Optimization — 最適化
最適（さいてき）とは、与えられた条件下で最良であること。品質は最適性基準を用いて評価され、条件は追加の基準に対する制約として設定されます。
労働、創造性、その他あらゆる目的を持った活動の効率を高めようとする人間の自然な欲求は、最適性という考え方の中に、明確で理解しやすい形で表現されています。厳密に科学的な最適性の理解と、一般的で日常的な理解との間の違いは、ごくわずかです。確かに、「最も最適な」や「最小限のコストで最大限の効果を達成する」といった表現は数学的には不正確ですが、これらの表現を使う人々は、実際には正しい考えを不正確かつ不器用に表現しているに過ぎません。具体的な最適化の話になれば、彼らはすぐにその表現を修正します。
最適化とは、数学、情報科学、オペレーションズ・リサーチにおいて、線形および/または非線形の等式および/または不等式の集合によって制約された、有限次元ベクトル空間のある領域における目的関数の極値（最小値または最大値）を見つける問題です。
最適化モデル
最適化モデルとは、与えられた一連の制約条件を守りつつ、最適化する必要がある効率性の指標（目的関数）を含む意思決定モデルです。
最適化モデルは、ある基準の観点からモデル化されたオブジェクトの最適な（最良の）パラメータを決定するため、またはあるプロセスの最適な（最良の）制御方式を探すために使用されます。モデルのパラメータの一部は制御パラメータに分類され、これを変更することで出力パラメータの様々な値の組み合わせを得ることができます。通常、これらのモデルは1つまたは複数の記述モデルを用いて構築され、出力パラメータの様々な値の組み合わせを相互に比較し、最良のものを選択するための何らかの基準を含みます。入力パラメータの値の範囲には、対象となるオブジェクトやプロセスの特性に関連する等式や不等式の形で制約が課されることがあります。最適化モデルの目的は、選択基準がその「最良値」に達するような、許容可能な制御パラメータを見つけることです。
オペレーションズ・リサーチにおける最適化モデル
問題は数理モデルの形で定式化されます。オペレーションズ・リサーチの典型的な数理モデルは、次のように定式化されます。
制約条件を満たした上での、目的関数の最大化または最小化
ある特徴によって他の解よりも好ましい解を最適解と呼びます。最良の選択肢の各選択は、設定された基準への適合に基づいているため、具体的です。最適な選択肢について話すときは、その基準を明記します（「～において最適」）。ある基準で最適なものが、別の基準でも最適であるとは限りません。
実行可能解 — モデルのすべての制約条件を満たす解。場合によっては、実行可能解は無限に存在することもあります。
最適解 — 実行可能であることに加えて、その解において目的関数が最大値または最小値に達する解。
最適化 — 目的関数の最大化または最小化。
最適解 — 最適化モデルの目的関数を最適化する、実行可能な決定変数の値の組。
最適選択モデル
実務で遭遇する多くの選択問題は、人間にとって最良または最も好ましい選択肢を見つけることに帰着し、しばしば唯一最良の選択肢を探すことになります。その際、各意思決定者は、特定の選択状況において何が自分にとって好ましいかについて、独自の主観的な考えを持っています。
最良の選択肢という概念が、1つまたは複数の数値的な効率指標や解の品質基準を設定することによって形式化される、選択の数理モデルを構築できる問題は数多く存在します。これらの指標は、意思決定者によって設定されるものの、解決すべき問題の内容によって決定される客観的な性質を持ち、選択肢の特性を測定する変数に依存する何らかの関数で表現されます。このような場合、意思決定者にとって最も好ましい選択問題の解は、既存の条件下で1つまたは複数の解の効率指標の極値に対応する、いわゆる最適な選択肢であると見なされるのが一般的です。
最適選択問題を定式化する上での基本は、問題状況と意思決定者の好みを定量的に記述できることです。これは、第一に、可能な解の選択肢（代替案、対象、行動様式）が、数値尺度で測定される定量的特徴（変数、パラメータ、属性）によって定義されることを意味します。第二に、選択された選択肢の品質を評価するための定量的な指標（最適性基準、効率指標、目的関数、価値関数）が設定されなければなりません。このような状況は、オペレーションズ・リサーチや最適制御に典型的な、よく構造化された問題や反復的な選択状況に特徴的です。
問題解決の可能な選択肢（目標達成の方法）を分析し、その中から1つまたは複数の最良の選択肢を選ぶために、形式的な最適選択モデルが構築されます。モデルは現実問題の単純化された表現であり、制御可能な要因と制御不能な要因によって設定される、選択肢、それらを記述する特徴、および制約の間の、最も重要で客観的に存在する依存関係や関連性を反映しなければなりません。このようなモデルの構築は、意思決定者の参加のもと、コンサルタント・アナリストや専門家の仕事です。選択モデルを構築する際には、モデルの妥当性と詳細度を、現実の選択問題で求められる解の精度や、解を見つけるために必要な情報量（既存の情報と追加で得られる情報の両方）と釣り合わせる必要があります。
最適化アプローチの限界
最適化問題は、厳密に形式的な数学的問題です。このような問題の解の実用的な価値は、元の数理モデルがどれほど優れているかに直接依存します。複雑なシステムでは、数理モデリングは困難であり、近似的で不正確なものとなります。システムが複雑であるほど、その最適化には慎重になるべきです。
システム分析の観点から、最適化に対する姿勢は次のように述べることができます：最適化は効率を高めるための強力な手段であるが、問題の複雑さが増すにつれて、ますます慎重に使用すべきである。
最適化という考え方の明白な有用性にもかかわらず、実践においては慎重な取り扱いが求められます。このような結論には、十分に説得力のある根拠があります。
- 最適解はしばしば不安定であることが判明します。一見些細に見える問題条件の変化が、大幅に異なる代替案の選択につながる可能性があります。
- 対象となるシステムがより大きなシステムの一部である場合、局所的な最適化は、システム全体を最適化する際にサブシステムに求められる結果と必ずしも一致しません。これは、サブシステムの基準をシステム全体の基準と整合させる必要性を生じさせ、しばしば局所的な最適化を不要にします。
- 基準は目標を間接的に、時にはより良く、時にはより悪く、しかし常に近似的にしか特徴付けません。最適性基準の最大化はしばしば目標そのものと同一視されますが、実際にはこれらは別物です。事実、基準と目標は、モデルとオリジナル（実物）のように互いに関連しており、そこから生じるすべての特徴を伴います。多くの目標は定量的に記述することが困難、あるいは不可能でさえあります。
- 必要なすべての制約条件を設定しないと、主基準を最大化すると同時に、予期せぬ望ましくない副作用が生じる可能性があります。
参考文献
- Ventsel E. S. 『オペレーションズ・リサーチ：課題、原理、方法論』モスクワ：ナウカ出版社、1988年。
- Taha H. A. Operations Research: An Introduction. — Pearson, 2017. (10th ed.)
- Hillier F. S., Lieberman G. J. Introduction to Operations Research. — McGraw-Hill Education, 2021. (11th ed.)