Modelos de Pesquisa Operacional

Modelos de Pesquisa Operacional

A Pesquisa Operacional (PO) utiliza modelos para analisar e resolver problemas de gestão e tomada de decisão. Um modelo em PO é uma representação simplificada e formalizada de uma operação ou sistema real, destinada a estudar seu comportamento e encontrar as melhores soluções.

Para aplicar métodos quantitativos de pesquisa, é necessário construir um modelo matemático da operação. Ao construir um modelo, a operação, como regra, é simplificada, esquematizada, e esse esquema é descrito usando um determinado aparato matemático. O modelo de uma operação é uma descrição suficientemente precisa da operação por meio de um aparato matemático (diversos tipos de funções, equações, sistemas de equações e inequações). A eficácia de uma operação é definida como o grau de sua adequação para cumprir a tarefa.

Formulação Geral do Problema e Estrutura do Modelo em PO

Em pesquisa operacional, uma situação gerencial inclui objetivos e decisões. As decisões são tomadas para alcançar os objetivos. A situação gerencial é descrita por um modelo.

O modelo contém um indicador explícito de eficácia, pelo qual se determina o quão próxima a solução está do objetivo. Esse indicador depende de fatores que influenciam a operação. Todos os fatores incluídos na descrição da operação podem ser divididos em dois grupos:

• Fatores não controláveis (constantes): Condições externas ou parâmetros do sistema que o tomador de decisão não pode influenciar (por exemplo, demanda de mercado, preços de matérias-primas, clima).
• Fatores controláveis (gerenciáveis): Parâmetros da operação cujos valores o tomador de decisão pode escolher e alterar (por exemplo, volume de produção, rota de entrega, alocação de recursos). Esses fatores também são chamados de variáveis de decisão.

Conceitualmente, um modelo de PO pode ser representado como uma "caixa-preta", onde a atenção principal é dada à definição de entradas e saídas:

• Entradas: Variáveis (fatores) controláveis e não controláveis.
• Modelo: O aparato matemático (funções, equações, inequações) que descreve as inter-relações entre entradas e saídas.
• Saída: O critério de eficácia (função objetivo).

O critério de eficácia, expresso por alguma função, é chamado de função objetivo. A Função objetivo é um indicador de eficácia matematicamente formulado (formalizado) que precisa ser maximizado ou minimizado.

Definição Matemática do Modelo

Por modelo matemático em PO entende-se qualquer operador que permita, a partir dos valores correspondentes dos parâmetros de entrada, estabelecer os valores de saída dos parâmetros do objeto de modelagem dentro do conjunto de valores admissíveis dos parâmetros de entrada e de saída para o objeto modelado.

Modelo Matemático Típico de PO

A maioria dos problemas de PO se resume à otimização e é formulada na forma do seguinte modelo matemático:

Maximizar (ou minimizar) a função objetivo sujeita ao cumprimento das restrições.

• Função objetivo: Expressa quantitativamente o critério pelo qual a solução é avaliada (por exemplo, lucro, custos, tempo). A escolha da função objetivo é o momento central e de maior responsabilidade da pesquisa. É melhor encontrar uma solução não ótima com um critério corretamente escolhido do que uma solução ótima com um critério incorreto.
• Restrições: Expressões matemáticas (na forma de igualdades ou desigualdades) que as variáveis do modelo devem satisfazer. Elas refletem limites reais de recursos, requisitos tecnológicos, metas de planejamento e outras condições. As Restrições restringem o conjunto de soluções possíveis.

Soluções em Modelos de PO

• Solução viável: Qualquer conjunto de valores das variáveis que satisfaz todas as restrições do modelo. O conjunto de todas as soluções viáveis forma a região viável (RV). Pode haver um número infinito de tais soluções.
• Solução ótima: Uma solução viável na qual a Função objetivo atinge seu valor extremo (máximo ou mínimo). A solução ótima (se existir) está sempre na RV.
  • Em alguns casos, a solução ótima pode não existir (por exemplo, se a RV for vazia ou se a Função objetivo não for limitada na RV).
  • Uma solução ótima é aquela que, segundo um critério de otimização definido, é preferível às outras.
  • A otimalidade é sempre relativa a um critério ("ótimo em relação a...").

Classificação dos Modelos de Pesquisa Operacional

Os modelos de PO podem ser classificados de acordo com vários critérios, em particular, pelo aparato matemático utilizado e pelo tipo de problema:

Por estrutura matemática

• Modelos de programação linear (PL): A Função objetivo e todas as restrições são funções lineares das variáveis.
• Modelos de PL inteira: Parte ou todas as variáveis devem assumir valores inteiros.

• Modelos de programação não linear (PNL): A Função objetivo e/ou as restrições são funções não lineares.
• Modelos de programação convexa: Um caso particular da PNL, onde a Função objetivo é minimizada (ou uma função côncava é maximizada), e a RV é um conjunto convexo.

• Modelos de programação dinâmica (PD): Utilizados para problemas onde a decisão é tomada em etapas ao longo do tempo, e o critério de otimalidade é expresso por relações de recorrência.
• Modelos heurísticos: Aplicados quando encontrar o ótimo exato é impossível devido à alta complexidade computacional. Utilizam-se métodos heurísticos para encontrar uma solução "suficientemente boa".

Por problemas típicos de PO

• Problemas de planejamento e gestão de redes: Otimização de prazos e custos de execução de conjuntos de trabalhos (por exemplo, o método do caminho crítico).
• Problemas de serviço em massa (Teoria das filas): Análise e otimização de sistemas com filas (determinação do número de canais de serviço, tempo de serviço).
• Problemas de gestão de estoques: Determinação de níveis de estoque e tamanhos de pedidos ótimos para minimizar custos enquanto se satisfaz a demanda.
• Problemas de alocação de recursos: Atribuição ótima de recursos limitados entre operações ou tipos de atividades concorrentes.
• Problemas de reparo e substituição de equipamentos: Determinação dos momentos ótimos para reparar ou substituir equipamentos, considerando o desgaste e o envelhecimento.
• Modelos de teoria dos jogos: Análise de situações de conflito com múltiplas partes que perseguem objetivos diferentes, e a busca por estratégias ótimas.

Literatura

• Ventzel E. S. Pesquisa operacional: problemas, princípios, metodologia. — M.: Nauka, 1988.
• Ackoff R., Sasieni M. Fundamentos da pesquisa operacional. — M.: Mir, 1971.
• Taha, Hamdy A. Operations Research: An Introduction. — Pearson. (10th ed., 2017)

Ver também

• Pesquisa operacional
• Modelo matemático
• Otimização
• Função objetivo
• Restrições
• Solução viável
• Solução ótima
• Programação linear
• Programação dinâmica
• Teoria das filas
• Teoria dos jogos
• Modelagem de simulação
• Análise de sistemas