Soluție optimă (optimizare)

Soluția optimă — în cercetarea operațională, optimizare și teoria deciziilor, aceasta este o soluție admisibilă (adică una care satisface toate restricțiile problemei), care asigură valoarea extremă (maximă sau minimă, în funcție de formularea problemei) a funcției obiectiv.

Găsirea soluției optime reprezintă scopul principal al rezolvării majorității problemelor de optimizare.

Esență și caracteristici

Soluția optimă posedă două caracteristici esențiale:

1. Admisibilitate: Trebuie să satisfacă toate restricțiile impuse variabilelor modelului. Cu alte cuvinte, soluția optimă aparține întotdeauna domeniului soluțiilor admisibile (DSA). 2. Extremalitate față de funcția obiectiv: Dintre toate soluțiile admisibile, ea asigură cea mai bună valoare (maximă sau minimă) a funcției obiectiv, care formalizează criteriul de optimalitate.

Nu orice soluție admisibilă este optimă, însă orice soluție optimă trebuie în mod obligatoriu să fie admisibilă.

Relația cu domeniul soluțiilor admisibile

Domeniul soluțiilor admisibile (DSA) reprezintă mulțimea tuturor alternativelor (seturilor de valori ale variabilelor) care satisfac restricțiile problemei. Soluția optimă este punctul (sau punctele) din acest domeniu în care funcția obiectiv atinge extremul său. Dacă DSA este vid, atunci problema nu are nici soluții admisibile, nici, în consecință, soluții optime.

Rolul funcției obiectiv și al restricțiilor

• Restricțiile determină mulțimea soluțiilor posibile (DSA).
• Funcția obiectiv determină care dintre aceste soluții posibile este cea mai bună (optimă).

Fără funcția obiectiv este imposibil să se determine care dintre soluțiile admisibile este optimă. Fără restricții, problema poate fi trivială sau poate să nu aibă o soluție optimă finită (de exemplu, maximizarea unei funcții liniare fără restricții).

Unicitatea soluției optime

Soluția optimă nu este întotdeauna unică. În unele probleme (de exemplu, în programarea liniară, dacă funcția obiectiv este paralelă cu una dintre restricțiile active) poate exista o infinitate de soluții optime cu aceeași valoare a funcției obiectiv. Totuși, valoarea funcției obiectiv în punctul (punctele) de optim este întotdeauna unică (dacă optimul există).

Metode de determinare

Pentru căutarea soluțiilor optime în cercetarea operațională se utilizează diverse metode matematice, în funcție de tipul modelului:

• Metoda simplex (pentru programarea liniară)
• Metode de coborâre a gradientului și alte metode numerice (pentru programarea neliniară)
• Metoda ramificărilor și mărginirilor, metode de secționare (pentru programarea în numere întregi)
• Metode de programare dinamică

Dependența de model

Este important să se înțeleagă că o soluție este optimă doar în cadrul modelului matematic adoptat. Dacă modelul reflectă inadecvat situația reală (funcția obiectiv a fost aleasă incorect, nu au fost luate în considerare restricții sau dependențe importante), atunci soluția optimă găsită în mod formal poate să se dovedească ineficientă sau chiar eronată în practică.

Optimalitate în problemele multicriteriale

În problemele cu mai multe funcții obiectiv (Optimizare multicriterială), noțiunea de soluție optimă unică este adesea înlocuită cu noțiunea de optimalitate Pareto. O soluție Pareto-optimală este o soluție admisibilă pentru care este imposibil să se îmbunătățească valoarea unei funcții obiectiv fără a înrăutăți valoarea cel puțin a uneia dintre celelalte.

Bibliografie

• Venițel E. S. Cercetarea operațională: probleme, principii, metodologie. — M.: Nauka, 1988.
• Taha, Hamdy A. Operations Research: An Introduction. — Pearson. (10th ed., 2017)
• Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introduction to Operations Research. — McGraw-Hill Education. (11th ed., 2021)

Vezi și

• Cercetarea operațională
• Optimizare
• Model matematic
• Funcție obiectiv
• Restricții
• Domeniul soluțiilor admisibile
• Soluție admisibilă
• Criteriu
• Teoria deciziilor
• Optimizare multicriterială
• Optimalitate Pareto
• Extrem