Solução ótima

Solução ótima — em pesquisa operacional, otimização e teoria da decisão, é uma solução viável (ou seja, que satisfaz todas as restrições do problema) que proporciona um valor extremo (máximo ou mínimo, dependendo da formulação do problema) para a função objetivo.

A busca pela solução ótima é o principal objetivo da resolução da maioria dos problemas de otimização.

Essência e características

A solução ótima possui duas características principais:

1. Viabilidade: Ela deve satisfazer todas as restrições impostas às variáveis do modelo. Em outras palavras, a solução ótima sempre pertence à região de soluções viáveis (RSV). 2. Extremalidade em relação à função objetivo: Dentre todas as soluções viáveis, ela proporciona o melhor valor (máximo ou mínimo) para a função objetivo, que formaliza o critério de otimalidade.

Nem toda solução viável é ótima, mas toda solução ótima deve ser, obrigatoriamente, viável.

Relação com a região de soluções viáveis

A região de soluções viáveis (RSV) representa o conjunto de todas as alternativas (conjuntos de valores para as variáveis) que satisfazem as restrições do problema. A solução ótima é um ponto (ou pontos) nessa região onde a função objetivo atinge seu extremo. Se a RSV for vazia, o problema não possui soluções viáveis e, consequentemente, nenhuma solução ótima.

Papel da função objetivo e das restrições

• As Restrições definem o conjunto de soluções possíveis (a RSV).
• A Função objetivo determina qual dessas soluções possíveis é a melhor (ótima).

Sem uma função objetivo, é impossível determinar qual das soluções viáveis é a ótima. Sem restrições, o problema pode ser trivial ou não ter uma solução ótima finita (por exemplo, a maximização de uma função linear sem restrições).

Unicidade da solução ótima

A solução ótima nem sempre é única. Em alguns problemas (por exemplo, na programação linear, se a função objetivo for paralela a uma das restrições ativas), pode existir um número infinito de soluções ótimas, todas com o mesmo valor da função objetivo. No entanto, o valor da função objetivo no ponto (ou pontos) ótimo é sempre único (se um ótimo existir).

Métodos de obtenção

Para encontrar soluções ótimas em pesquisa operacional, são utilizados diversos métodos matemáticos, dependendo do tipo de modelo:

• Método simplex (para programação linear)
• Métodos de descida de gradiente e outros métodos numéricos (para programação não linear)
• Método de ramificação e delimitação, métodos de planos de corte (para programação inteira)
• Métodos de programação dinâmica

Dependência do modelo

É importante entender que uma solução é ótima apenas no contexto do modelo matemático adotado. Se o modelo não reflete adequadamente a situação real (a função objetivo foi mal escolhida, restrições ou dependências importantes não foram consideradas), então a solução ótima encontrada formalmente pode se revelar ineficaz ou até mesmo errada na prática.

Otimalidade em problemas multicritério

Em problemas com múltiplas funções objetivo (Otimização multicritério), o conceito de uma única solução ótima é frequentemente substituído pelo conceito de otimalidade de Pareto. Uma solução ótimo-Pareto é uma solução viável para a qual é impossível melhorar o valor de uma função objetivo sem piorar o valor de pelo menos uma outra.

Literatura

• Ventsel, E. S. Pesquisa Operacional: tarefas, princípios, metodologia. — Moscou: Nauka, 1988.
• Taha, Hamdy A. Operations Research: An Introduction. — Pearson. (10th ed., 2017)
• Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introduction to Operations Research. — McGraw-Hill Education. (11th ed., 2021)

Ver também

• Pesquisa operacional
• Otimização
• Modelo matemático
• Função objetivo
• Restrições
• Região viável
• Solução viável
• Critério
• Teoria da decisão
• Otimização multicritério
• Otimalidade de Pareto
• Extremo