Tiêu chí Wald

Tiêu chí Wald — một trong những phương pháp ra quyết định cơ bản trong điều kiện không chắc chắn. Nó dựa trên nguyên tắc bi quan cực độ và hướng đến việc lựa chọn chiến lược đảm bảo kết quả tốt nhất trong tình huống xấu nhất có thể xảy ra.

Bản chất của tiêu chí

Tiêu chí này giả định rằng người ra quyết định định hướng theo kết quả bất lợi nhất đối với mỗi chiến lược. Với mỗi phương án, kết quả tồi tệ nhất có thể xảy ra được xác định. Trong số tất cả các chiến lược, chiến lược được chọn là chiến lược có kết quả tồi tệ nhất — tốt nhất trong số tất cả.

Nói cách khác, tiêu chí Wald hướng đến việc giảm thiểu tổn thất tối đa và đảm bảo mức độ bảo vệ cao nhất trước các điều kiện bất lợi.

Áp dụng tiêu chí

Quy trình áp dụng bao gồm các bước sau:

1. Đối với mỗi chiến lược, xác định kết quả tồi tệ nhất có thể xảy ra.
2. So sánh các kết quả tồi tệ nhất của tất cả các chiến lược.
3. Chọn chiến lược có kết quả tốt nhất trong số các kết quả tồi tệ nhất.

Cách tiếp cận này đặc trưng cho những người ra quyết định hết sức thận trọng, muốn giảm thiểu rủi ro bất kể xác suất xảy ra của các kết quả khác nhau.

Công thức toán học

Giả sử cho trước:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — tập hợp các chiến lược (phương án) có sẵn mà người ra quyết định (NRQ) lựa chọn từ đó.
• $\mathrm{\Theta }=\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — tập hợp các trạng thái tự nhiên có thể xảy ra (điều kiện bên ngoài, các kịch bản) không phụ thuộc vào lựa chọn của NRQ.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — hàm lợi nhuận (độ hữu dụng), biểu diễn đánh giá số của kết quả khi chọn chiến lược $s_i\in S$ và khi trạng thái tự nhiên ${\theta }_j\in \mathrm{\Theta }$ xảy ra. Thường được biểu diễn dưới dạng ma trận thanh toán $A=[a_{ij}]$, trong đó $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

Tiêu chí Wald (hay tiêu chí maximin) quy định trình tự hành động sau:

1. Tìm lợi nhuận tối thiểu cho mỗi chiến lược: Đối với mỗi chiến lược $s_i$, kết quả tồi tệ nhất có thể xảy ra (lợi nhuận tối thiểu) được xác định trên tất cả các trạng thái tự nhiên có thể:

   $u_i^{\min }=\underset{j=1,\dots ,n}{\min }u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,\theta )$

1. Chọn chiến lược có lợi nhuận tối thiểu lớn nhất: Chiến lược $s_{\text{Wald}}^{*}$ được chọn là chiến lược đảm bảo giá trị lớn nhất trong số các lợi nhuận tối thiểu đã tìm được:

   $s_{\text{Wald}}^{*}=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{\max }(u_i^{\min })=\arg \underset{s_i\in S}{\max }(\underset{{\theta }_j\in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,{\theta }_j))$

Mức lợi nhuận được bảo đảm (tối thiểu) khi sử dụng tiêu chí Wald bằng: $V_{\text{Wald}}=\underset{i=1,\dots ,m}{\max }(u_i^{\min })=\underset{s_i\in S}{\max }(\underset{{\theta }_j\in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,{\theta }_j))$

Như vậy, tiêu chí Wald thực hiện nguyên tắc maximin — tối đa hóa lợi nhuận tối thiểu. Nó định hướng theo quan điểm bi quan, giả định rằng dù quyết định nào được đưa ra, tự nhiên sẽ phản ứng theo cách ít thuận lợi nhất cho NRQ.

Nhận xét về hàm tổn thất

Nếu thay vì hàm lợi nhuận $u(s_i,{\theta }_j)$ sử dụng hàm tổn thất $L(s_i,{\theta }_j)$ cần được tối thiểu hóa, thì tiêu chí Wald biến thành tiêu chí minimax tổn thất:

1. Đối với mỗi chiến lược $s_i$, tìm giá trị tổn thất tối đa: $L_i^{\max }=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }L(s_i,\theta )$
2. Chọn chiến lược tối thiểu hóa các tổn thất tối đa đó: $s_{\text{Wald}}^{*}=\arg \underset{s_i\in S}{\min }(\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }L(s_i,\theta ))$

Ưu điểm và nhược điểm

Ưu điểm:

• Phương pháp đơn giản và rõ ràng.
• Đảm bảo mức độ an toàn cao của các quyết định trong điều kiện không chắc chắn hoàn toàn.

Nhược điểm:

• Chủ nghĩa bi quan thái quá: các lợi ích tiềm năng cao bị bỏ qua vì mục đích giảm thiểu tổn thất.
• Có thể dẫn đến việc lựa chọn các chiến lược quá thận trọng.