Университете Британской Колумбии, в Беркли и затем в Принстоне. Статья 1979 года в Econometrica вышла на стыке психологии и экономики и к середине 1980-х стала одной из наиболее цитируемых работ в обеих дисциплинах.

Оригинальная статья 1979 года формально излагает теорию для лотерей не более чем с двумя ненулевыми исходами; соответствующая формула для перспектив с тремя и более исходами авторами в явном виде не записана, о чём указано в словесной форме с оговоркой о тривиальности обобщения. Отсутствие явной формулы породило в последующей литературе устойчивое смешение двух разных конструкций: действительной оригинальной теории перспектив и так называемой сепарабельной теории перспектив (англ. separable prospect theory), в которой функция взвешивания применяется к каждой вероятности в отдельности с последующим суммированием взвешенных полезностей. Сепарабельная версия допускает грубые нарушения стохастического доминирования первого порядка даже для простейших строго положительных лотерей; оригинальная теория за счёт выделенного правила для строго положительных и строго отрицательных перспектив решает эту граничную проблему, но в общем случае — особенно для смешанных лотерей с большим числом исходов — также может приписывать более высокое значение стохастически доминируемой перспективе. Именно поэтому Канеман и Тверски включили в фазу редактирования (англ. editing phase) отдельную операцию «обнаружения доминирования», которая отбрасывает доминируемые альтернативы до вычисления значения. Корректное восстановление формулы оригинальной теории для многоисходных перспектив дано П. Ваккером в статье «The Correct Formula of 1979 Prospect Theory for Multiple Outcomes» (Theory and Decision, 2023). Кумулятивная теория перспектив 1992 года решает проблему стохастического доминирования системно — на уровне самой формулы оценки, за счёт перехода к рангово-зависимому взвешиванию накопленных вероятностей в традиции Дж. Квиггина (1982); тем самым необходимость в отдельной операции «обнаружения доминирования» внутри фазы редактирования отпадает, хотя другие составляющие этой фазы (кодирование, комбинирование, отмена, упрощение) сохраняются как дескриптивные объяснения эффектов изоляции и формулировки.

Точка отсчёта

В теории ожидаемой полезности аргументом функции полезности U служит итоговый уровень богатства w. В теории перспектив аргументом функции ценности v служит изменение Δw = w − w₀ относительно точки отсчёта w₀. В своей первоначальной формулировке обе теории описывают выбор между рискованными перспективами (англ. prospects) — лотереями с известными объективными вероятностями; различие состоит в способе кодирования исходов: в теории ожидаемой полезности исход отождествляется с конечным состоянием богатства, в теории перспектив — с выигрышем или потерей относительно текущего положения. Кумулятивная версия 1992 года распространяет аппарат теории перспектив на неопределённые перспективы (англ. uncertain prospects) с субъективно оцениваемыми вероятностями, объединяя в одной конструкции описание выбора при риске и при неоднозначности.

Выбор точки отсчёта — отдельный эмпирический и теоретический вопрос. В классической формулировке 1979 года она отождествляется с текущим богатством, но уже в статье 1979 года Канеман и Тверски отмечают, что её может сдвигать формулировка задачи. В последующих работах предложены альтернативные концепции: статус-кво, ожидаемый уровень (предшествующая цена, прогноз, обещание), социальное сравнение. Б. Кёсеги и М. Рабин (2006) разработали теорию эндогенной точки отсчёта, в которой она выводится из рациональных ожиданий агента. Вопрос о том, какая точка отсчёта действует в данной задаче, остаётся основным источником неоднозначности прикладных предсказаний теории.

Функция ценности

Функция v: ℝ → ℝ связывает выигрыши и потери (выраженные как отклонения от точки отсчёта) с их субъективной ценностью. В каноническом виде она обладает тремя свойствами:

• вогнутость в области выигрышей (v″(x) < 0 при x > 0) — избегание риска при положительных исходах;
• выпуклость в области потерь (v″(x) > 0 при x < 0) — склонность к риску при отрицательных исходах;
• более крутой наклон в области потерь: v(−x) < −v(x) при x > 0, то есть потеря x субъективно ощущается сильнее, чем равный по величине выигрыш. Это свойство известно как отвращение к потерям (англ. loss aversion).

В работе 1992 года Тверски и Канеман предложили параметрическую форму:

v(x) = x^α при x ≥ 0,

v(x) = −λ · (−x)^β при x < 0,

где α и β — показатели кривизны в областях выигрышей и потерь, λ — коэффициент отвращения к потерям. Медианные оценки по данным их лабораторных экспериментов составили α ≈ β ≈ 0,88 и λ ≈ 2,25; последнее означает, что потери субъективно весят примерно в 2,25 раза больше, чем равные по величине выигрыши. Близкие значения параметров получены в серии последующих исследований и систематически обсуждаются в обзоре Н. Барбериса (2013).

Функция взвешивания вероятностей

Функция π: [0, 1] → [0, 1] преобразует объективные вероятности в веса решения (англ. decision weights), с которыми субъективные ценности исходов входят в оценку лотереи. В оригинальной формулировке 1979 года π определяется на вероятности отдельного исхода и обладает свойствами:

• π(0) = 0, π(1) = 1 — границы сохраняются;
• переоценка малых вероятностей: π(p) > p для малых p;
• недооценка средних и больших вероятностей: π(p) < p для p, близких к 1/2 и выше;
• субдостоверность (англ. subcertainty): π(p) + π(1 − p) < 1 для всех 0 < p < 1 — сумма весов взаимоисключающих исходов меньше единицы;
• субпропорциональность (англ. subproportionality): при фиксированном отношении вероятностей отношение соответствующих весов решения оказывается ближе к единице тогда, когда сами вероятности малы, чем когда велики — в формализации Канемана и Тверски (1979) это свойство записывается как π(pq)/π(p) ≤ π(pqr)/π(pr) для всех 0 < p, q, r ≤ 1;
• субаддитивность (англ. subadditivity) для малых вероятностей: π(rp) > r·π(p) при малых p и 0 < r < 1, что отражает локальную кривизну функции взвешивания вблизи нуля.

Форма π (перевёрнутая S-образная кривая) порождает непропорционально высокую чувствительность к событиям с крайними вероятностями и заниженную — к промежуточным. Этим объясняется, в частности, одновременная привлекательность как лотерейных билетов (малая вероятность крупного выигрыша), так и страховых полисов, покрывающих маловероятные крупные потери.

В кумулятивной теории перспектив π заменяется рангово-зависимой функцией w, применяемой не к отдельной вероятности, а к накопленной вероятности соответствующего «хвоста» распределения исходов — лучших исходов для выигрышей и худших для потерь. Тверски и Канеман (1992) предложили параметризацию

w(p) = p^γ / (p^γ + (1 − p)^γ)^1/γ,

где параметр γ управляет степенью искривления кривой взвешивания. Для выигрышей применяется функция с параметром γ, а для потерь — функция того же вида с параметром δ:

w⁺(p) = p^γ / (p^γ + (1 − p)^γ)^1/γ,

w⁻(p) = p^δ / (p^δ + (1 − p)^δ)^1/δ.

Медианные оценки по данным Тверски и Канемана 1992 года составили γ ≈ 0,61 и δ ≈ 0,69. Альтернативная параметризация с аналогичными эмпирическими свойствами — однопараметрическая функция Д. Прелека (1998): w(p) = exp(−(−ln p)^α), аксиоматически выведенная из свойства compound invariance; в той же работе Прелек приводит её двухпараметрическое обобщение w(p) = exp(−β·(−ln p)^α), допускающее дополнительную гибкость масштабирования и широко используемое в прикладных работах.

Фазы решения

Теория описывает выбор как двухэтапный процесс. На фазе редактирования (англ. editing phase) агент преобразует исходное описание альтернатив до их формальной оценки. Канеман и Тверски (1979) выделили шесть типичных операций редактирования:

• кодирование (англ. coding) — представление исходов как выигрышей или потерь относительно точки отсчёта;
• комбинирование (англ. combination) — объединение одинаковых исходов с суммированием их вероятностей;
• разделение (англ. segregation) — выделение безрискового компонента лотереи;
• отмена (англ. cancellation) — удаление компонентов, общих для сравниваемых альтернатив;
• упрощение (англ. simplification) — округление вероятностей и значений исходов;
• обнаружение доминирования (англ. detection of dominance) — отбрасывание заведомо доминируемых альтернатив.

На фазе оценки (англ. evaluation phase) к отредактированным перспективам применяется формула расчёта значения V. Этап редактирования объясняет ряд эффектов, не сводимых к самой формуле, — в частности, эффект изоляции: одна и та же задача, представленная разными способами, приводит к разным итогам редактирования и, соответственно, к разным предпочтениям.

Оригинальная теория 1979 года

Для регулярной перспективы с двумя ненулевыми исходами (x, p; y, q), в которой либо p + q < 1 (подразумевается третий исход с нулевой ценностью), либо исходы x и y имеют противоположные знаки, значение задаётся выражением

V = π(p) · v(x) + π(q) · v(y).

Для строго положительных или строго отрицательных перспектив с двумя исходами одного знака (p + q = 1) применяется отдельное правило, выделяющее безрисковый компонент:

V = v(y) + π(p) · [v(x) − v(y)],

где y — меньший по абсолютной величине исход. Это правило обеспечивает непрерывность значения при переходе от безрисковой альтернативы к близкой к ней рискованной и корректно работает для перспектив с двумя ненулевыми исходами. Прямое распространение первой формулы на произвольное число исходов по схеме «взвесить каждую вероятность через π и просуммировать» соответствует не собственно оригинальной теории перспектив, а отдельной конструкции — сепарабельной теории перспектив. Сепарабельная версия допускает грубые нарушения стохастического доминирования первого порядка даже для простейших строго положительных лотерей; оригинальная теория решает эту граничную проблему за счёт выделенного правила, однако в общем случае (например, для смешанных лотерей с большим числом исходов) всё равно может приписывать более высокое значение стохастически доминируемой перспективе и потому требует фазы редактирования с операцией «обнаружение доминирования». Корректная формула оригинальной теории для перспектив с тремя и более исходами изложена П. Ваккером (2023); в кумулятивной теории перспектив 1992 года соответствующая проблема решена системно — за счёт перехода к рангово-зависимому взвешиванию.

Кумулятивная теория перспектив (1992)

Упорядочим исходы перспективы по возрастанию: x_−m < … < x₋₁ < 0 ≤ x₀ < … < x_n; здесь индекс n соответствует самому большому выигрышу, индекс −m — самой крупной потере, а ноль разграничивает области выигрышей и потерь; пусть p_i — вероятность исхода x_i. Веса решения формируются кумулятивно от экстремальных исходов к нулю через накопленные вероятности «хвостов» распределения:

π_n⁺ = w⁺(p_n),

π_i⁺ = w⁺(p_i + … + p_n) − w⁺(p_i+1 + … + p_n) для 0 ≤ i < n,

π_−m⁻ = w⁻(p_−m),

π_i⁻ = w⁻(p_−m + … + p_i) − w⁻(p_−m + … + p_i−1) для −m < i ≤ −1.

Значение перспективы равно

V = Σ_i=0ⁿ π_i⁺ · v(x_i) + Σ_i=−m⁻¹ π_i⁻ · v(x_i).

Отдельные функции w⁺ и w⁻ для выигрышей и потерь отражают знакозависимость искажения вероятностей в кумулятивной теории перспектив. Типичная обратная S-образная форма каждой из этих функций выражает убывающую чувствительность — принцип, по которому субъективная чувствительность к изменению вероятности убывает по мере удаления от крайних значений 0 и 1. Рангово-зависимая процедура взвешивания, применяемая к накопленным вероятностям «хвостов» распределения исходов, отдельно обеспечивает согласованность оценки со стохастическим доминированием первого порядка на уровне самой формулы; тем самым она снимает нужду в фазе редактирования именно как в механизме ремонта нарушений стохастического доминирования, оставляя за остальными операциями редактирования (кодированием, комбинированием, отменой, упрощением) дескриптивное объяснение эффектов изоляции и формулировки. Конструкция наследует идеи рангово-зависимой полезности Дж. Квиггина (1982): при совпадении функций взвешивания w⁺ = w⁻ и отсутствии зависимости от точки отсчёта (когда функция ценности превращается в обычную функцию полезности, заданную на конечных состояниях богатства) кумулятивная теория перспектив редуцируется к модели Квиггина. Существенно, что сами Тверски и Канеман в статье 1992 года формулируют кумулятивную теорию перспектив как модель выбора не только между рискованными, но и между неопределёнными перспективами — с использованием неаддитивных субъективных вероятностей в духе интеграла Шоке. Это отличает кумулятивную версию от оригинальной теории 1979 года и создаёт формальную основу для применения аппарата к задачам с неоднозначностью в духе парадокса Эллсберга. Специальная конструкция функций источника (англ. source functions), систематически оформляющая зависимость взвешивания вероятностей от источника неопределённости, разработана позднее — в монографии П. Ваккера (2010) и эмпирически реализована в работе М. Абделлауи, А. Байона, Л. Пласидо, П. Ваккера (2011).

Эффект уверенности

В задачах с объективными вероятностями гарантированный исход получает непропорционально большой вес по сравнению с почти гарантированным. Канонический пример из статьи 1979 года — две пары лотерей. В первой паре сопоставляются гарантированная выплата 3000 и лотерея (4000, 0,8); модальный выбор — гарантированные 3000. Во второй паре каждая вероятность умножена на 1/4: сопоставляются лотереи (3000, 0,25) и (4000, 0,20); модальный выбор здесь — лотерея с большим выигрышем. Теория ожидаемой полезности с любой вогнутой функцией полезности не может рационализировать такое сочетание, поскольку пропорциональное уменьшение вероятностей должно сохранять относительное предпочтение. Эффект уверенности формально соответствует субпропорциональности функции π и объясняет основные парные нарушения аксиомы независимости, составляющие парадокс Алле.

Эффект отражения

Замена знака всех исходов лотереи на противоположный меняет модальные предпочтения на обратные: агент, предпочитающий гарантированный выигрыш 3000 лотерее (4000, 0,8), симметрично предпочитает лотерею (−4000, 0,8) гарантированной потере −3000. Этот эффект несовместим со стандартной спецификацией теории ожидаемой полезности — с одной глобально вогнутой функцией полезности и стабильным отношением к риску по всему диапазону богатства, — и напротив, непосредственно следует из S-образности функции ценности: вогнутость в области выигрышей и выпуклость в области потерь порождают симметричное обращение модального выбора. В более широком смысле эффект отражения согласуется с ранней идеей Г. Марковица (1952) о функции полезности с перегибом в точке привычного уровня богатства, от которой теория перспектив наследует основные черты.

Эффект изоляции

Одна и та же задача, представленная в двух формах — как одношаговая лотерея и как двухшаговая составная лотерея с отбрасыванием общего начального этапа, — приводит к несовпадающим модальным выборам. Эффект демонстрирует чувствительность предпочтений к формулировке и обосновывает необходимость явной фазы редактирования.

Эффект формулировки

Эффект формулировки (англ. framing effect) обобщает эффект изоляции: одна и та же экономическая задача, описанная в терминах выигрышей или в терминах потерь, порождает разные модальные предпочтения. Канеман и Тверски (1981, «The Framing of Decisions and the Psychology of Choice», Science) продемонстрировали этот эффект на задаче «азиатской болезни», в которой программы противоэпидемического реагирования сформулированы либо как сохранённые, либо как потерянные жизни при тождественных статистических характеристиках; модальный выбор меняется в зависимости от формулировки.

Отвращение к потерям

Асимметрия функции ценности порождает общее нежелание заключать мелкие симметричные пари. Если субъект отвергает пари вида (+x, 1/2; −x, 1/2) с малой суммой x, то по теории ожидаемой полезности он должен отвергать и пари на гораздо бо́льшие суммы при сколь угодно выгодных соотношениях; М. Рабин (2000) формализовал это как «теорему калибровки» ожидаемой полезности и показал, что наблюдаемое отвращение к мелким симметричным пари не может быть рационализировано в рамках теории ожидаемой полезности с разумной кривизной U — в то время как теория перспектив описывает его естественным образом через λ > 1. Систематическая оценка коэффициента λ получена в мета-анализе А. Брауна, Т. Имаи, Ф. Видера, К. Камерера («Meta-analysis of Empirical Estimates of Loss Aversion», Journal of Economic Literature, 2024) на выборке из 607 эмпирических оценок, извлечённых из 150 работ по экономике, психологии и нейронауке за 1992—2017 годы: средняя оценка λ составила 1,955 при 95%-ном байесовском интервале [1,820; 2,102]. Мета-анализ уверенно подтверждает наличие эффекта отвращения к потерям «около двух», но даёт более умеренную агрегированную оценку, чем классическое значение Тверски и Канемана 1992 года (λ ≈ 2,25), которое остаётся выше верхней границы интервала.

Эффект обладания и эффект статус-кво

Эффект обладания (англ. endowment effect, Р. Талер, 1980; Дж. Кнетч, 1989; Д. Канеман, Дж. Кнетч, Р. Талер, 1990, 1991) — устойчивое расхождение между минимальной ценой продажи (willingness to accept, WTA) и максимальной ценой покупки (willingness to pay, WTP) одного и того же блага: WTA обычно заметно превышает WTP. В эксперименте Дж. Кнетча («The Endowment Effect and Evidence of Nonreversible Indifference Curves», American Economic Review, 1989) 89 % испытуемых, которым исходно выдали кружку, отказались обменять её на плитку шоколада сопоставимой цены, и только 10 % испытуемых, исходно получивших шоколад, согласились на обратный обмен; распределение начального блага при этом было случайным. В классическом эксперименте Канемана, Кнетча и Талера (1990) медианное отношение WTA/WTP для тех же кружек составило около 2. Эффект статус-кво (англ. status quo bias, У. Самюэльсон, Р. Зекхаузер, 1988) — систематическое предпочтение текущего положения перед альтернативами. Оба эффекта интерпретируются через отвращение к потерям: отказ от имеющегося блага (или отклонение от статус-кво) кодируется как потеря, а приобретение нового — как выигрыш, и первое весит больше. Формальное распространение зависимости от точки отсчёта на задачи безрискового выбора дано Тверски и Канеманом в статье «Loss Aversion in Riskless Choice: A Reference-Dependent Model» (Quarterly Journal of Economics, 1991): кривые безразличия потребителя перестают быть симметричными относительно точки отсчёта и приобретают излом на ней, что одновременно объясняет эффект обладания, эффект статус-кво и асимметрию откликов потребителя на повышения и снижения цен.

Четырёхкратный паттерн отношения к риску

Сочетание S-образной функции ценности и нелинейного взвешивания вероятностей порождает четырёхкратный паттерн (англ. fourfold pattern) отношения к риску, систематизированный Тверски и Канеманом (1992):

• выигрыши с малой вероятностью — поиск риска (выбор лотерей);
• выигрыши с большой вероятностью — избегание риска (предпочтение гарантированных сумм);
• потери с малой вероятностью — избегание риска (покупка страховых полисов);
• потери с большой вероятностью — поиск риска (надежда на «авось» при безнадёжном положении).

Этот паттерн воспроизводится в десятках экспериментов с разными стимулами и валютами; его обобщение на задачи с неоднозначностью продемонстрировали М. Кохер, А. Лано и С. Траутман (2018) — исчезновение универсального избегания неоднозначности в параллельной структуре из четырёх квадрантов.

Воспроизводимость

Международная проверка базовых предсказаний теории на выборке из 19 стран (К. Руджери и соавт., «Replicating Patterns of Prospect Theory for Decision under Risk», Nature Human Behaviour, 2020) воспроизвела 94 % отдельных пунктов и 12 из 13 центральных теоретических контрастов оригинальной статьи 1979 года; при этом сами авторы подчёркивают заметную межстрановую гетерогенность и внутрииндивидуальную вариативность количественных откликов, так что речь идёт об устойчивости качественных паттернов, а не числовых оценок параметров. Независимые беспараметрические измерения отвращения к потерям М. Абделлауи, Х. Блейхродта, К. Параскив («Loss Aversion under Prospect Theory», Management Science, 2007) дали оценки λ, согласованные по порядку величины с исходными оценками Тверски и Канемана 1992 года. Оценки параметра γ функции взвешивания в окрестности 0,6 получены в независимых беспараметрических процедурах М. Абделлауи («Parameter-Free Elicitation of Utility and Probability Weighting Functions», Management Science, 2000) и Х. Блейхродта, Х. Пинто (2000).

Парадокс Алле

Парадокс Алле (1953) состоит из двух пар лотерей, для которых модальные предпочтения несовместимы с аксиомой независимости теории ожидаемой полезности. В теории перспектив оба предпочтения объясняются эффектом уверенности: замена гарантированной выплаты на почти гарантированную резко изменяет вес исхода через нелинейность π, а добавление общего компонента не меняет разницы в весах, как это требовалось бы при линейном взвешивании. Тем самым теория перспектив — и её кумулятивная версия — воспроизводит парадокс Алле как типичное, а не аномальное поведение, и предоставляет количественное описание наблюдаемой модели предпочтений.

Парадокс Эллсберга

Парадокс Эллсберга (1961) относится к задачам с неоднозначно заданными вероятностями, тогда как оригинальная теория перспектив сформулирована для лотерей с известными объективными вероятностями. Распространение аппарата кумулятивной теории перспектив на неоднозначность достигается через замену вероятности субъективной функцией источника (англ. source function) — конструкцию, развёрнутую П. Ваккером в монографии «Prospect Theory: For Risk and Ambiguity» (2010) и эмпирически калиброванную в работах М. Абделлауи, А. Байона, Л. Пласидо, П. Ваккера (2011). В объединённой схеме риск и неоднозначность описываются единой формальной конструкцией рангово-зависимой оценки, в которой функция взвешивания зависит не только от вероятности, но и от источника неопределённости, её порождающего.

Критика и альтернативные теории

Основные направления критики теории перспектив:

• Неопределённость точки отсчёта. В оригинальной формулировке она не выводится из наблюдаемых данных и нередко задаётся ad hoc под конкретную задачу. Попытка системного ответа — модель эндогенной точки отсчёта Б. Кёсеги и М. Рабина (2006), в которой точкой отсчёта служат рациональные ожидания агента; эта модель даёт точные предсказания, но её эмпирическая поддержка неоднородна.
• Проблемы параметрической оценки. Параметры v и w коррелированы в стандартных экспериментальных схемах; альтернативные процедуры выявления (М. Абделлауи, 2000; Х. Блейхродт, Х. Пинто, 2000) дают близкие, но не тождественные оценки; разброс λ в опубликованных работах варьируется от ≈ 1,3 до ≈ 3,3. Вопрос о робастной оценке коэффициента отвращения к потерям остаётся предметом активной дискуссии: параллельно с мета-анализом А. Брауна, Т. Имаи, Ф. Видера, К. Камерера (2024), давшим среднее λ ≈ 1,96, Л. Валасек, Т. Маллетт, Н. Стюарт (Journal of Economic Psychology, 2024) на более узкой выборке из 17 датасетов с доступными первичными данными, где λ оценивалась единообразной процедурой максимального правдоподобия по индивидуальным выборам между смешанными лотереями, получили существенно меньшую оценку λ ≈ 1,31. В ре-мета-анализе того же массива Э. Йехиам и Д. Цайф («Loss Aversion Is Not Robust», Journal of Economic Psychology, 2025) разделили исследования по двум факторам дизайна — симметричности выигрышей и потерь и порядку предъявления: для исследований с симметричными выигрышами и потерями при отсутствии упорядочения оценка λ ≈ 1,07 оказалась статистически не отличимой от единицы, что свидетельствует об отсутствии эффекта отвращения к потерям в таких условиях. Эта дискуссия не отменяет классической S-образной функции ценности, но требует более осторожного обращения с λ как с «универсальной константой».
• Ограниченная применимость в задачах с большим числом исходов. Экспериментальная калибровка теории получена преимущественно на лотереях с двумя-тремя исходами; распространение на непрерывные распределения требует дополнительных предположений о форме w.
• Несводимость к единому набору параметров. Параметры α, β, λ, γ различаются между предметными областями, исходами в денежной и неденежной форме, индивидуальными субъектами и контекстами; это ставит под вопрос существование универсальной «функции ценности» как свойства индивида.
• Разрыв описания и опыта (англ. description-experience gap). Р. Хертвиг, Г. Бэррон, Э. Вебер, И. Эрев (2004) показали, что при задачах, в которых вероятности не сообщаются явно, а выучиваются из последовательности розыгрышей, наблюдаемый паттерн искажений противоположен предсказаниям теории перспектив: редкие события недооцениваются, а не переоцениваются. Это ограничивает область применимости функции взвешивания вероятностей задачами с явным статистическим описанием и ставит вопрос о существовании двух различных механизмов оценки вероятности — по описанию и по опыту.
• Эффект рыночного опыта. Дж. Лист в полевых экспериментах на рынке коллекционных спортивных карточек («Does Market Experience Eliminate Market Anomalies?», Quarterly Journal of Economics, 2003; «Neoclassical Theory versus Prospect Theory: Evidence from the Marketplace», Econometrica, 2004) зафиксировал существенное ослабление эффекта обладания у регулярных участников рынка и его практическое отсутствие у дилеров. Результат не отменяет теорию перспектив как дескриптивную модель, но указывает, что в условиях повторного обмена с обратной связью поведение сдвигается в сторону предсказаний теории ожидаемой полезности, и ограничивает внешнюю валидность лабораторных оценок для агентов, действующих в опытных торговых средах.

Альтернативные дескриптивные теории выбора при риске, формально не сводящиеся к теории перспектив:

• Рангово-зависимая полезность (Дж. Квиггин, 1982) — нелинейное взвешивание накопленных вероятностей без разделения областей выигрышей и потерь; служит предшественником и частным случаем кумулятивной теории перспектив при совпадении w⁺ и w⁻ и отсутствии зависимости от точки отсчёта (функция ценности превращается в обычную функцию полезности, заданную на конечных состояниях богатства).
• Дуальная теория выбора при риске (М. Яари, «The Dual Theory of Choice under Risk», Econometrica, 1987) — предельный случай рангово-зависимой полезности с линейной функцией полезности, в котором всё отклонение от ожидаемого значения отнесено к искажению вероятностей; занимает промежуточное положение между теорией ожидаемой полезности и кумулятивной теорией перспектив и вместе с моделью Квиггина образует аксиоматическую основу рангово-зависимого подхода, унаследованную CPT.
• Теория сожаления (Г. Лумс, Р. Сагден, 1982; Д. Белл, 1982) — предпочтения формулируются над парами альтернатив с учётом ощущения сожаления и радости, возникающих при сопоставлении фактического исхода с контрфактическим.
• Теория разочарования (Ф. Гуль, 1991) — предпочтения описываются через сравнение полученного исхода с его ожидаемой ценностью до розыгрыша; проигрыш по сравнению с ожиданием порождает избыточную негативную реакцию.
• Теория перспектив третьего поколения (англ. third-generation prospect theory; У. Шмидт, К. Стармер, Р. Сагден, 2008) — расширение кумулятивной теории на задачи со стохастической точкой отсчёта (англ. stochastic reference point), в которых роль точки отсчёта играет сама лотерея, а не детерминированная величина; это позволяет согласованно описывать обмен одной лотереи на другую, а не только выбор относительно текущего определённого состояния.
• Модели ограниченной рациональности и эвристического выбора — приоритетная эвристика Э. Брандштеттера, Г. Гигеренцера и Р. Хертвига (2006), лексикографические правила, эвристика «выбирай лучшее». Эти модели в ряде задач превосходят теорию перспектив по точности индивидуального прогноза, но не образуют единой аксиоматической системы.

Сравнительный обзор теорий не-ожидаемой полезности — К. Стармер «Developments in Non-Expected Utility Theory» (Journal of Economic Literature, 2000); систематическое учебное изложение кумулятивной теории перспектив и её обобщений — П. Ваккер (2010).

Приложения

Теория перспектив нашла систематическое применение в эмпирической экономике, финансах, маркетинге, публичной политике и медицинской социологии.

• Финансы. Эффект диспозиции (англ. disposition effect, Х. Шефрин, М. Стэтман, 1985; Т. Одиан, 1998) — склонность инвесторов дольше удерживать подешевевшие акции и раньше продавать подорожавшие — интерпретируется через избегание риска при выигрышах и поиск риска при потерях с ценой покупки в роли точки отсчёта. Загадка премии по акциям (англ. equity premium puzzle, Р. Мехра, Э. Прескотт, 1985) — устойчиво более высокая доходность акций по сравнению с облигациями, которая не объясняется разумной кривизной функции полезности в теории ожидаемой полезности, — получила объяснение через близорукое отвращение к потерям (англ. myopic loss aversion, Ш. Бенарци, Р. Талер, 1995): частая переоценка портфеля в сочетании с отвращением к потерям делает акции субъективно непривлекательными при любой фиксированной премии, не противоречащей наблюдаемым рыночным данным. Переоценка малых вероятностей объясняет также предпочтение скошенности (англ. skewness preferences) — готовность инвесторов платить премию за активы с положительно скошенным распределением доходности (лотерейные акции, внебиржевые опционы, отдельные классы деривативов); теоретическое обоснование в рамках кумулятивной теории перспектив дано Н. Барберисом и М. Хуаном («Stocks as Lotteries», American Economic Review, 2008). Параллельно развитая Р. Талером теория ментального учёта (англ. mental accounting, «Mental Accounting and Consumer Choice», Marketing Science, 1985; «Mental Accounting Matters», Journal of Behavioral Decision Making, 1999) применяет функцию ценности теории перспектив к отдельным «мысленным счетам», в которые агент разносит финансовые операции, и объясняет ряд наблюдаемых аномалий потребительского и инвестиционного поведения через эффекты сегрегации и интеграции исходов.
• Рынок жилья. Д. Дженезов и К. Майер («Loss Aversion and Seller Behavior», Quarterly Journal of Economics, 2001) на данных по Бостону начала 1990-х показали, что продавцы, купившие жильё по высокой цене в период пика, систематически завышают запрашиваемую цену и дольше держат объект на рынке; эффект количественно согласован с отвращением к потерям при цене покупки как точке отсчёта.
• Рынок труда. К. Камерер, Л. Бэбкок, Дж. Лёвенстайн, Р. Талер («Labor Supply of New York City Cabdrivers», Quarterly Journal of Economics, 1997) продемонстрировали, что таксисты Нью-Йорка при свободном графике работы завершают смену, достигнув дневной целевой суммы, — поведение, несовместимое с моделью межвременно́го замещения, но согласующееся с суточной точкой отсчёта и отвращением к потерям.
• Спорт. Д. Поуп и М. Швейцер («Is Tiger Woods Loss Averse?», American Economic Review, 2011) на выборке из более чем 2,5 миллиона ударов в турнирах PGA Tour показали, что профессиональные гольфисты точнее бьют на удар за номинал (par) — сохраняющий «не-потерю» — чем на удар за «birdie» (получение выигрыша), даже в ситуациях выравненного стимула. Эффект сохраняется у элитных игроков и при высоких ставках, что свидетельствует о глубокой поведенческой природе отвращения к потерям.
• Страхование и налоговое поведение. Переоценка малых вероятностей в сочетании с отвращением к потерям объясняет повышенный спрос на страхование от редких катастрофических событий и одновременно — готовность идти на риск уклонения от налогообложения при высокой вероятности штрафа (М. Аллингем, А. Сандмо, 1972, переинтерпретация в рамках теории перспектив — С. Дхами, А. аль-Новайхи, 2007).
• Медицина. Эффекты формулировки и отвращения к потерям влияют на решения о хирургическом и терапевтическом лечении при эквивалентных статистических прогнозах, на выбор в задачах вакцинации и скрининга (Б. Макнил и соавт., 1982 и последующие работы).
• Публичная политика. Программа «nudge» Р. Талера и К. Санстейна («Nudge: Improving Decisions about Health, Wealth, and Happiness», 2008) систематизирует прикладное использование эффектов теории перспектив — в первую очередь статус-кво и формулировки — для проектирования архитектуры выбора в пенсионных схемах, донорстве органов, энергоэффективности и политике здоровья. Соответствующие идеи легли в основу правительственных «behavioural insights teams» в Великобритании, США и ряде других стран.

Нейроэкономические основания

Начиная с середины 2000-х годов развёрнуто эмпирическое изучение нейронных коррелятов компонентов теории перспектив — самостоятельная линия исследований, образующая ядро предметной области нейроэкономики (англ. neuroeconomics). Программный обзор предметной области дан К. Камерером, Дж. Лёвенстайном и Д. Прелеком («Neuroeconomics: How Neuroscience Can Inform Economics», Journal of Economic Literature, 2005).

Б. Де Мартино, Д. Кумаран, Б. Сеймур, Р. Долан («Frames, Biases, and Rational Decision-Making in the Human Brain», Science, 2006) с помощью функциональной магнитно-резонансной томографии показали, что эффект формулировки сопровождается повышенной активностью миндалины, тогда как устойчивость выбора к формулировке коррелирует с активностью передней поясной коры и орбитофронтальной коры; это дало нейровизуализационную опору гипотезе о двух системах принятия решений, развитой Д. Канеманом в книге «Thinking, Fast and Slow» (2011).

С. Том, К. Фокс, К. Трепель, Р. Полдрак («The Neural Basis of Loss Aversion in Decision-Making under Risk», Science, 2007) в экспериментах со смешанными лотереями выявили у испытуемых «нейронное отвращение к потерям»: индивидуальная поведенческая оценка λ коррелирует с асимметрией реакции стриатума и вентромедиальной префронтальной коры на ожидание выигрышей и потерь одинаковой величины. В последующих работах нейрональный субстрат нелинейного взвешивания вероятностей описан М. Сюем, И. Крайбихом, Ч. Чжао, К. Камерером («Neural Response to Reward Anticipation under Risk Is Nonlinear in Probabilities», Journal of Neuroscience, 2009). Электрофизиологические исследования в приматологии (У. Штауффер, А. Лак, В. Шульц, «Dopamine Reward Prediction Error Responses Reflect Marginal Utility», Current Biology, 2014) показали, что дофаминергические нейроны среднего мозга кодируют ошибку предсказания награды не в линейной, а в вогнутой шкале, согласованной со свойствами функции ценности в области выигрышей.

Эти результаты не доказывают биологической «жёсткости» параметров теории перспектив, но поддерживают её статус как вычислительной модели, имеющей непосредственные физиологические корреляты, и интегрируют поведенческую экономику с когнитивной нейронаукой в рамках единой исследовательской программы.

Значение

Теория перспектив — одна из центральных дескриптивных теорий теории принятия решений и фундамент поведенческой экономики. Её систематическое изучение:

• сместило центр тяжести с нормативного описания выбора на дескриптивное, показав, что систематические отклонения от теории ожидаемой полезности имеют устойчивую структуру и поддаются количественному описанию;
• закрепило в теоретическом словаре точку отсчёта, отвращение к потерям, взвешивание вероятностей и четырёхкратный паттерн отношения к риску как самостоятельные исследовательские категории, используемые в экономике, психологии, финансах и политологии;
• дало единое объяснение серии ранее разрозненных аномалий — парадокса Алле, эффекта диспозиции, загадки премии по акциям, эффекта обладания, эффекта формулировки, устойчивого спроса на лотереи и страхование;
• стимулировало появление широкого семейства моделей не-ожидаемой полезности (рангово-зависимая полезность, сожаление, разочарование, эндогенные точки отсчёта) и обогатило прикладной аппарат экономической политики за счёт программы nudge;
• обеспечило точку схождения экспериментальной экономики, поведенческих финансов и когнитивной нейронауки, образовавшее самостоятельную предметную область нейроэкономики со своей исследовательской инфраструктурой.

В более широкой когнитивной перспективе Канеман связал механизмы, лежащие в основе теории перспектив, с двухсистемной моделью мышления: быстрая, автоматическая и ассоциативная Система 1 отвечает за немедленное кодирование исходов как выигрышей или потерь относительно точки отсчёта, переоценку крайних вероятностей и формирование модальных предпочтений, тогда как медленная, контролируемая и ресурсоёмкая Система 2 способна при необходимости корректировать интуитивные оценки и приближать выбор к нормативному стандарту; таким образом, S-образная функция ценности и нелинейное взвешивание вероятностей получают естественную интерпретацию как систематические продукты работы Системы 1, а не случайные отклонения от рациональности.

Ретроспективный обзор тридцатилетней истории теории — Н. Барберис («Thirty Years of Prospect Theory in Economics», Journal of Economic Perspectives, 2013); систематическая монография с охватом кумулятивной версии и её распространений на неоднозначность — П. Ваккер (2010). Общедоступное изложение содержательных идей Канеманом, включая явную связь с архитектурой двух систем, дано в книге «Thinking, Fast and Slow» (2011).

См. также

• Парадокс Алле
• Парадокс Эллсберга
• Теория принятия решений
• Выбор
• Риск

Литература

• Neumann J. von, Morgenstern O. Theory of Games and Economic Behavior. — Princeton: Princeton University Press, 1944.
• Mosteller F., Nogee P. An Experimental Measurement of Utility // Journal of Political Economy. — 1951. — Vol. 59, № 5. — P. 371—404.
• Markowitz H. The Utility of Wealth // Journal of Political Economy. — 1952. — Vol. 60, № 2. — P. 151—158.
• Allais M. Le comportement de l'homme rationnel devant le risque: critique des postulats et axiomes de l'école américaine // Econometrica. — 1953. — Vol. 21, № 4. — P. 503—546.
• Savage L. J. The Foundations of Statistics. — New York: Wiley, 1954.
• Simon H. A. A Behavioral Model of Rational Choice // Quarterly Journal of Economics. — 1955. — Vol. 69, № 1. — P. 99—118.
• Ellsberg D. Risk, Ambiguity, and the Savage Axioms // Quarterly Journal of Economics. — 1961. — Vol. 75, № 4. — P. 643—669.
• Allingham M. G., Sandmo A. Income Tax Evasion: A Theoretical Analysis // Journal of Public Economics. — 1972. — Vol. 1, № 3—4. — P. 323—338.
• Tversky A., Kahneman D. Judgment under Uncertainty: Heuristics and Biases // Science. — 1974. — Vol. 185, № 4157. — P. 1124—1131.
• Kahneman D., Tversky A. Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk // Econometrica. — 1979. — Vol. 47, № 2. — P. 263—291.
• Thaler R. Toward a Positive Theory of Consumer Choice // Journal of Economic Behavior & Organization. — 1980. — Vol. 1, № 1. — P. 39—60.
• Tversky A., Kahneman D. The Framing of Decisions and the Psychology of Choice // Science. — 1981. — Vol. 211, № 4481. — P. 453—458.
• Bell D. E. Regret in Decision Making under Uncertainty // Operations Research. — 1982. — Vol. 30, № 5. — P. 961—981.
• Loomes G., Sugden R. Regret Theory: An Alternative Theory of Rational Choice under Uncertainty // Economic Journal. — 1982. — Vol. 92, № 368. — P. 805—824.
• McNeil B. J., Pauker S. G., Sox H. C., Tversky A. On the Elicitation of Preferences for Alternative Therapies // New England Journal of Medicine. — 1982. — Vol. 306, № 21. — P. 1259—1262.
• Quiggin J. A Theory of Anticipated Utility // Journal of Economic Behavior & Organization. — 1982. — Vol. 3, № 4. — P. 323—343.
• Mehra R., Prescott E. C. The Equity Premium: A Puzzle // Journal of Monetary Economics. — 1985. — Vol. 15, № 2. — P. 145—161.
• Shefrin H., Statman M. The Disposition to Sell Winners Too Early and Ride Losers Too Long: Theory and Evidence // Journal of Finance. — 1985. — Vol. 40, № 3. — P. 777—790.
• Thaler R. H. Mental Accounting and Consumer Choice // Marketing Science. — 1985. — Vol. 4, № 3. — P. 199—214.
• Yaari M. E. The Dual Theory of Choice under Risk // Econometrica. — 1987. — Vol. 55, № 1. — P. 95—115.
• Samuelson W., Zeckhauser R. Status Quo Bias in Decision Making // Journal of Risk and Uncertainty. — 1988. — Vol. 1, № 1. — P. 7—59.
• Knetsch J. L. The Endowment Effect and Evidence of Nonreversible Indifference Curves // American Economic Review. — 1989. — Vol. 79, № 5. — P. 1277—1284.
• Kahneman D., Knetsch J. L., Thaler R. H. Experimental Tests of the Endowment Effect and the Coase Theorem // Journal of Political Economy. — 1990. — Vol. 98, № 6. — P. 1325—1348.
• Gul F. A Theory of Disappointment Aversion // Econometrica. — 1991. — Vol. 59, № 3. — P. 667—686.
• Kahneman D., Knetsch J. L., Thaler R. H. Anomalies: The Endowment Effect, Loss Aversion, and Status Quo Bias // Journal of Economic Perspectives. — 1991. — Vol. 5, № 1. — P. 193—206.
• Tversky A., Kahneman D. Loss Aversion in Riskless Choice: A Reference-Dependent Model // Quarterly Journal of Economics. — 1991. — Vol. 106, № 4. — P. 1039—1061.
• Tversky A., Kahneman D. Advances in Prospect Theory: Cumulative Representation of Uncertainty // Journal of Risk and Uncertainty. — 1992. — Vol. 5, № 4. — P. 297—323.
• Benartzi S., Thaler R. H. Myopic Loss Aversion and the Equity Premium Puzzle // Quarterly Journal of Economics. — 1995. — Vol. 110, № 1. — P. 73—92.
• Camerer C. F., Babcock L., Loewenstein G., Thaler R. Labor Supply of New York City Cabdrivers: One Day at a Time // Quarterly Journal of Economics. — 1997. — Vol. 112, № 2. — P. 407—441.
• Odean T. Are Investors Reluctant to Realize Their Losses? // Journal of Finance. — 1998. — Vol. 53, № 5. — P. 1775—1798.
• Prelec D. The Probability Weighting Function // Econometrica. — 1998. — Vol. 66, № 3. — P. 497—527.
• Thaler R. H. Mental Accounting Matters // Journal of Behavioral Decision Making. — 1999. — Vol. 12, № 3. — P. 183—206.
• Abdellaoui M. Parameter-Free Elicitation of Utility and Probability Weighting Functions // Management Science. — 2000. — Vol. 46, № 11. — P. 1497—1512.
• Bleichrodt H., Pinto J. L. A Parameter-Free Elicitation of the Probability Weighting Function in Medical Decision Analysis // Management Science. — 2000. — Vol. 46, № 11. — P. 1485—1496.
• Rabin M. Risk Aversion and Expected-Utility Theory: A Calibration Theorem // Econometrica. — 2000. — Vol. 68, № 5. — P. 1281—1292.
• Starmer C. Developments in Non-Expected Utility Theory: The Hunt for a Descriptive Theory of Choice under Risk // Journal of Economic Literature. — 2000. — Vol. 38, № 2. — P. 332—382.
• Genesove D., Mayer C. Loss Aversion and Seller Behavior: Evidence from the Housing Market // Quarterly Journal of Economics. — 2001. — Vol. 116, № 4. — P. 1233—1260.
• Kahneman D. Maps of Bounded Rationality: Psychology for Behavioral Economics // American Economic Review. — 2003. — Vol. 93, № 5. — P. 1449—1475.
• List J. A. Does Market Experience Eliminate Market Anomalies? // Quarterly Journal of Economics. — 2003. — Vol. 118, № 1. — P. 41—71.
• Hertwig R., Barron G., Weber E. U., Erev I. Decisions from Experience and the Effect of Rare Events in Risky Choice // Psychological Science. — 2004. — Vol. 15, № 8. — P. 534—539.
• List J. A. Neoclassical Theory versus Prospect Theory: Evidence from the Marketplace // Econometrica. — 2004. — Vol. 72, № 2. — P. 615—625.
• Camerer C. F., Loewenstein G., Prelec D. Neuroeconomics: How Neuroscience Can Inform Economics // Journal of Economic Literature. — 2005. — Vol. 43, № 1. — P. 9—64.
• Brandstätter E., Gigerenzer G., Hertwig R. The Priority Heuristic: Making Choices without Trade-Offs // Psychological Review. — 2006. — Vol. 113, № 2. — P. 409—432.
• De Martino B., Kumaran D., Seymour B., Dolan R. J. Frames, Biases, and Rational Decision-Making in the Human Brain // Science. — 2006. — Vol. 313, № 5787. — P. 684—687.
• Kőszegi B., Rabin M. A Model of Reference-Dependent Preferences // Quarterly Journal of Economics. — 2006. — Vol. 121, № 4. — P. 1133—1165.
• Abdellaoui M., Bleichrodt H., Paraschiv C. Loss Aversion under Prospect Theory: A Parameter-Free Measurement // Management Science. — 2007. — Vol. 53, № 10. — P. 1659—1674.
• Dhami S., al-Nowaihi A. Why Do People Pay Taxes? Prospect Theory versus Expected Utility Theory // Journal of Economic Behavior & Organization. — 2007. — Vol. 64, № 1. — P. 171—192.
• Tom S. M., Fox C. R., Trepel C., Poldrack R. A. The Neural Basis of Loss Aversion in Decision-Making under Risk // Science. — 2007. — Vol. 315, № 5811. — P. 515—518.
• Barberis N., Huang M. Stocks as Lotteries: The Implications of Probability Weighting for Security Prices // American Economic Review. — 2008. — Vol. 98, № 5. — P. 2066—2100.
• Schmidt U., Starmer C., Sugden R. Third-Generation Prospect Theory // Journal of Risk and Uncertainty. — 2008. — Vol. 36, № 3. — P. 203—223.
• Thaler R. H., Sunstein C. R. Nudge: Improving Decisions about Health, Wealth, and Happiness. — New Haven: Yale University Press, 2008.
• Hsu M., Krajbich I., Zhao C., Camerer C. F. Neural Response to Reward Anticipation under Risk Is Nonlinear in Probabilities // Journal of Neuroscience. — 2009. — Vol. 29, № 7. — P. 2231—2237.
• Wakker P. P. Prospect Theory: For Risk and Ambiguity. — Cambridge: Cambridge University Press, 2010.
• Kahneman D. Thinking, Fast and Slow. — New York: Farrar, Straus and Giroux, 2011.
• Abdellaoui M., Baillon A., Placido L., Wakker P. P. The Rich Domain of Uncertainty: Source Functions and Their Experimental Implementation // American Economic Review. — 2011. — Vol. 101, № 2. — P. 695—723.
• Pope D. G., Schweitzer M. E. Is Tiger Woods Loss Averse? Persistent Bias in the Face of Experience, Competition, and High Stakes // American Economic Review. — 2011. — Vol. 101, № 1. — P. 129—157.
• Barberis N. C. Thirty Years of Prospect Theory in Economics: A Review and Assessment // Journal of Economic Perspectives. — 2013. — Vol. 27, № 1. — P. 173—196.
• Stauffer W. R., Lak A., Schultz W. Dopamine Reward Prediction Error Responses Reflect Marginal Utility // Current Biology. — 2014. — Vol. 24, № 21. — P. 2491—2500.
• Kocher M. G., Lahno A. M., Trautmann S. T. Ambiguity Aversion Is Not Universal // European Economic Review. — 2018. — Vol. 101. — P. 268—283.
• Ruggeri K. et al. Replicating Patterns of Prospect Theory for Decision under Risk // Nature Human Behaviour. — 2020. — Vol. 4. — P. 622—633.
• Wakker P. P. The Correct Formula of 1979 Prospect Theory for Multiple Outcomes // Theory and Decision. — 2023. — Vol. 94, № 2. — P. 183—187.
• Brown A. L., Imai T., Vieider F. M., Camerer C. F. Meta-analysis of Empirical Estimates of Loss Aversion // Journal of Economic Literature. — 2024. — Vol. 62, № 2. — P. 485—516.
• Walasek L., Mullett T. L., Stewart N. A Meta-analysis of Loss Aversion in Risky Contexts // Journal of Economic Psychology. — 2024. — Vol. 103. — Art. 102740.
• Yechiam E., Zeif D. Loss Aversion Is Not Robust: A Re-meta-analysis // Journal of Economic Psychology. — 2025. — Vol. 107. — Art. 102801.