Utility theory — 效用理论

效用理论是决策理论的一个分支，研究如何对决策者的偏好进行量化表达，以在确定性、不确定性或风险条件下识别最佳备选方案。该理论基于构建一个称为"效用函数"的数值函数，该函数反映了选择可能结果的主观价值。

概述

效用理论基于理性选择的概念，即决策者旨在最大化结果的主观效用。该函数可以是：

• 价值函数——在完全确定性条件下；
• 效用函数——在概率不确定性条件下。

每个备选方案都被赋予一个数值，反映其对决策者的相对期望度。通过比较函数值，可以对各选项进行排序并选出最优方案。

公理化方法

效用函数是基于反映理性行为要求的公理体系引入的。经典的公理体系包括：

• 完全可比性公理——任何两个选项都可以进行比较；
• 传递性公理——选项之间的偏好在逻辑上是一致的；
• 连续性公理——在任意两个选项之间，总能找到一个等价于第三个选项的彩票；
• 独立性公理——当选项被包含在复合彩票中时，它们之间的偏好保持不变​。

满足这些条件就可以构建一个对线性变换不变的数值效用函数，这意味着它可以在区间标度上使用。

效用函数的类型

1. 线性效用函数

线性形式适用于以下情况：

• 结果以单一数值标度表示（例如，货币价值），
• 决策者的偏好具有恒定的边际效用，
• 各标准特征之间不存在相互作用。

2. 凸函数与凹函数效用

• 凹函数反映了风险规避（risk-aversion）：效用随价值的增加而增加，但回报递减。

• 凸函数——是风险偏好（risk-seeking）的标志：决策者偏爱潜在回报更高但可靠性较低的选项。

效用函数的形式使得在可靠和有风险的备选方案之间进行选择时，能够考虑决策者对不确定性的态度。

3. 阶梯（离散）效用函数

当偏好通过定性标度表达，或在结果数量有限的离散情况下（例如，同意/不同意，质量等级）使用。在这种函数中，每个备选方案都被赋予一个固定的效用值，不考虑中间的层次。阶梯函数应用于口头评估法、专家系统和逻辑语言选择模型中。

4. 加性效用函数 (MAUT)

用于多标准决策问题中，当每个标准的偏好是独立的。总效用表示为各标准的部分效用与其权重系数乘积之和。

5. 乘性效用函数

当标准之间存在相互作用时使用（例如，一个标准增强或削弱了另一个标准的重要性）。

6. 概率空间上的效用函数

应用于风险决策问题。每个结果不仅被赋予一个结果值，还被赋予其发生的概率。效用函数用于计算期望效用——即结果主观价值的数学期望。

单维与多维效用理论

在单维模型中，效用是为每个选项整体定义的。

在多维模型（MAUT — Multi-Attribute Utility Theory，多属性效用理论）中，会考虑多个标准下的部分评估。总效用基于以下模型形成：

• 加性模型，如果各标准的偏好是独立的；
• 乘性模型，如果标准之间存在相互作用。

例如：一个决策的效用可能同时取决于时间、成本和风险；在这种情况下，需要评估每个标准的部分效用函数和权重系数。

主观与客观效用

效用理论区分：

• 客观概率（例如，来自统计数据），
• 主观概率，由决策者自己设定。

主观效用考虑了个人对事件发生的信心和偏好，这使得该理论能够应用于信息不完整的现实问题中。

前景理论与对公理体系的批判

实践表明，决策者的行为并不总是符合经典的公理体系。已发现一些悖论（例如，阿莱悖论），显示出与假定理性行为的偏差。

为应对这些局限性，前景理论（由 D. Kahneman 和 A. Tversky 提出）被发展出来，该理论考虑了：

• 对收益和损失感知的非对称性；
• 对确定性结果重要性的高估；
• 对概率和后果的非线性评估。

效用函数的评估方法

其中一种方法是标准博弈法。决策者将一个确定性选项与一个在最好和最坏结果之间的彩票进行比较，以确定无差异点。这使得能够根据该彩票的主观概率计算出该选项的效用函数值。

参考文献

• Von Neumann J., Morgenstern O. Theory of Games and Economic Behavior. — Princeton University Press, 1944.
• Keeney R. L., Raiffa H. Decisions with Multiple Objectives: Preferences and Value Trade-Offs. — Cambridge University Press, 1993.
• Kahneman D., Tversky A. (1979). "Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk". Econometrica, 47(2), 263-291.