Tối ưu hóa
Tối ưu — tốt nhất trong các điều kiện đã cho. Chất lượng được đánh giá bằng tiêu chí tối ưu, còn các điều kiện được xác định dưới dạng các ràng buộc đối với các tiêu chí bổ sung.
Khát vọng nâng cao hiệu quả lao động, sáng tạo, mọi hoạt động có mục đích — đó là khát vọng tự nhiên của con người — đã tìm được sự thể hiện rõ ràng và dễ hiểu trong ý tưởng về tính tối ưu. Sự khác biệt giữa cách hiểu khoa học nghiêm túc và cách hiểu «thông thường», đời thường về tính tối ưu là rất nhỏ. Thật ra, các cách diễn đạt như «tối ưu nhất» hay «đạt được hiệu quả tối đa với chi phí tối thiểu» là không chính xác về mặt toán học, nhưng những người sử dụng các cách diễn đạt này thực ra chỉ đang trình bày một ý đúng đắn một cách không chặt chẽ và vụng về: ngay khi vấn đề liên quan đến tối ưu hóa cụ thể, họ nhanh chóng và dễ dàng sửa lại cách diễn đạt.
Tối ưu hóa — trong toán học, khoa học máy tính và nghiên cứu vận trù là bài toán tìm cực trị (cực tiểu hoặc cực đại) của hàm mục tiêu trong một miền nào đó của không gian vectơ hữu hạn chiều, bị ràng buộc bởi tập hợp các đẳng thức và/hoặc bất đẳng thức tuyến tính và/hoặc phi tuyến.
Mô hình tối ưu hóa
Mô hình tối ưu hóa — là mô hình ra quyết định chứa một chỉ số hiệu quả (hàm mục tiêu) cần được tối ưu hóa với điều kiện tuân thủ một tập hợp các ràng buộc cho trước.
Các mô hình tối ưu hóa được thiết kế để xác định các tham số tối ưu (tốt nhất) theo một tiêu chí nào đó của đối tượng được mô phỏng, hoặc để tìm kiếm chế độ quản lý tối ưu (tốt nhất) của một quá trình nào đó. Một phần các tham số của mô hình được gọi là tham số điều khiển, bằng cách thay đổi chúng có thể thu được các biến thể khác nhau của tập hợp giá trị tham số đầu ra. Thông thường, các mô hình này được xây dựng bằng cách sử dụng một hoặc nhiều mô hình mô tả và bao gồm một tiêu chí nào đó cho phép so sánh các biến thể khác nhau của tập hợp giá trị tham số đầu ra với nhau nhằm chọn ra biến thể tốt nhất. Trên miền giá trị của các tham số đầu vào có thể được áp đặt các ràng buộc dưới dạng đẳng thức và bất đẳng thức, liên quan đến đặc điểm của đối tượng hoặc quá trình được xem xét. Mục tiêu của các mô hình tối ưu hóa là tìm kiếm các tham số điều khiển chấp nhận được mà tại đó tiêu chí lựa chọn đạt «giá trị tốt nhất» của nó.
Mô hình tối ưu hóa trong nghiên cứu vận trù
Bài toán được phát biểu dưới dạng mô hình toán học. Mô hình toán học điển hình của nghiên cứu vận trù được trình bày theo phát biểu sau:
Tối đa hóa hoặc tối thiểu hóa hàm mục tiêu, với điều kiện thỏa mãn các ràng buộc
Các nghiệm tối ưu là những nghiệm được ưu tiên hơn so với các nghiệm khác theo một số dấu hiệu nhất định. Mỗi lần lựa chọn biến thể tốt nhất đều mang tính cụ thể, vì nó dựa trên sự phù hợp với các tiêu chí đã được thiết lập. Khi nói về biến thể tối ưu, người ta chỉ rõ các tiêu chí này («tối ưu theo…»). Điều tối ưu theo tiêu chí này không nhất thiết sẽ là tối ưu theo tiêu chí khác.
Nghiệm chấp nhận được — nếu nó thỏa mãn tất cả các ràng buộc của mô hình. Trong một số trường hợp, có thể có vô số nghiệm chấp nhận được.
Nghiệm tối ưu — nếu ngoài việc chấp nhận được, hàm mục tiêu tại nghiệm đó đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
Tối ưu hóa — tối đa hóa hoặc tối thiểu hóa hàm mục tiêu.
Nghiệm tối ưu — tập hợp chấp nhận được của các giá trị biến quyết định, tối ưu hóa hàm mục tiêu của mô hình tối ưu hóa.
Mô hình lựa chọn tối ưu
Rất nhiều bài toán lựa chọn gặp trong thực tiễn được quy về việc tìm các biến thể tốt nhất hoặc được ưa thích nhất đối với con người, và thường là tìm biến thể duy nhất tốt nhất. Đồng thời, mỗi người ra quyết định (NRQ) đều có những quan niệm chủ quan riêng về điều gì là ưu tiên đối với họ trong tình huống lựa chọn cụ thể.
Có khá nhiều bài toán mà đối với chúng có thể xây dựng mô hình toán học của sự lựa chọn, trong đó khái niệm biến thể tốt nhất được hình thức hóa bằng cách xác định một hoặc nhiều chỉ số hiệu quả số hoặc tiêu chí chất lượng của nghiệm. Các chỉ số này, mặc dù được NRQ xác định, mang tính khách quan, được xác định bởi nội dung của bài toán cần giải, và được biểu diễn bằng các hàm số nào đó phụ thuộc vào các biến đo lường các thuộc tính của các biến thể. Trong những trường hợp như vậy, biến thể nghiệm được ưa thích nhất đối với NRQ trong bài toán lựa chọn thường được gọi là biến thể tối ưu, tương ứng với giá trị cực trị của một hoặc nhiều chỉ số hiệu quả của nghiệm trong các điều kiện hiện tại.
Điểm then chốt để phát biểu bài toán lựa chọn tối ưu là khả năng mô tả tình huống vấn đề và sở thích của NRQ dưới dạng định lượng. Điều này có nghĩa là, thứ nhất, các biến thể nghiệm có thể (các phương án, đối tượng, cách thức hành động) được xác định bằng các đặc trưng định lượng (biến, tham số, thuộc tính) đo bằng các thang số. Thứ hai, phải có các chỉ số định lượng (tiêu chí tối ưu, chỉ số hiệu quả, hàm mục tiêu, hàm giá trị) mà theo độ lớn của chúng, chất lượng của biến thể được chọn được đánh giá. Những tình huống như vậy là điển hình cho các vấn đề có cấu trúc tốt và các tình huống lựa chọn lặp đi lặp lại, đặc trưng cho nghiên cứu vận trù và điều khiển tối ưu.
Để phân tích các biến thể nghiệm có thể có của vấn đề (các cách đạt được mục tiêu) và lựa chọn trong số đó một hoặc một số biến thể tốt nhất, người ta xây dựng các mô hình hình thức của lựa chọn tối ưu. Mô hình cho một biểu diễn đơn giản hóa của vấn đề thực tế và phải phản ánh các phụ thuộc và mối liên hệ quan trọng nhất, tồn tại khách quan giữa các biến thể, các đặc trưng mô tả chúng và các ràng buộc được xác định bởi các nhân tố có thể kiểm soát và không thể kiểm soát. Việc xây dựng mô hình như vậy là nhiệm vụ của các chuyên gia phân tích tư vấn và các chuyên gia với sự tham gia của NRQ. Khi xây dựng mô hình lựa chọn, cần cân đối tính đầy đủ và mức độ chi tiết của mô hình với độ chính xác yêu cầu của nghiệm bài toán lựa chọn thực tế, cũng như với khối lượng thông tin cần thiết để tìm nghiệm — cả thông tin đã có lẫn thông tin thu thập thêm.
Giới hạn của phương pháp tối ưu hóa
Các bài toán tối ưu hóa là các bài toán toán học hình thức nghiêm ngặt. Giá trị thực tiễn của các nghiệm của những bài toán như vậy phụ thuộc trực tiếp vào chất lượng của mô hình toán học ban đầu. Trong các hệ thống phức tạp, việc mô hình hóa toán học là khó khăn, gần đúng và không chính xác. Hệ thống càng phức tạp thì càng phải thận trọng hơn đối với việc tối ưu hóa nó.
Từ góc độ phân tích hệ thống, thái độ đối với tối ưu hóa có thể được phát biểu như sau: đây là một công cụ mạnh mẽ để nâng cao hiệu quả, nhưng cần sử dụng nó ngày càng thận trọng hơn khi độ phức tạp của vấn đề tăng lên.
Mặc dù ý tưởng tối ưu hóa rõ ràng là hữu ích, thực tiễn đòi hỏi sự thận trọng khi vận dụng nó. Có những lý do khá thuyết phục cho kết luận này.
- Nghiệm tối ưu thường không ổn định: những thay đổi thoạt nhìn có vẻ nhỏ trong điều kiện bài toán có thể dẫn đến việc lựa chọn các phương án khác biệt đáng kể.
- Hệ thống đang xét là một phần của một hệ thống lớn hơn nào đó, và khi đó tối ưu hóa cục bộ không nhất thiết dẫn đến cùng kết quả mà hệ thống con sẽ phải đạt được khi tối ưu hóa toàn bộ hệ thống. Điều này dẫn đến sự cần thiết phải liên kết các tiêu chí của các hệ thống con với các tiêu chí của hệ thống, thường làm cho việc tối ưu hóa cục bộ trở nên không cần thiết.
- Các tiêu chí chỉ đặc trưng cho mục tiêu một cách gián tiếp, đôi khi tốt hơn, đôi khi kém hơn, nhưng luôn là gần đúng. Việc tối đa hóa tiêu chí tối ưu thường được đồng nhất với mục tiêu, nhưng thực ra đây là hai điều khác nhau. Trên thực tế, tiêu chí và mục tiêu có quan hệ với nhau như mô hình và bản gốc, với tất cả những đặc điểm kéo theo từ đó. Nhiều mục tiêu khó hoặc thậm chí không thể mô tả định lượng.
- Nếu không đặt tất cả các ràng buộc cần thiết, chúng ta có thể đồng thời với việc tối đa hóa tiêu chí chính thu được các hiệu ứng phụ không lường trước và không mong muốn.
Tài liệu tham khảo
- Ventcel E. S. Nghiên cứu vận trù: bài toán, nguyên lý, phương pháp luận. — M.: Nauka, 1988. (Hoặc ấn bản mới hơn)
- Taha, Hamdy A. Operations Research: An Introduction. — Pearson. (Chỉ rõ ấn bản, ví dụ, 10th ed., 2017)
- Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introduction to Operations Research. — McGraw-Hill Education.