Модели исследования операций
Модели исследования операций
Исследование операций (ИО) использует модели для анализа и решения задач управления и принятия решений. Модель в ИО — это упрощенное, формализованное представление реальной операции или системы, предназначенное для изучения её поведения и поиска наилучших решений.
Для применения количественных методов исследования требуется построить математическую модель операции. При построении модели операция, как правило, упрощается, схематизируется, и эта схема описывается с помощью того или иного математического аппарата. Модель операции — это достаточно точное описание операции с помощью математического аппарата (различного рода функций, уравнений, систем уравнений и неравенств). Эффективность операции определяется как степень ее приспособленности к выполнению задачи.
Общая постановка задачи и структура модели в ИО
В исследовании операций, управленческая ситуация включает в себя цели и решения. Решения принимаются для достижения цели. Управленческая ситуация описывается моделью.
Модель содержит явный показатель эффективности, по которому определяют, насколько решение близко к цели. Этот показатель зависит от факторов, которые влияют на операцию. Все факторы, входящие в описание операции, можно разделить на две группы:
- Неконтролируемые (постоянные) факторы: Внешние условия или параметры системы, на которые ЛПР повлиять не может (например, рыночный спрос, цены на сырье, погода).
- Контролируемые (управляемые) факторы: Параметры операции, значения которых ЛПР может выбирать и изменять (например, объем производства, маршрут доставки, распределение ресурсов). Эти факторы также называют переменными решения.
Концептуально модель ИО можно представить в виде «чёрного ящика», где основное внимание уделяется определению входов и выходов:
- Входы: Контролируемые и неконтролируемые переменные (факторы).
- Модель: Математический аппарат (функции, уравнения, неравенства), описывающий взаимосвязи между входами и выходами.
- Выход: Критерий эффективности (Целевая функция).
Критерий эффективности, выражаемый некоторой функцией, называют целевой функцией. Целевая функция — это математически сформулированный (формализованный) показатель эффективности, который нужно максимизировать или минимизировать.
Математическое определение модели
Под математической моделью в ИО понимается любой оператор, позволяющий по соответствующим значениям входных параметров устанавливать выходные значения параметров объекта моделирования в пределах множества допустимых значений входных и выходных параметров для моделируемого объекта.
Типовая математическая модель ИО
Большинство задач ИО сводится к оптимизации и формулируется в виде следующей математической модели:
Максимизировать (или минимизировать) целевую функцию при условии выполнения ограничений.
- Целевая функция: Количественно выражает критерий, по которому оценивается решение (например, прибыль, затраты, время). Выбор целевой функции — центральный, ответственный момент исследования. Лучше найти не оптимальное решение при правильно выбранном критерии, чем оптимальное решение при неправильном.
- Ограничения: Математические выражения (в форме равенств или неравенств), которым должны удовлетворять переменные модели. Они отражают реальные лимиты ресурсов, технологические требования, плановые задания и другие условия. Ограничения сужают множество возможных решений.
Решения в моделях ИО
- Допустимое решение: Любой набор значений переменных, который удовлетворяет всем ограничениям модели. Множество всех допустимых решений образует область допустимых решений (ОДР). Таких решений может быть бесконечно много.
- Оптимальное решение: Допустимое решение, при котором Целевая функция достигает своего экстремального (максимального или минимального) значения. Оптимальное решение (если оно существует) всегда находится в ОДР.
- В некоторых случаях оптимального решения может не существовать (например, если ОДР пуста или Целевая функция не ограничена на ОДР).
- Оптимальным называется решение, которое по заданному критерию оптимизации предпочтительнее других.
- Оптимальность всегда относительна к критерию ("оптимальный по...").
Классификация моделей исследования операций
Модели ИО можно классифицировать по различным признакам, в частности, по применяемому математическому аппарату и типу задачи:
По математической структуре
- Модели линейного программирования (ЛП): Целевая функция и все ограничения являются линейными функциями от переменных.
- Модели целочисленного ЛП: Часть или все переменные должны принимать целые значения.
- Модели нелинейного программирования (НЛП): Целевая функция и/или ограничения являются нелинейными функциями.
- Модели выпуклого программирования: Частный случай НЛП, где Целевая функция минимизируется (или максимизируется вогнутая), а ОДР является выпуклым множеством.
- Модели динамического программирования (ДП): Используются для задач, где решение принимается поэтапно во времени, и критерий оптимальности выражается через рекуррентные соотношения.
- Эвристические модели: Применяются, когда нахождение точного оптимума невозможно из-за большой вычислительной сложности. Используются эвристические методы для поиска "достаточно хорошего" решения.
По типовым задачам ИО
- Задачи сетевого планирования и управления: Оптимизация сроков и стоимости выполнения комплексов работ (например, метод критического пути).
- Задачи массового обслуживания (Теория очередей): Анализ и оптимизация систем с очередями (определение числа каналов обслуживания, времени обслуживания).
- Задачи управления запасами: Определение оптимальных уровней запасов и размеров заказов для минимизации затрат при удовлетворении спроса.
- Задачи распределения ресурсов: Оптимальное назначение ограниченных ресурсов между конкурирующими операциями или видами деятельности.
- Задачи ремонта и замены оборудования: Определение оптимальных моментов для ремонта или замены оборудования с учетом износа и старения.
- Модели теории игр: Анализ конфликтных ситуаций с несколькими сторонами, преследующими разные цели, и поиск оптимальных стратегий.
Литература
- Вентцель Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. — М.: Наука, 1988.
- Акоф Р., Сасиени М. Основы исследования операций. — М.: Мир, 1971.
- Taha, Hamdy A. Operations Research: An Introduction. — Pearson. (10th ed., 2017)