Wald-Kriterium

Das Wald-Kriterium ist eine der grundlegenden Methoden zur Entscheidungsfindung unter Ungewissheit. Es basiert auf dem Prinzip des extremen Pessimismus und zielt darauf ab, die Strategie zu wählen, die das beste Ergebnis im schlechtmöglichsten Szenario sicherstellt.

Wesen des Kriteriums

Das Kriterium geht davon aus, dass sich der Entscheidungsträger am ungünstigsten Ergebnis für jede Strategie orientiert. Für jede Alternative wird das schlechtmöglichste Ergebnis ermittelt. Aus allen Strategien wird diejenige ausgewählt, bei der dieses schlechteste Ergebnis das beste unter allen ist.

Anders ausgedrückt, zielt das Wald-Kriterium auf die Minimierung der maximalen Verluste ab und bietet den größtmöglichen Schutz vor ungünstigen Bedingungen.

Anwendung des Kriteriums

Der Anwendungsprozess umfasst die folgenden Schritte:

1. Für jede Strategie wird das schlechtmöglichste Ergebnis ermittelt.
2. Die schlechtesten Ergebnisse aller Strategien werden verglichen.
3. Es wird die Strategie mit dem besten unter den schlechtesten Ergebnissen ausgewählt.

Dieser Ansatz ist typisch für extrem vorsichtige Personen, die bestrebt sind, Risiken unabhängig von der Eintrittswahrscheinlichkeit verschiedener Ergebnisse zu minimieren.

Mathematische Formulierung

Gegeben seien:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — die Menge der verfügbaren Strategien (Alternativen), aus denen der Entscheidungsträger (ET) wählt.
• $\mathrm{\Theta }=\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — die Menge der möglichen Umweltzustände (Szenarien), die nicht von der Wahl des ET abhängen.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — die Auszahlungs- (Nutzen-)Funktion, die eine numerische Bewertung des Ergebnisses bei Wahl der Strategie $s_i\in S$ und Eintritt des Umweltzustands ${\theta }_j\in \mathrm{\Theta }$ darstellt. Sie wird oft in Form einer Auszahlungsmatrix $A=[a_{ij}]$ dargestellt, wobei $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

Das Wald-Kriterium (oder Maximin-Kriterium) schreibt folgende Vorgehensweise vor:

1. Ermittlung der minimalen Auszahlung für jede Strategie: Für jede Strategie $s_i$ wird ihr schlechtmöglichstes Ergebnis (minimale Auszahlung) über alle möglichen Umweltzustände bestimmt:

   $u_i^{\min }=\underset{j=1,\dots ,n}{\min }u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,\theta )$

1. Auswahl der Strategie mit der maximalen unter den minimalen Auszahlungen: Es wird die Strategie $s_{\text{Wald}}^{*}$ gewählt, die den höchsten Wert unter den ermittelten minimalen Auszahlungen sicherstellt:

   $s_{\text{Wald}}^{*}=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{\max }(u_i^{\min })=\arg \underset{s_i\in S}{\max }(\underset{{\theta }_j\in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,{\theta }_j))$

Das garantierte (minimale) Auszahlungsniveau bei Anwendung des Wald-Kriteriums beträgt: $V_{\text{Wald}}=\underset{i=1,\dots ,m}{\max }(u_i^{\min })=\underset{s_i\in S}{\max }(\underset{{\theta }_j\in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,{\theta }_j))$

Somit realisiert das Wald-Kriterium das Maximin-Prinzip – die Maximierung der minimalen Auszahlung. Es orientiert sich an einer pessimistischen Sichtweise und geht davon aus, dass die Natur auf jede getroffene Entscheidung auf die für den Entscheidungsträger ungünstigste Weise reagieren wird.

Anmerkung zur Verlustfunktion

Wird anstelle der Auszahlungsfunktion $u(s_i,{\theta }_j)$ eine Verlustfunktion $L(s_i,{\theta }_j)$ verwendet, die minimiert werden soll, so wird das Wald-Kriterium zum Minimax-Verlust-Kriterium:

1. Für jede Strategie $s_i$ wird der maximale Verlust ermittelt: $L_i^{\max }=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }L(s_i,\theta )$
2. Es wird die Strategie gewählt, die diesen maximalen Verlust minimiert: $s_{\text{Wald}}^{*}=\arg \underset{s_i\in S}{\min }(\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }L(s_i,\theta ))$

Vorteile und Nachteile

Vorteile:

• Einfachheit und Klarheit der Methode.
• Gewährleistung eines hohen Maßes an Sicherheit bei Entscheidungen unter vollständiger Ungewissheit.

Nachteile:

• Übermäßiger Pessimismus: Mögliche hohe Gewinne werden zugunsten der Verlustminimierung ignoriert.
• Kann zur Wahl zu konservativer Strategien führen.