Região de Soluções Viáveis

Região de Soluções Viáveis (RSV) (também conjunto de soluções viáveis, em inglês Feasible region, feasible set) — em pesquisa operacional, otimização e modelagem matemática, é o conjunto de todas as soluções possíveis (conjuntos de valores de variáveis) que satisfazem a todas as restrições impostas ao problema.

A RSV representa o subespaço no qual a busca pela solução ótima é realizada. Qualquer solução que esteja fora desta região é considerada inviável.

Definição e Formação

A região de soluções viáveis é formada pela interseção dos conjuntos definidos por cada uma das restrições do problema. As Restrições podem ser representadas como:

• Desigualdades: Estabelecem limites superiores ou inferiores para os valores das variáveis ou suas combinações (por exemplo, "o consumo do recurso A não deve exceder 100 unidades", "a quantidade de produtos fabricados deve ser no mínimo 50 unidades").
• Igualdades: Exigem o cumprimento exato de uma condição (por exemplo, "o volume total de transporte deve ser igual a 1000 toneladas", "o balanço dos fluxos de entrada e saída é igual a zero").
• Condições sobre os sinais das variáveis: Frequentemente, as variáveis devem ser não negativas, inteiras ou pertencer a um determinado conjunto discreto.

Um ponto (ou vetor de valores de variáveis) pertence à RSV se, e somente se, satisfizer simultaneamente a todas essas restrições.

Interpretação Geométrica

A RSV frequentemente possui uma interpretação geométrica clara, especialmente em problemas com um pequeno número de variáveis:

• No espaço bidimensional (2 variáveis): Cada restrição linear de desigualdade define um semiplano. A RSV representa a interseção desses semiplanos — um polígono convexo (possivelmente ilimitado ou vazio).
• No espaço tridimensional (3 variáveis): Cada restrição linear de desigualdade define um semiespaço. A RSV é a interseção desses semiespaços — um poliedro convexo.
• No espaço multidimensional: A RSV, definida por restrições lineares, é um poliedro convexo (politopo).

No caso de restrições não lineares, a RSV pode ter uma forma mais complexa e não ser convexa.

Papel na Otimização

A região de soluções viáveis desempenha um papel fundamental na otimização:

1. Definição do espaço de busca: A solução ótima de um problema (se existir) está sempre localizada dentro da RSV ou em sua fronteira. Os algoritmos de otimização buscam o extremo da função objetivo exatamente nesta região. 2. Verificação da existência de soluções: Se a RSV for um conjunto vazio (ou seja, as restrições são contraditórias), o problema não possui soluções viáveis e, consequentemente, nenhuma solução ótima. 3. Influência na solução ótima: A forma e o tamanho da RSV influenciam diretamente a possibilidade de se atingir um extremo da função objetivo e o valor desse extremo.

Propriedades da RSV (em problemas de programação linear)

Em problemas de programação linear (PL), onde todas as restrições e a função objetivo são lineares, a RSV possui propriedades importantes:

• Convexidade: Se dois pontos pertencem à RSV, todo o segmento de reta que os conecta também pertence à RSV. Essa propriedade garante que a solução ótima (se existir e for única) estará em um dos vértices do poliedro da RSV.
• Fechamento: A RSV inclui suas fronteiras (devido às desigualdades não estritas ≤, ≥ e igualdades).

A RSV pode ser:

• Limitada: Possui dimensões finitas.
• Ilimitada: Estende-se infinitamente em uma ou mais direções.
• Vazia: Não contém nenhum ponto.

Referências

• Вентцель Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. — М.: Наука, 1988.
• Акоф Р., Сасиени М. Основы исследования операций. — М.: Мир, 1971.
• Taha, Hamdy A. Operations Research: An Introduction. — Pearson. (10th ed., 2017)
• Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introduction to Operations Research. — McGraw-Hill Education. (11th ed., 2021)

Ver também

• Pesquisa operacional
• Otimização
• Modelo matemático
• Restrições
• Solução viável
• Solução ótima
• Função objetivo
• Programação linear
• Conjunto convexo