Критерий Сэвиджа

Критерий Сэвиджа (также известный как критерий минимального сожаления) — один из методов принятия решений в условиях неопределённости. Он применяется в ситуациях, когда неизвестны вероятности различных исходов, и целью является минимизация потенциальных потерь вследствие принятия неоптимального решения.

Общая характеристика

В условиях неопределённости последствия выбора каждой стратегии не определены точно. Для оценки возможных альтернатив используется ряд критериев, таких как критерии Вальда, Гурвица, Лапласа и Сэвиджа. Критерий Сэвиджа ориентирован не на достижение максимальной прибыли, а на минимизацию максимального сожаления (потерь по сравнению с наилучшим возможным результатом).

Сожаление — это величина, отражающая упущенную выгоду из-за того, что была выбрана не оптимальная стратегия при конкретном исходе.

Алгоритм применения критерия Сэвиджа

• Формирование платёжной матрицы: Строится таблица, строки которой соответствуют возможным стратегиям, а столбцы — возможным исходам событий. На пересечении записывается ожидаемый результат при конкретной стратегии и исходе.
• Построение матрицы сожалений (матрицы рисков): Для каждого исхода (столбца) определяется максимальное значение выигрыша. Затем для каждой ячейки вычисляется величина сожаления:
• Определение максимальных сожалений для каждой стратегии:В каждой строке матрицы сожалений выбирается максимальное значение (наихудший случай для данной стратегии).
• Выбор оптимальной стратегии: Выбирается та стратегия, для которой максимальное сожаление минимально.

Таким образом, критерий Сэвиджа реализует принцип минимизации возможного убытка от неправильного решения.

Математическая формулировка

Пусть заданы:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — множество доступных стратегий (альтернатив).
• $\mathrm{\Theta }=\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — множество возможных состояний природы.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — функция выигрыша (полезности) при выборе стратегии $s_i$ и наступлении состояния ${\theta }_j$. Часто представляется платёжной матрицей $A=[a_{ij}]$, где $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

Критерий Сэвиджа основан на понятии сожаления (regret) или упущенной выгоды. Сожаление $r(s_i,{\theta }_j)$ для стратегии $s_i$ при состоянии природы ${\theta }_j$ определяется как разница между максимально возможным выигрышем, который мог быть получен при данном состоянии природы ${\theta }_j$ (если бы была выбрана наилучшая для этого состояния стратегия), и фактическим выигрышем от стратегии $s_i$.

Алгоритм применения критерия Сэвиджа:

1. Расчет матрицы сожалений (рисков):

   a) Найти максимальный выигрыш для каждого состояния природы (каждого столбца платёжной матрицы):

   $u_j^{*}=\underset{k=1,\dots ,m}{\max }u(s_k,{\theta }_j)=\underset{k=1,\dots ,m}{\max }{a}_{kj}$

   Это наилучший возможный результат, если наступит состояние ${\theta }_j$.

   b) Вычислить элементы матрицы сожалений $R=[r_{ij}]$:**

   $r_{ij}=r(s_i,{\theta }_j)=u_j^{*}-u(s_i,{\theta }_j)=(\underset{k=1,\dots ,m}{\max }{a}_{kj})-a_{ij}$

   Элемент $r_{ij}$ показывает, насколько выигрыш от стратегии $s_i$ меньше максимально возможного при состоянии ${\theta }_j$. Все элементы $r_{ij}\ge 0$.

1. Нахождение максимального сожаления для каждой стратегии: Для каждой стратегии $s_i$ (каждой строки матрицы сожалений $R$) определяется её наихудший возможный исход с точки зрения сожаления:

   $r_i^{\max }=\underset{j=1,\dots ,n}{\max }{r}_{ij}=\underset{j=1,\dots ,n}{\max }((\underset{k=1,\dots ,m}{\max }{a}_{kj})-a_{ij})$

1. Выбор стратегии с минимальным максимальным сожалением (принцип минимакса сожалений): Выбирается та стратегия $s_{\text{Savage}}^{*}$, которая минимизирует найденное максимальное сожаление:

   $s_{\text{Savage}}^{*}=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{\min }(r_i^{\max })=\arg \underset{s_i\in S}{\min }(\underset{{\theta }_j\in \mathrm{\Theta }}{\max }r(s_i,{\theta }_j))$

   Или, подставляя выражение для $r_{ij}$:

   $s_{\text{Savage}}^{*}=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{\min }\left(\underset{j=1,\dots ,n}{\max }[(\underset{k=1,\dots ,m}{\max }{a}_{kj})-a_{ij}]\right)$

Минимальное значение максимального сожаления, достигаемое при использовании критерия Сэвиджа, равно: $V_{\text{Savage}}=\underset{i=1,\dots ,m}{\min }(r_i^{\max })=\underset{i=1,\dots ,m}{\min }\left(\underset{j=1,\dots ,n}{\max }{r}_{ij}\right)$

Таким образом, критерий Сэвиджа направлен на выбор стратегии, которая гарантирует наименьшие потери относительно наилучшего возможного действия для каждого состояния природы.

Ключевые моменты в математической формулировке:

• Определение сожаления $r_{ij}$: Это центральное понятие. Важно показать, что оно вычисляется как разница между лучшим исходом в столбце j и текущим исходом a_{ij}.
• Матрица сожалений $R$: Явно указано, как она строится.
• Нахождение $r_i^{\max }$: Показан поиск максимума в каждой строке матрицы сожалений.
• Принцип минимакса: Четко сформулирован выбор стратегии через $\arg \min$ от $\max$ сожалений.
• Используемые обозначения: Стандартные для теории игр и принятия решений (S, Θ, u, a_ij, r_ij, max, min, arg min).

Достоинства и недостатки

Преимущества:

• Ориентирован на минимизацию рисков.
• Особенно эффективен в условиях высокой неопределённости.

Недостатки:

• Игнорирует ожидаемую прибыль, сосредотачиваясь только на возможных потерях.
• Может приводить к излишне консервативным решениям.

Критерии принятия решений

• Критерий Гурвица
• Критерий Лапласа
• Критерий Вальда