Critère de Wald

Le critère de Wald est l'une des principales méthodes de prise de décision en situation d'incertitude. Il est fondé sur le principe du pessimisme extrême et vise à choisir la stratégie qui garantit le meilleur résultat dans le pire scénario possible.

Essence du critère

Le critère suppose que le décideur se concentre sur le résultat le plus défavorable pour chaque stratégie. Pour chaque alternative, on détermine son pire résultat possible. Parmi toutes les stratégies, on choisit celle dont ce pire résultat est le meilleur de tous.

En d'autres termes, le critère de Wald vise à maximiser le gain minimal, offrant ainsi la plus grande protection contre les conditions défavorables.

Application du critère

Le processus d'application comprend les étapes suivantes :

1. Pour chaque stratégie, on détermine le pire résultat possible.
2. On compare les pires résultats de toutes les stratégies.
3. On choisit la stratégie présentant le meilleur des pires résultats.

Cette approche est caractéristique des décideurs extrêmement prudents, cherchant à minimiser les risques indépendamment de la probabilité des différents résultats.

Formulation mathématique

Soient donnés :

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — l'ensemble des stratégies (ou alternatives) disponibles pour le décideur.
• $\mathrm{\Theta }=\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — l'ensemble des états de la nature possibles (conditions externes, scénarios), indépendants du choix du décideur.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — la fonction de gain (ou d'utilité), représentant l'évaluation numérique du résultat lors du choix de la stratégie $s_i\in S$ et de la réalisation de l'état de la nature ${\theta }_j\in \mathrm{\Theta }$. Elle est souvent représentée sous la forme d'une matrice des gains $A=[a_{ij}]$, où $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

Le critère de Wald (ou critère du maximin) prescrit la procédure suivante :

1. Recherche du gain minimal pour chaque stratégie : Pour chaque stratégie $s_i$, on détermine son pire résultat possible (le gain minimal) sur l'ensemble des états de la nature possibles :

   $u_i^{\min }=\underset{j=1,\dots ,n}{\min }u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,\theta )$

1. Choix de la stratégie avec le maximum des gains minimaux : On choisit la stratégie $s_{\text{Wald}}^{*}$ qui offre la plus grande valeur parmi les gains minimaux trouvés :

   $s_{\text{Wald}}^{*}=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{\max }(u_i^{\min })=\arg \underset{s_i\in S}{\max }(\underset{{\theta }_j\in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,{\theta }_j))$

Le niveau de gain garanti (minimal) lors de l'utilisation du critère de Wald est : $V_{\text{Wald}}=\underset{i=1,\dots ,m}{\max }(u_i^{\min })=\underset{s_i\in S}{\max }(\underset{{\theta }_j\in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,{\theta }_j))$

Ainsi, le critère de Wald met en œuvre le principe du maximin — la maximisation du gain minimal. Il est orienté vers une vision pessimiste, supposant que quelle que soit la décision prise, la nature réagira de la manière la plus défavorable pour le décideur.

Remarque sur la fonction de perte

Si, au lieu d'une fonction de gain $u(s_i,{\theta }_j)$, on utilise une fonction de perte $L(s_i,{\theta }_j)$ qu'il faut minimiser, alors le critère de Wald se transforme en critère du minimax des pertes :

1. Pour chaque stratégie $s_i$, on trouve la perte maximale : $L_i^{\max }=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }L(s_i,\theta )$
2. On choisit la stratégie qui minimise ces pertes maximales : $s_{\text{Wald}}^{*}=\arg \underset{s_i\in S}{\min }(\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }L(s_i,\theta ))$

Avantages et inconvénients

Avantages :

• Simplicité et clarté de la méthode.
• Garantie d'un haut degré de sécurité pour les décisions en situation d'incertitude totale.

Inconvénients :

• Pessimisme excessif : les gains potentiels élevés sont ignorés au profit de la minimisation des pertes.
• Peut conduire au choix de stratégies trop conservatrices.

Category:Decision analysis