Modelle des Operations Research
Modelle des Operations Research — im Operations Research (OR) werden Modelle verwendet, um Aufgaben im Bereich Management und Entscheidungsfindung zu analysieren und zu lösen. Ein Modell im OR ist eine vereinfachte, formalisierte Darstellung einer realen Operation oder eines Systems, die dazu dient, dessen Verhalten zu untersuchen und die besten Lösungen zu finden.
Um quantitative Methoden des Operations Research anwenden zu können, muss ein mathematisches Modell der Operation erstellt werden. Bei der Erstellung des Modells wird die Operation in der Regel vereinfacht und schematisiert, und dieses Schema wird mit Hilfe eines bestimmten mathematischen Apparats beschrieben. Das Modell einer Operation ist eine hinreichend genaue Beschreibung der Operation mit Hilfe eines mathematischen Apparats (verschiedene Arten von Funktionen, Gleichungen, Systemen von Gleichungen und Ungleichungen). Die Effektivität einer Operation wird als das Maß ihrer Eignung zur Erfüllung der Aufgabe definiert.
Allgemeine Problemstellung und Struktur eines Modells im OR
Im Operations Research umfasst eine Managementsituation Ziele und Entscheidungen. Entscheidungen werden getroffen, um die Ziele zu erreichen. Die Managementsituation wird durch ein Modell beschrieben.
Das Modell enthält ein explizites Leistungsmaß, anhand dessen bestimmt wird, wie nahe eine Lösung dem Ziel kommt. Dieses Maß hängt von Faktoren ab, die die Operation beeinflussen. Alle Faktoren, die in die Beschreibung der Operation eingehen, lassen sich in zwei Gruppen einteilen:
- Unkontrollierbare (konstante) Faktoren: Externe Bedingungen oder Systemparameter, auf die der Entscheidungsträger keinen Einfluss nehmen kann (z. B. Marktnachfrage, Rohstoffpreise, Wetter).
- Kontrollierbare (steuerbare) Faktoren: Parameter der Operation, deren Werte der Entscheidungsträger wählen und ändern kann (z. B. Produktionsvolumen, Lieferroute, Ressourcenzuweisung). Diese Faktoren werden auch als Entscheidungsvariablen bezeichnet.
Konzeptionell kann ein OR-Modell als «Blackbox» dargestellt werden, bei der das Hauptaugenmerk auf der Definition der Eingaben und Ausgaben liegt:
- Eingaben: Kontrollierbare und unkontrollierbare Variablen (Faktoren).
- Modell: Der mathematische Apparat (Funktionen, Gleichungen, Ungleichungen), der die Beziehungen zwischen den Eingaben und Ausgaben beschreibt.
- Ausgabe: Das Leistungskriterium (Zielfunktion).
Das Leistungskriterium, das durch eine Funktion ausgedrückt wird, wird als Zielfunktion bezeichnet. Die Zielfunktion ist ein mathematisch formuliertes (formalisiertes) Leistungsmaß, das maximiert oder minimiert werden soll.
Mathematische Definition eines Modells
Unter einem mathematischen Modell im OR versteht man jeden Operator, der es ermöglicht, aus den entsprechenden Werten der Eingabeparameter die Ausgabewerte der Parameter des Modellierungsobjekts innerhalb der Menge der zulässigen Werte der Eingabe- und Ausgabeparameter für das modellierte Objekt zu bestimmen.
Typisches mathematisches Modell im OR
Die meisten Aufgaben des OR laufen auf eine Optimierung hinaus und werden in Form des folgenden mathematischen Modells formuliert:
Maximiere (oder minimiere) die Zielfunktion unter Einhaltung der Nebenbedingungen.
- Zielfunktion: Drückt das Kriterium quantitativ aus, nach dem die Lösung bewertet wird (z. B. Gewinn, Kosten, Zeit). Die Auswahl der Zielfunktion ist ein zentraler und entscheidender Moment der Untersuchung. Es ist besser, eine nicht-optimale Lösung mit einem richtig gewählten Kriterium zu finden, als eine optimale Lösung mit einem falschen.
- Nebenbedingungen: Mathematische Ausdrücke (in Form von Gleichungen oder Ungleichungen), denen die Variablen des Modells genügen müssen. Sie spiegeln reale Ressourcenlimits, technologische Anforderungen, Planvorgaben und andere Bedingungen wider. Die Nebenbedingungen schränken die Menge der möglichen Lösungen ein.
Lösungen in OR-Modellen
- Zulässige Lösung: Jede Wertekombination der Variablen, die alle Nebenbedingungen des Modells erfüllt. Die Menge aller zulässigen Lösungen bildet den zulässigen Bereich. Es kann unendlich viele solcher Lösungen geben.
- Optimale Lösung: Eine zulässige Lösung, bei der die Zielfunktion ihren Extremwert (Maximum oder Minimum) erreicht. Die optimale Lösung (sofern sie existiert) befindet sich immer im zulässigen Bereich.
In einigen Fällen kann es sein, dass keine optimale Lösung existiert (z. B. wenn der zulässige Bereich leer ist oder die Zielfunktion im zulässigen Bereich unbeschränkt ist).
Als optimal wird eine Lösung bezeichnet, die nach dem gegebenen Optimierungskriterium anderen vorzuziehen ist. Optimalität ist immer relativ zum Kriterium («optimal in Bezug auf...»).
Klassifikation von Modellen des Operations Research
Modelle des OR können nach verschiedenen Merkmalen klassifiziert werden, insbesondere nach dem verwendeten mathematischen Apparat und der Art der Aufgabe.
Nach mathematischer Struktur
- Modelle der linearen Programmierung (LP): Die Zielfunktion und alle Nebenbedingungen sind lineare Funktionen der Variablen.
- Modelle der ganzzahligen LP: Ein Teil oder alle Variablen müssen ganzzahlige Werte annehmen.
- Modelle der nichtlinearen Programmierung (NLP): Die Zielfunktion und/oder die Nebenbedingungen sind nichtlineare Funktionen.
- Modelle der konvexen Programmierung: Ein Spezialfall der NLP, bei dem eine Zielfunktion minimiert (oder eine konkave Funktion maximiert) wird und der zulässige Bereich eine konvexe Menge ist.
- Modelle der dynamischen Programmierung (DP): Werden für Aufgaben verwendet, bei denen die Entscheidung schrittweise über die Zeit getroffen wird und das Optimalitätskriterium durch rekursive Beziehungen ausgedrückt wird.
- Heuristische Modelle: Werden angewendet, wenn die Suche nach einem exakten Optimum aufgrund hoher Rechenkomplexität nicht möglich ist. Es werden heuristische Methoden verwendet, um eine «ausreichend gute» Lösung zu finden.
Nach typischen OR-Aufgaben
- Aufgaben der Netzplantechnik und des Projektmanagements: Optimierung von Fristen und Kosten für die Durchführung von Arbeitskomplexen (z. B. Methode des kritischen Pfades).
- Aufgaben der Massenbedienung (Warteschlangentheorie): Analyse und Optimierung von Systemen mit Warteschlangen (Bestimmung der Anzahl der Bedienkanäle, Bedienzeiten).
- Aufgaben des Bestandsmanagements: Bestimmung der optimalen Lagerbestände und Bestellmengen zur Minimierung der Kosten bei gleichzeitiger Deckung der Nachfrage.
- Aufgaben der Ressourcenallokation: Optimale Zuweisung von begrenzten Ressourcen auf konkurrierende Operationen oder Tätigkeiten.
- Aufgaben der Instandhaltung und des Austauschs von Anlagen: Bestimmung der optimalen Zeitpunkte für die Reparatur oder den Austausch von Anlagen unter Berücksichtigung von Verschleiß und Alterung.
- Modelle der Spieltheorie: Analyse von Konfliktsituationen mit mehreren Parteien, die unterschiedliche Ziele verfolgen, und die Suche nach optimalen Strategien.
Literatur
- Wentzel, E. S. Operations Research: Aufgaben, Prinzipien, Methodologie. Moskau: Nauka, 1988.
- Ackoff, R., Sasieni, M. Grundlagen des Operations Research. Moskau: Mir, 1971.
- Taha, H. A. Operations Research: An Introduction. 10. Aufl. Pearson, 2017.
- Hillier, F. S., Lieberman, G. J. Introduction to Operations Research. 11. Aufl. McGraw-Hill Education, 2021.