Optimale Lösung

Eine optimale Lösung ist im Operations Research, der Optimierung und der Entscheidungstheorie eine zulässige Lösung (d. h. eine Lösung, die alle Restriktionen des Problems erfüllt), die einen extremalen (maximalen oder minimalen, je nach Problemstellung) Wert der Zielfunktion liefert.

Die Suche nach einer optimalen Lösung ist das Hauptziel bei der Lösung der meisten Optimierungsprobleme.

Wesen und Merkmale

Eine optimale Lösung hat zwei wesentliche Merkmale:

1. Zulässigkeit: Sie muss alle Restriktionen erfüllen, die den Variablen des Modells auferlegt sind. Mit anderen Worten, eine optimale Lösung liegt immer im zulässigen Bereich. 2. Optimalität bezüglich der Zielfunktion: Unter allen zulässigen Lösungen liefert sie den besten (maximalen oder minimalen) Wert der Zielfunktion, welche das Optimalitätskriterium formalisiert.

Nicht jede zulässige Lösung ist optimal, aber jede optimale Lösung muss zwingend zulässig sein.

Beziehung zum zulässigen Bereich

Der zulässige Bereich stellt die Menge aller Alternativen (Kombinationen von Variablenwerten) dar, die die Restriktionen des Problems erfüllen. Die optimale Lösung ist ein Punkt (oder mehrere Punkte) in diesem Bereich, an dem die Zielfunktion ihren Extremwert erreicht. Wenn der zulässige Bereich leer ist, hat das Problem keine zulässigen und somit auch keine optimalen Lösungen.

Rolle von Zielfunktion und Restriktionen

• Die Restriktionen definieren die Menge der möglichen Lösungen (den zulässigen Bereich).
• Die Zielfunktion bestimmt, welche dieser möglichen Lösungen die beste (optimale) ist.

Ohne Zielfunktion ist es unmöglich zu bestimmen, welche der zulässigen Lösungen optimal ist. Ohne Restriktionen kann das Problem trivial sein oder keine endliche optimale Lösung besitzen (z. B. bei der Maximierung einer linearen Funktion ohne Nebenbedingungen).

Eindeutigkeit der optimalen Lösung

Die optimale Lösung ist nicht immer eindeutig. Bei einigen Problemen (z. B. in der linearen Programmierung, wenn die Zielfunktion parallel zu einer der aktiven Restriktionen verläuft) kann es eine unendliche Anzahl optimaler Lösungen geben, die alle denselben Wert der Zielfunktion aufweisen. Der Wert der Zielfunktion im Optimum ist jedoch immer eindeutig (sofern ein Optimum existiert).

Methoden zur Lösungsfindung

Zur Suche nach optimalen Lösungen werden im Operations Research verschiedene mathematische Methoden verwendet, abhängig von der Art des Modells:

• Simplex-Verfahren (für die lineare Programmierung)
• Methoden des Gradientenabstiegs und andere numerische Methoden (für die nichtlineare Programmierung)
• Branch-and-Bound, Schnittebenenverfahren (für die ganzzahlige Programmierung)
• Methoden der dynamischen Programmierung

Abhängigkeit vom Modell

Es ist wichtig zu verstehen, dass eine Lösung nur im Rahmen des gewählten mathematischen Modells optimal ist. Wenn das Modell die reale Situation unzureichend abbildet (z. B. durch eine falsch gewählte Zielfunktion oder die Nichtberücksichtigung wichtiger Restriktionen oder Abhängigkeiten), kann sich die formal gefundene optimale Lösung in der Praxis als ineffektiv oder sogar falsch erweisen.

Optimalität bei multikriteriellen Problemen

Bei Problemen mit mehreren Zielfunktionen (Multikriterielle Optimierung) wird der Begriff einer einzigen optimalen Lösung oft durch das Konzept der Pareto-Optimalität ersetzt. Eine Pareto-optimale Lösung ist eine zulässige Lösung, bei der es nicht möglich ist, den Wert einer Zielfunktion zu verbessern, ohne den Wert mindestens einer anderen zu verschlechtern.

Siehe auch

• Operations Research
• Optimierung
• Mathematisches Modell
• Zielfunktion
• Restriktionen
• Zulässiger Bereich
• Zulässige Lösung
• Kriterium
• Entscheidungstheorie
• Multikriterielle Optimierung
• Pareto-Optimalität
• Extremwert

Literatur

• Wentzel, E. S. Issledowanije operazij: sadatschi, prinzipy, metodologija. — Moskau: Nauka, 1988.
• Taha, Hamdy A. Operations Research: An Introduction. — Pearson. (10. Aufl., 2017)
• Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introduction to Operations Research. — McGraw-Hill Education. (11. Aufl., 2021)