Critère de Hurwicz

Le critère de Hurwicz est l'une des méthodes de prise de décision en situation d'incertitude, qui propose une approche équilibrée entre l'optimisme extrême et le pessimisme extrême.

L'essence du critère

Lors du choix d'une stratégie dans une situation où l'issue des événements est inconnue, le critère de Hurwicz propose de prendre en compte simultanément :

• le pire résultat possible (approche pessimiste),
• le meilleur résultat possible (approche optimiste).

Pour ce faire, un paramètre spécial est utilisé — le coefficient d'optimisme, qui prend une valeur entre zéro et un. Plus le coefficient est proche de un, plus l'attention est portée sur les meilleurs résultats ; plus il est proche de zéro, plus les pires résultats possibles sont pris en compte.

Formulation mathématique

Soient donnés :

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — l'ensemble des stratégies (ou alternatives) disponibles.
• $\mathrm{\Theta }=\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — l'ensemble des états possibles de la nature.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — la fonction de gain (ou d'utilité) lors du choix de la stratégie $s_i$ et de la survenance de l'état ${\theta }_j$. Elle est souvent représentée par une matrice des gains $A=[a_{ij}]$, où $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

Le critère de Hurwicz introduit un coefficient d'optimisme $\alpha$ (alpha), choisi par le décideur dans l'intervalle $0\le \alpha \le 1$. Ce coefficient reflète le degré d'optimisme du décideur :

• $\alpha =1$ correspond à un optimisme total (seul le meilleur résultat possible est pris en compte).
• $\alpha =0$ correspond à un pessimisme total (seul le pire résultat possible est pris en compte, le critère se réduit alors au critère de Wald).
• La valeur $(1-\alpha )$ peut être interprétée comme le coefficient de pessimisme.

La procédure d'application du critère de Hurwicz est la suivante :

1. Détermination du gain minimal et maximal pour chaque stratégie : Pour chaque stratégie $s_i\in S$, on détermine :

   **Pire résultat (gain minimal) :**

   $u_i^{\min }=\underset{j=1,\dots ,n}{\min }u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,\theta )$

   **Meilleur résultat (gain maximal) :**

   $u_i^{\max }=\underset{j=1,\dots ,n}{\max }u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }u(s_i,\theta )$

1. Calcul de la valeur du critère de Hurwicz pour chaque stratégie : Pour chaque stratégie $s_i$, on calcule une valeur pondérée combinant le meilleur et le pire résultat en fonction du coefficient d'optimisme $\alpha$ :

   $H(s_i,\alpha )=\alpha \cdot u_i^{\max }+(1-\alpha )\cdot u_i^{\min }$

   Cette valeur représente le gain attendu de la stratégie $s_i$ selon les préférences du décideur, exprimées par $\alpha$.

1. Sélection de la stratégie optimale : On choisit la stratégie $s_{\text{Hurwicz}}^{*}$ qui maximise la valeur calculée du critère de Hurwicz :

   $s_{\text{Hurwicz}}^{*}=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{\max }H(s_i,\alpha )=\arg \underset{s_i\in S}{\max }(\alpha \cdot u_i^{\max }+(1-\alpha )\cdot u_i^{\min })$

La valeur optimale du critère de Hurwicz (le niveau garanti compte tenu de l'optimisme $\alpha$) est égale à : $V_{\text{Hurwicz}}=\underset{i=1,\dots ,m}{\max }H(s_i,\alpha )=\underset{s_i\in S}{\max }(\alpha \cdot (\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }u(s_i,\theta ))+(1-\alpha )\cdot (\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,\theta )))$

Remarque sur la fonction de perte

Si l'on utilise une fonction de perte (ou de coût) $L(s_i,{\theta }_j)$, qu'il faut minimiser, le critère de Hurwicz s'applique pour minimiser la combinaison pondérée du meilleur (pertes minimales) et du pire (pertes maximales) résultat :

1. Pour chaque stratégie $s_i$, on trouve les pertes minimales $L_i^{\min }$ et maximales $L_i^{\max }$.
2. On calcule la valeur : $H_L(s_i,\alpha )=\alpha \cdot L_i^{\min }+(1-\alpha )\cdot L_i^{\max }$
3. On choisit la stratégie qui minimise cette valeur : $s_{\text{Hurwicz}}^{*}=\arg \underset{s_i\in S}{\min }{H}_L(s_i,\alpha )$

Ici, $\alpha$ reste le coefficient d'optimisme : pour $\alpha =1$, le décideur se concentre sur la minimisation des pertes minimales (espérant de manière optimiste le meilleur résultat), tandis que pour $\alpha =0$, il se concentre sur la minimisation des pertes maximales (se préparant de manière pessimiste au pire).

Application du critère

Le processus d'application du critère de Hurwicz comprend les étapes suivantes :

1. Déterminer les résultats minimal et maximal pour chaque stratégie possible.
2. Pour chaque stratégie, calculer un score final, qui est une valeur pondérée entre son pire et son meilleur résultat, en fonction du niveau d'optimisme choisi.
3. Choisir la stratégie dont le score final est le plus élevé.

Ainsi, le décideur choisit la stratégie qui prend le mieux en compte sa propre attitude face au risque et à l'incertitude.

Avantages et inconvénients

Avantages :

• Permet d'adapter le processus de sélection en fonction du caractère et des préférences du décideur.
• Prend en compte à la fois le risque et les gains potentiels.

Inconvénients :

• Nécessite le choix subjectif du coefficient d'optimisme, ce qui peut affecter l'objectivité de la décision.

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