Savageovo kritérium

Savageovo kritérium (také známé jako kritérium minimální lítosti) — jedna z metod rozhodování v podmínkách neurčitosti. Používá se v situacích, kdy pravděpodobnosti různých výsledků nejsou známy, a cílem je minimalizace potenciálních ztrát v důsledku přijetí neoptimálního rozhodnutí.

Obecná charakteristika

V podmínkách neurčitosti nejsou důsledky volby každé strategie přesně určeny. Pro hodnocení možných alternativ se používá řada kritérií, jako jsou Waldovo, Hurwiczovo, Laplaceovo a Savageovo kritérium. Savageovo kritérium není zaměřeno na dosažení maximálního zisku, ale na minimalizaci maximální lítosti (ztrát ve srovnání s nejlepším možným výsledkem).

Lítost — je veličina odrážející ušlý zisk v důsledku toho, že nebyla zvolena optimální strategie při konkrétním výsledku.

Algoritmus použití Savageova kritéria

• Sestavení výplatní matice: Sestaví se tabulka, jejíž řádky odpovídají možným strategiím a sloupce možným výsledkům událostí. Na průsečíku se zapíše očekávaný výsledek při konkrétní strategii a výsledku.
• Sestavení matice lítostí (matice rizik): Pro každý výsledek (sloupec) se určí maximální hodnota výhry. Poté se pro každou buňku vypočítá hodnota lítosti:
• Určení maximálních lítostí pro každou strategii: V každém řádku matice lítostí se vybere maximální hodnota (nejhorší případ pro danou strategii).
• Volba optimální strategie: Vybere se ta strategie, pro níž je maximální lítost minimální.

Savageovo kritérium tak realizuje princip minimalizace možné ztráty z nesprávného rozhodnutí.

Matematická formulace

Nechť jsou zadány:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — množina dostupných strategií (alternativ).
• $\mathrm{\Theta }=\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — množina možných stavů přírody.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — funkce výhry (užitku) při volbě strategie $s_i$ a nastání stavu ${\theta }_j$. Často je reprezentována výplatní maticí $A=[a_{ij}]$, kde $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

Savageovo kritérium je založeno na pojmu lítosti (regret) neboli ušlého zisku. Lítost $r(s_i,{\theta }_j)$ pro strategii $s_i$ při stavu přírody ${\theta }_j$ je definována jako rozdíl mezi maximálně možnou výhrou, které mohlo být dosaženo při daném stavu přírody ${\theta }_j$ (pokud by byla zvolena pro tento stav nejlepší strategie), a skutečnou výhrou ze strategie $s_i$.

Algoritmus použití Savageova kritéria:

1. Výpočet matice lítostí (rizik):

   a) Najít maximální výhru pro každý stav přírody (každý sloupec výplatní matice):

   $u_j^{*}=\underset{k=1,\dots ,m}{\max }u(s_k,{\theta }_j)=\underset{k=1,\dots ,m}{\max }{a}_{kj}$

   To je nejlepší možný výsledek, nastane-li stav ${\theta }_j$.

   b) Vypočítat prvky matice lítostí $R=[r_{ij}]$:**

   $r_{ij}=r(s_i,{\theta }_j)=u_j^{*}-u(s_i,{\theta }_j)=(\underset{k=1,\dots ,m}{\max }{a}_{kj})-a_{ij}$

   Prvek $r_{ij}$ ukazuje, o kolik je výhra ze strategie $s_i$ menší než maximálně možná při stavu ${\theta }_j$. Všechny prvky $r_{ij}\ge 0$.

1. Nalezení maximální lítosti pro každou strategii: Pro každou strategii $s_i$ (každý řádek matice lítostí $R$) se určí její nejhorší možný výsledek z hlediska lítosti:

   $r_i^{\max }=\underset{j=1,\dots ,n}{\max }{r}_{ij}=\underset{j=1,\dots ,n}{\max }((\underset{k=1,\dots ,m}{\max }{a}_{kj})-a_{ij})$

1. Volba strategie s minimální maximální lítostí (princip minimaxu lítostí): Vybere se ta strategie $s_{\text{Savage}}^{*}$, která minimalizuje nalezenou maximální lítost:

   $s_{\text{Savage}}^{*}=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{\min }(r_i^{\max })=\arg \underset{s_i\in S}{\min }(\underset{{\theta }_j\in \mathrm{\Theta }}{\max }r(s_i,{\theta }_j))$

   Nebo po dosazení výrazu pro $r_{ij}$:

   $s_{\text{Savage}}^{*}=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{\min }\left(\underset{j=1,\dots ,n}{\max }[(\underset{k=1,\dots ,m}{\max }{a}_{kj})-a_{ij}]\right)$

Minimální hodnota maximální lítosti, dosažená při použití Savageova kritéria, se rovná: $V_{\text{Savage}}=\underset{i=1,\dots ,m}{\min }(r_i^{\max })=\underset{i=1,\dots ,m}{\min }\left(\underset{j=1,\dots ,n}{\max }{r}_{ij}\right)$

Savageovo kritérium je tedy zaměřeno na volbu strategie, která zaručuje nejmenší ztráty vůči nejlepší možné akci pro každý stav přírody.

Klíčové body matematické formulace:

• Definice lítosti $r_{ij}$: Jedná se o ústřední pojem. Důležité je ukázat, že se vypočítává jako rozdíl mezi nejlepším výsledkem ve sloupci j a aktuálním výsledkem a_{ij}.
• Matice lítostí $R$: Explicitně je uvedeno, jak se sestavuje.
• Nalezení $r_i^{\max }$: Je ukázáno hledání maxima v každém řádku matice lítostí.
• Princip minimaxu: Jasně je formulována volba strategie prostřednictvím $\arg \min$ z $\max$ lítostí.
• Použitá označení: Standardní pro teorii her a rozhodování (S, Θ, u, a_ij, r_ij, max, min, arg min).

Výhody a nevýhody

Výhody:

• Zaměřeno na minimalizaci rizik.
• Zvláště účinné v podmínkách vysoké neurčitosti.

Nevýhody:

• Ignoruje očekávaný zisk a soustředí se pouze na možné ztráty.
• Může vést k příliš konzervativním rozhodnutím.

Kritéria rozhodování

• Hurwiczovo kritérium
• Laplaceovo kritérium
• Waldovo kritérium