Tiêu chuẩn Hurwicz

Tiêu chí Hurwicz — một trong những phương pháp ra quyết định trong điều kiện không chắc chắn, đề xuất cách tiếp cận cân bằng giữa chủ nghĩa lạc quan cực đoan và chủ nghĩa bi quan cực đoan.

Bản chất của tiêu chí

Khi lựa chọn chiến lược trong tình huống mà kết quả của các sự kiện chưa được biết, tiêu chí Hurwicz đề xuất xem xét đồng thời:

• kết quả tồi tệ nhất có thể xảy ra (cách tiếp cận bi quan),
• kết quả tốt nhất có thể xảy ra (cách tiếp cận lạc quan).

Để thực hiện điều này, một tham số đặc biệt được sử dụng — hệ số lạc quan, nhận giá trị từ không đến một. Hệ số càng gần một, càng chú trọng đến các kết quả tốt nhất; hệ số càng gần không, càng chú trọng đến các kết quả tồi tệ nhất có thể xảy ra.

Công thức toán học

Giả sử được cho:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — tập hợp các chiến lược (phương án) khả dụng.
• $\mathrm{\Theta }=\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — tập hợp các trạng thái tự nhiên có thể xảy ra.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — hàm thu hoạch (hữu dụng) khi chọn chiến lược $s_i$ và xảy ra trạng thái ${\theta }_j$. Thường được biểu diễn bằng ma trận thanh toán $A=[a_{ij}]$, trong đó $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

Tiêu chí Hurwicz đưa vào hệ số lạc quan $\alpha$ (alpha), được lựa chọn bởi người ra quyết định (NRQ) trong khoảng $0\le \alpha \le 1$. Hệ số này phản ánh mức độ lạc quan của NRQ:

• $\alpha =1$ tương ứng với lạc quan hoàn toàn (chỉ xét kết quả tốt nhất có thể).
• $\alpha =0$ tương ứng với bi quan hoàn toàn (chỉ xét kết quả tồi tệ nhất có thể, tiêu chí quy về tiêu chí Wald).
• Giá trị $(1-\alpha )$ có thể được hiểu là hệ số bi quan.

Quy trình áp dụng tiêu chí Hurwicz:

1. Xác định thu hoạch tối thiểu và tối đa cho mỗi chiến lược: Với mỗi chiến lược $s_i\in S$, xác định:

   **Kết quả tồi nhất (thu hoạch tối thiểu):**

   $u_i^{\min }=\underset{j=1,\dots ,n}{\min }u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,\theta )$

   **Kết quả tốt nhất (thu hoạch tối đa):**

   $u_i^{\max }=\underset{j=1,\dots ,n}{\max }u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }u(s_i,\theta )$

1. Tính giá trị tiêu chí Hurwicz cho mỗi chiến lược: Với mỗi chiến lược $s_i$, tính giá trị trọng số kết hợp kết quả tốt nhất và tồi nhất có tính đến hệ số lạc quan $\alpha$:

   $H(s_i,\alpha )=\alpha \cdot u_i^{\max }+(1-\alpha )\cdot u_i^{\min }$

   Giá trị này biểu thị thu hoạch kỳ vọng của chiến lược $s_i$ theo sở thích của NRQ được thể hiện qua $\alpha$.

1. Chọn chiến lược tối ưu: Chọn chiến lược $s_{\text{Hurwicz}}^{*}$ sao cho tối đa hóa giá trị tiêu chí Hurwicz đã tính:

   $s_{\text{Hurwicz}}^{*}=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{\max }H(s_i,\alpha )=\arg \underset{s_i\in S}{\max }(\alpha \cdot u_i^{\max }+(1-\alpha )\cdot u_i^{\min })$

Giá trị tối ưu của tiêu chí Hurwicz (mức đảm bảo có tính đến lạc quan $\alpha$) bằng: $V_{\text{Hurwicz}}=\underset{i=1,\dots ,m}{\max }H(s_i,\alpha )=\underset{s_i\in S}{\max }(\alpha \cdot (\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }u(s_i,\theta ))+(1-\alpha )\cdot (\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,\theta )))$

Lưu ý về hàm tổn thất

Nếu sử dụng hàm tổn thất $L(s_i,{\theta }_j)$ cần được tối thiểu hóa, thì tiêu chí Hurwicz được áp dụng để tối thiểu hóa tổ hợp trọng số của kết quả tốt nhất (tổn thất tối thiểu) và tồi nhất (tổn thất tối đa):

1. Với mỗi chiến lược $s_i$, tìm tổn thất tối thiểu $L_i^{\min }$ và tối đa $L_i^{\max }$.
2. Tính giá trị: $H_L(s_i,\alpha )=\alpha \cdot L_i^{\min }+(1-\alpha )\cdot L_i^{\max }$
3. Chọn chiến lược tối thiểu hóa giá trị này: $s_{\text{Hurwicz}}^{*}=\arg \underset{s_i\in S}{\min }{H}_L(s_i,\alpha )$

Ở đây $\alpha$ vẫn là hệ số lạc quan: khi $\alpha =1$ NRQ tập trung vào tối thiểu hóa tổn thất tối thiểu (lạc quan kỳ vọng kết quả tốt nhất), khi $\alpha =0$ — tập trung vào tối thiểu hóa tổn thất tối đa (bi quan chuẩn bị cho tình huống tồi nhất).

Áp dụng tiêu chí

Quy trình áp dụng tiêu chí Hurwicz bao gồm các bước sau:

1. Xác định kết quả tối thiểu và tối đa cho mỗi chiến lược khả dụng.
2. Với mỗi chiến lược, tính điểm đánh giá tổng hợp là giá trị trọng số giữa kết quả tồi nhất và tốt nhất của nó, tùy thuộc vào mức độ lạc quan đã chọn.
3. Chọn chiến lược có điểm đánh giá tổng hợp cao nhất.

Như vậy, người ra quyết định chọn chiến lược phản ánh tốt nhất thái độ của bản thân đối với rủi ro và sự không chắc chắn.

Ưu điểm và nhược điểm

Ưu điểm:

• Cho phép điều chỉnh quá trình lựa chọn tùy theo đặc điểm và sở thích của người ra quyết định.
• Tính đến cả rủi ro lẫn lợi ích tiềm năng.

Nhược điểm:

• Yêu cầu lựa chọn chủ quan hệ số lạc quan, điều này có thể ảnh hưởng đến tính khách quan của quyết định.