Optimization — الأمثلية
الأمثل — هو الأفضل في ظل ظروف معينة. يتم تقييم الجودة باستخدام معيار الأمثلية، وتُحدد الظروف في شكل قيود على معايير إضافية.
إن السعي لزيادة كفاءة العمل والإبداع وأي نشاط هادف، هو ميل طبيعي للإنسان وجد تعبيره وشكله الواضح والمفهوم في فكرة الأمثلية. الفرق بين الفهم العلمي الدقيق والفهم "الشائع" اليومي للأمثلية ليس كبيرًا. صحيح أن تعابير مثل "الأكثر مثالية" أو "سنحقق أقصى تأثير بأقل تكلفة" غير صحيحة رياضيًا، لكن الأشخاص الذين يستخدمونها يعبرون في الواقع عن فكرة صحيحة بشكل غير دقيق وغير موفق: فبمجرد أن يتعلق الأمر بمهمة أمثَلَة محددة، فإنهم يصححون صياغاتهم بسرعة وسهولة.
الأمثَلَة — في الرياضيات وعلوم الحاسوب وبحوث العمليات، هي مسألة إيجاد القيمة القصوى (الدنيا أو العظمى) لدالة الهدف في منطقة معينة من فضاء متجهي ذي أبعاد محدودة، وتكون هذه المنطقة مقيدة بمجموعة من المساواة و/أو المتباينات الخطية و/أو غير الخطية.
Optimization models - نماذج الأمثَلَة
نموذج الأمثَلَة — هو نموذج لاتخاذ القرار يحتوي على مؤشر للكفاءة (دالة الهدف)، والذي يجب الوصول به إلى القيمة المثلى مع مراعاة مجموعة من القيود المحددة.
صُممت نماذج الأمثَلَة لتحديد المعلمات المثلى (الأفضل) من وجهة نظر معيار معين للكائن قيد النمذجة، أو للبحث عن الوضع الأمثل (الأفضل) لإدارة عملية ما. يُصنَّف جزء من معلمات النموذج على أنها معلمات تحكم، والتي بتغييرها يمكن الحصول على خيارات مختلفة لمجموعات قيم المعلمات الناتجة. كقاعدة عامة، تُبنى هذه النماذج باستخدام نموذج وصفي واحد أو أكثر وتتضمن معيارًا ما يسمح بمقارنة الخيارات المختلفة لمجموعات قيم المعلمات الناتجة فيما بينها بهدف اختيار الأفضل. يمكن فرض قيود على نطاق قيم معلمات الإدخال في شكل مساواة ومتباينات، ترتبط بخصائص الكائن أو العملية قيد الدراسة. الهدف من نماذج الأمثَلَة هو البحث عن معلمات التحكم المسموح بها التي يصل عندها معيار الاختيار إلى "أفضل قيمة" له.
Optimization models of operations research - نماذج الأمثَلَة في بحوث العمليات
تتم صياغة المسألة في شكل نموذج رياضي. ويُعرض النموذج الرياضي النمطي لبحوث العمليات بالصيغة التالية:
تعظيم أو تقليل دالة الهدف، بشرط استيفاء القيود
تُسمى الحلول مثلى إذا كانت، بناءً على سمات معينة، مفضلة على غيرها. كل اختيار للبديل الأفضل هو اختيار محدد، لأنه يعتمد على مدى توافقه مع المعايير المحددة. عند الحديث عن البديل الأمثل، يجب تحديد هذه المعايير ("أمثل وفقًا لـ..."). ما هو أمثل وفقًا لمعيار معين قد لا يكون كذلك بالضرورة وفقًا لمعيار آخر.
الحل الممكن — هو الحل الذي يستوفي جميع قيود النموذج. في بعض الحالات، يمكن أن يكون هناك عدد لا نهائي من الحلول الممكنة.
الحل الأمثل — هو الحل الممكن الذي تصل فيه دالة الهدف إلى قيمتها القصوى (العظمى أو الدنيا).
الأمثَلَة — هي تعظيم أو تقليل دالة الهدف.
الحل الأمثل — هو مجموعة مقبولة من قيم متغيرات القرار التي تجعل دالة الهدف في نموذج الأمثلَة تصل إلى قيمتها المثلى.
Model of optimal choice - نموذج الاختيار الأمثل
يمكن اختزال عدد كبير من مسائل الاختيار التي نواجهها في الواقع العملي إلى إيجاد أفضل الخيارات أو أكثرها تفضيلاً بالنسبة للشخص، وفي كثير من الأحيان، إلى البحث عن الخيار الأفضل الوحيد. وفي هذه الحالة، يكون لكل صانع قرار تصوراته الذاتية الخاصة حول ما هو مفضل بالنسبة له في موقف اختيار معين.
هناك عدد كبير من المسائل التي يمكن بناء نموذج رياضي للاختيار لها، حيث تتم صياغة مفهوم الخيار الأفضل بشكل رسمي من خلال تحديد مؤشر واحد أو أكثر من مؤشرات الكفاءة العددية أو معايير جودة الحل. هذه المؤشرات، على الرغم من تحديدها من قبل صانع القرار، إلا أنها تحمل طابعًا موضوعيًا يحدده محتوى المسألة قيد الحل، ويُعبر عنها بدوال تعتمد على متغيرات تقيس خصائص الخيارات. في مثل هذه الحالات، يُعتبر الخيار الأمثل، الذي يتوافق مع القيمة القصوى لواحد أو أكثر من مؤشرات كفاءة الحل في ظل الظروف القائمة، هو الخيار الأكثر تفضيلاً لصانع القرار.
تكمن النقطة الأساسية في صياغة مسألة الاختيار الأمثل في إمكانية وصف الموقف الإشكالي وتفضيلات صانع القرار بصورة كمية. وهذا يعني، أولاً، أن الخيارات الممكنة للحل (البدائل، الكيانات، طرق العمل) تُحدد بسمات كمية (متغيرات، معلمات، خصائص) تُقاس باستخدام مقاييس عددية. وثانيًا، يجب تحديد مؤشرات كمية (معايير الأمثلية، مؤشرات الكفاءة، دوال الهدف، دوال القيمة) التي يتم على أساسها تقييم جودة الخيار المختار. هذا النوع من المواقف характерен للمشكلات جيدة التنظيم ومواقف الاختيار المتكررة، وهو نموذجي في بحوث العمليات والتحكم الأمثل.
لتحليل الخيارات الممكنة لحل مشكلة (طرق تحقيق الهدف) واختيار أفضلها، تُبنى نماذج رسمية للاختيار الأمثل. يقدم النموذج تمثيلاً مبسطًا للمشكلة الحقيقية ويجب أن يعكس أهم الاعتمادات والعلاقات الموضوعية القائمة بين الخيارات، والسمات التي تصفها، والقيود التي تفرضها العوامل المتحكم بها وغير المتحكم بها. بناء مثل هذا النموذج هو مهمة المحللين الاستشاريين والخبراء بمشاركة صانع القرار. عند بناء نموذج الاختيار، يجب الموازنة بين مدى كفاية النموذج وتفاصيله وبين دقة الحل المطلوب للمسألة الحقيقية، وكذلك حجم المعلومات اللازمة للبحث عن الحل — سواء المتوفرة حاليًا أو التي سيتم الحصول عليها إضافيًا.
Limitations of the optimization approach - قيود نهج الأمثَلَة
مسائل الأمثلَة هي مسائل رياضية رسمية بحتة. وتعتمد القيمة العملية لحلول هذه المسائل بشكل مباشر على مدى جودة النموذج الرياضي الأولي. في الأنظمة المعقدة، تكون النمذجة الرياضية صعبة وتقريبية وغير دقيقة. كلما زاد تعقيد النظام، وجب التعامل مع أمثلته بحذر أكبر.
من منظور تحليل النظم، يمكن صياغة الموقف تجاه الأمثلَة على النحو التالي: إنها أداة قوية لزيادة الكفاءة، ولكن يجب استخدامها بحذر متزايد مع ازدياد تعقيد المشكلة.
على الرغم من الفائدة الواضحة لفكرة الأمثلَة، إلا أن الممارسة العملية تتطلب التعامل معها بحذر. وهناك أسباب وجيهة لهذا الاستنتاج.
- غالبًا ما يكون الحل الأمثل غير مستقر: فالتغييرات الطفيفة ظاهريًا في شروط المسألة يمكن أن تؤدي إلى اختيار بدائل مختلفة جوهريًا.
- يكون النظام قيد الدراسة جزءًا من نظام أكبر، وبالتالي فإن الأمثلَة المحلية لا تؤدي بالضرورة إلى نفس النتيجة التي قد تُطلب من النظام الفرعي عند أمثلة النظام ككل. هذا يؤدي إلى ضرورة ربط معايير الأنظمة الفرعية بمعايير النظام الأكبر، مما يجعل الأمثلَة المحلية غير ضرورية في كثير من الأحيان.
- تصف المعايير الهدف بشكل غير مباشر فقط، أحيانًا بشكل أفضل وأحيانًا أسوأ، ولكن دائمًا بشكل تقريبي. غالبًا ما يتم الخلط بين تعظيم معيار الأمثلية والهدف نفسه، بينما هما في الواقع شيئان مختلفان. في الحقيقة، العلاقة بين المعيار والهدف تشبه العلاقة بين النموذج والأصل، مع كل ما يترتب على ذلك من خصوصيات. العديد من الأهداف يصعب أو يستحيل وصفها كميًا.
- عند عدم تحديد جميع القيود اللازمة، قد نحصل، إلى جانب تعظيم المعيار الأساسي، على تأثيرات جانبية غير متوقعة وغير مرغوب فيها.
Literature - المراجع
- Вентцель Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. — موسكو: دار Наука، ١٩٨٨. (أو إصدار أحدث)
- Taha, Hamdy A. Operations Research: An Introduction. — Pearson. (يجب تحديد الإصدار، على سبيل المثال، 10th ed., 2017)
- Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introduction to Operations Research. — McGraw-Hill Education.