Tiêu chí Savage

Tiêu chí Savage (còn được gọi là tiêu chí hối tiếc tối thiểu) — một trong các phương pháp ra quyết định trong điều kiện không chắc chắn. Nó được áp dụng trong các tình huống khi xác suất của các kết quả khác nhau không được biết, và mục tiêu là giảm thiểu tổn thất tiềm năng do việc đưa ra quyết định không tối ưu.

Đặc điểm chung

Trong điều kiện không chắc chắn, hậu quả của việc lựa chọn mỗi chiến lược không được xác định chính xác. Để đánh giá các phương án có thể, người ta sử dụng một số tiêu chí như tiêu chí Wald, Hurwicz, Laplace và Savage. Tiêu chí Savage không hướng tới việc đạt lợi nhuận tối đa, mà hướng tới giảm thiểu hối tiếc tối đa (tổn thất so với kết quả tốt nhất có thể đạt được).

Hối tiếc — là đại lượng phản ánh lợi ích bị bỏ lỡ do đã không chọn chiến lược tối ưu tại một kết quả cụ thể.

Thuật toán áp dụng tiêu chí Savage

• Lập ma trận thanh toán: Xây dựng bảng mà các hàng tương ứng với các chiến lược có thể, còn các cột tương ứng với các kết quả sự kiện có thể xảy ra. Tại giao điểm ghi lại kết quả kỳ vọng với chiến lược và kết quả cụ thể.
• Xây dựng ma trận hối tiếc (ma trận rủi ro): Với mỗi kết quả (cột) xác định giá trị phần thưởng tối đa. Sau đó với mỗi ô tính giá trị hối tiếc:
• Xác định hối tiếc tối đa cho mỗi chiến lược: Trong mỗi hàng của ma trận hối tiếc chọn giá trị lớn nhất (trường hợp xấu nhất cho chiến lược đó).
• Lựa chọn chiến lược tối ưu: Chọn chiến lược có hối tiếc tối đa là nhỏ nhất.

Như vậy, tiêu chí Savage thực hiện nguyên tắc giảm thiểu tổn thất có thể xảy ra do quyết định sai.

Công thức toán học

Giả sử cho:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — tập hợp các chiến lược (phương án) có thể lựa chọn.
• $\mathrm{\Theta }=\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — tập hợp các trạng thái tự nhiên có thể xảy ra.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — hàm phần thưởng (độ hữu ích) khi chọn chiến lược $s_i$ và khi xảy ra trạng thái ${\theta }_j$. Thường được biểu diễn bằng ma trận thanh toán $A=[a_{ij}]$, trong đó $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

Tiêu chí Savage dựa trên khái niệm hối tiếc (regret) hay lợi ích bị bỏ lỡ. Hối tiếc $r(s_i,{\theta }_j)$ đối với chiến lược $s_i$ khi trạng thái tự nhiên ${\theta }_j$ được xác định là hiệu giữa phần thưởng tối đa có thể đạt được tại trạng thái tự nhiên đó ${\theta }_j$ (nếu chiến lược tốt nhất cho trạng thái đó đã được chọn) và phần thưởng thực tế từ chiến lược $s_i$.

Thuật toán áp dụng tiêu chí Savage:

1. Tính ma trận hối tiếc (rủi ro):

   a) Tìm phần thưởng tối đa cho mỗi trạng thái tự nhiên (mỗi cột của ma trận thanh toán):

   $u_j^{*}=\underset{k=1,\dots ,m}{\max }u(s_k,{\theta }_j)=\underset{k=1,\dots ,m}{\max }{a}_{kj}$

   Đây là kết quả tốt nhất có thể nếu trạng thái ${\theta }_j$ xảy ra.

   b) Tính các phần tử của ma trận hối tiếc $R=[r_{ij}]$:**

   $r_{ij}=r(s_i,{\theta }_j)=u_j^{*}-u(s_i,{\theta }_j)=(\underset{k=1,\dots ,m}{\max }{a}_{kj})-a_{ij}$

   Phần tử $r_{ij}$ cho thấy phần thưởng từ chiến lược $s_i$ nhỏ hơn mức tối đa có thể tại trạng thái ${\theta }_j$ bao nhiêu. Tất cả các phần tử $r_{ij}\ge 0$.

1. Tìm hối tiếc tối đa cho mỗi chiến lược: Với mỗi chiến lược $s_i$ (mỗi hàng của ma trận hối tiếc $R$) xác định kết quả xấu nhất có thể về mặt hối tiếc:

   $r_i^{\max }=\underset{j=1,\dots ,n}{\max }{r}_{ij}=\underset{j=1,\dots ,n}{\max }((\underset{k=1,\dots ,m}{\max }{a}_{kj})-a_{ij})$

1. Lựa chọn chiến lược có hối tiếc tối đa nhỏ nhất (nguyên tắc minimax hối tiếc): Chọn chiến lược $s_{\text{Savage}}^{*}$ giảm thiểu hối tiếc tối đa đã tìm được:

   $s_{\text{Savage}}^{*}=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{\min }(r_i^{\max })=\arg \underset{s_i\in S}{\min }(\underset{{\theta }_j\in \mathrm{\Theta }}{\max }r(s_i,{\theta }_j))$

   Hoặc, thay biểu thức cho $r_{ij}$:

   $s_{\text{Savage}}^{*}=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{\min }\left(\underset{j=1,\dots ,n}{\max }[(\underset{k=1,\dots ,m}{\max }{a}_{kj})-a_{ij}]\right)$

Giá trị nhỏ nhất của hối tiếc tối đa đạt được khi sử dụng tiêu chí Savage bằng: $V_{\text{Savage}}=\underset{i=1,\dots ,m}{\min }(r_i^{\max })=\underset{i=1,\dots ,m}{\min }\left(\underset{j=1,\dots ,n}{\max }{r}_{ij}\right)$

Như vậy, tiêu chí Savage hướng tới việc lựa chọn chiến lược đảm bảo tổn thất nhỏ nhất so với hành động tốt nhất có thể với mỗi trạng thái tự nhiên.

Các điểm chính trong công thức toán học:

• Định nghĩa hối tiếc $r_{ij}$: Đây là khái niệm trung tâm. Điều quan trọng là chỉ ra rằng nó được tính là hiệu giữa kết quả tốt nhất trong cột j và kết quả hiện tại a_{ij}.
• Ma trận hối tiếc $R$: Được chỉ rõ cách xây dựng.
• Tìm $r_i^{\max }$: Thể hiện việc tìm giá trị lớn nhất trong mỗi hàng của ma trận hối tiếc.
• Nguyên tắc minimax: Việc lựa chọn chiến lược được công thức hóa rõ ràng thông qua $\arg \min$ từ $\max$ hối tiếc.
• Ký hiệu được sử dụng: Tiêu chuẩn trong lý thuyết trò chơi và ra quyết định (S, Θ, u, a_ij, r_ij, max, min, arg min).

Ưu điểm và nhược điểm

Ưu điểm:

• Hướng tới giảm thiểu rủi ro.
• Đặc biệt hiệu quả trong điều kiện không chắc chắn cao.

Nhược điểm:

• Bỏ qua lợi nhuận kỳ vọng, chỉ tập trung vào các tổn thất có thể xảy ra.
• Có thể dẫn đến các quyết định quá thận trọng.

Các tiêu chí ra quyết định

• Tiêu chí Hurwicz
• Tiêu chí Laplace
• Tiêu chí Wald