Optimization — Βελτιστοποίηση
Βέλτιστος — ο καλύτερος υπό δεδομένες συνθήκες. Η ποιότητα αξιολογείται με τη βοήθεια κριτηρίου βελτιστότητας, ενώ οι συνθήκες ορίζονται υπό μορφή περιορισμών σε πρόσθετα κριτήρια.
Η επιθυμία για αύξηση της αποδοτικότητας της εργασίας, της δημιουργικότητας, κάθε σκόπιμης δραστηριότητας — αυτή η φυσική τάση του ανθρώπου βρήκε, θα λέγαμε, την έκφρασή της, μια ξεκάθαρη και κατανοητή μορφή στην ιδέα της βελτιστότητας. Η διαφορά μεταξύ της αυστηρά επιστημονικής και της «κοινώς αποδεκτής», καθημερινής κατανόησης της βελτιστότητας είναι μικρή. Βέβαια, εκφράσεις του τύπου «πιο βέλτιστος» ή «θα επιτύχουμε μέγιστο αποτέλεσμα με ελάχιστο κόστος» είναι μαθηματικά ανακριβείς, αλλά τα πρόσωπα που τις χρησιμοποιούν στην πραγματικότητα απλώς εκφράζουν μη αυστηρά και ατυχώς μια σωστή σκέψη: μόλις φτάσουμε στην ουσία της συγκεκριμένης βελτιστοποίησης, διορθώνουν γρήγορα και εύκολα τις διατυπώσεις.
Βελτιστοποίηση — στα μαθηματικά, την πληροφορική και την έρευνα επιχειρήσεων (operations research), πρόβλημα εύρεσης του ακρότατου (ελαχίστου ή μεγίστου) μιας αντικειμενικής συνάρτησης σε κάποιο πεδίο του πεπερασμένης διάστασης διανυσματικού χώρου, που ορίζεται από ένα σύνολο γραμμικών και/ή μη γραμμικών εξισώσεων και/ή ανισώσεων.
Μοντέλα βελτιστοποίησης
Μοντέλο βελτιστοποίησης — είναι ένα μοντέλο λήψης αποφάσεων που περιέχει έναν δείκτη αποτελεσματικότητας (αντικειμενική συνάρτηση), τον οποίο πρέπει να βελτιστοποιήσουμε υπό την προϋπόθεση τήρησης ενός συνόλου προκαθορισμένων περιορισμών.
Τα μοντέλα βελτιστοποίησης προορίζονται για τον προσδιορισμό των βέλτιστων (καλύτερων) παραμέτρων του μοντελοποιούμενου αντικειμένου από την άποψη κάποιου κριτηρίου, ή για την αναζήτηση του βέλτιστου (καλύτερου) τρόπου διαχείρισης κάποιας διαδικασίας. Μέρος των παραμέτρων του μοντέλου αντιστοιχεί στις παραμέτρους ελέγχου, αλλάζοντας τις οποίες μπορούμε να λαμβάνουμε διαφορετικές παραλλαγές συνόλων τιμών των εξόδων. Κατά κανόνα, τα εν λόγω μοντέλα κατασκευάζονται με τη χρήση ενός ή περισσότερων περιγραφικών μοντέλων και περιλαμβάνουν κάποιο κριτήριο που επιτρέπει τη σύγκριση διαφόρων παραλλαγών συνόλων τιμών εξόδου μεταξύ τους, με σκοπό την επιλογή της καλύτερης. Στο πεδίο τιμών των παραμέτρων εισόδου μπορούν να επιβληθούν περιορισμοί υπό μορφή εξισώσεων και ανισώσεων, που σχετίζονται με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά του εξεταζόμενου αντικειμένου ή διαδικασίας. Στόχος των μοντέλων βελτιστοποίησης είναι η εύρεση εκείνων των επιτρεπτών παραμέτρων ελέγχου, για τις οποίες το κριτήριο επιλογής επιτυγχάνει την «καλύτερη τιμή» του.
Μοντέλα βελτιστοποίησης έρευνας επιχειρήσεων
Το πρόβλημα διατυπώνεται υπό μορφή μαθηματικού μοντέλου. Ένα τυπικό μαθηματικό μοντέλο έρευνας επιχειρήσεων παρουσιάζεται με την ακόλουθη διατύπωση:
Μεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης, υπό τη συνθήκη εκπλήρωσης των περιορισμών
Βέλτιστες ονομάζονται οι λύσεις που κατά ορισμένα χαρακτηριστικά είναι προτιμότερες από τις άλλες. Κάθε επιλογή της καλύτερης παραλλαγής είναι συγκεκριμένη, καθώς βασίζεται στην αντιστοιχία με καθορισμένα κριτήρια. Όταν μιλάμε για βέλτιστη παραλλαγή, αναφέρουμε αυτά τα κριτήρια («βέλτιστο κατά…»). Αυτό που είναι βέλτιστο σύμφωνα με ένα κριτήριο δεν είναι απαραίτητα βέλτιστο σύμφωνα με κάποιο άλλο.
Επιτρεπτή λύση — εάν ικανοποιεί όλους τους περιορισμούς του μοντέλου. Οι επιτρεπτές λύσεις μπορεί σε ορισμένες περιπτώσεις να είναι άπειρες.
Βέλτιστη λύση — εάν εκτός του ότι είναι επιτρεπτή, η αντικειμενική συνάρτηση σε αυτή τη λύση επιτυγχάνει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή.
Βελτιστοποίηση — μεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης.
Βέλτιστη λύση — ένα επιτρεπτό σύνολο τιμών των μεταβλητών απόφασης, το οποίο βελτιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση του μοντέλου βελτιστοποίησης.
Μοντέλο βέλτιστης επιλογής
Ένας μεγάλος αριθμός προβλημάτων επιλογής που απαντώνται στην πράξη ανάγεται στην εύρεση των καλύτερων ή πιο προτιμητέων για τον άνθρωπο παραλλαγών, και συχνά — στην αναζήτηση της μοναδικά καλύτερης παραλλαγής. Κάθε Αποφασίζον Πρόσωπο (ΑΠ) έχει τις δικές του υποκειμενικές αντιλήψεις για το τι είναι προτιμητέο σε μια συγκεκριμένη κατάσταση επιλογής.
Υπάρχουν αρκετά προβλήματα για τα οποία μπορεί να κατασκευαστεί ένα μαθηματικό μοντέλο επιλογής, όπου η έννοια της καλύτερης παραλλαγής τυποποιείται μέσω του ορισμού ενός ή περισσότερων αριθμητικών δεικτών αποτελεσματικότητας ή κριτηρίων ποιότητας λύσης. Αυτοί οι δείκτες, αν και ορίζονται από το ΑΠ, έχουν αντικειμενικό χαρακτήρα που καθορίζεται από το περιεχόμενο του προβλήματος που επιλύεται, και εκφράζονται με κάποιες συναρτήσεις που εξαρτώνται από τις μεταβλητές με τις οποίες μετρώνται οι ιδιότητες των παραλλαγών. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η πιο προτιμητέα για το ΑΠ παραλλαγή λύσης του προβλήματος επιλογής θεωρείται συνήθως η λεγόμενη βέλτιστη παραλλαγή, η οποία αντιστοιχεί στην ακρότατη τιμή ενός ή περισσότερων δεικτών αποτελεσματικότητας της λύσης υπό τις υφιστάμενες συνθήκες.
Κρίσιμη προϋπόθεση για τη διατύπωση του προβλήματος βέλτιστης επιλογής είναι η δυνατότητα περιγραφής της προβληματικής κατάστασης και των προτιμήσεων του ΑΠ σε ποσοτική μορφή. Αυτό σημαίνει ότι, πρώτον, οι δυνατές παραλλαγές λύσης (εναλλακτικές, αντικείμενα, τρόποι δράσης) προσδιορίζονται από ποσοτικά χαρακτηριστικά (μεταβλητές, παραμέτρους, γνωρίσματα) που μετρώνται με αριθμητικές κλίμακες. Δεύτερον, πρέπει να ορίζονται ποσοτικοί δείκτες (κριτήρια βελτιστότητας, δείκτες αποτελεσματικότητας, αντικειμενικές συναρτήσεις, συναρτήσεις αξίας), βάσει του μεγέθους των οποίων αξιολογείται η ποιότητα της επιλεγμένης παραλλαγής. Τέτοιου είδους καταστάσεις είναι χαρακτηριστικές για καλά δομημένα προβλήματα και επαναλαμβανόμενες καταστάσεις επιλογής, τυπικές για την έρευνα επιχειρήσεων και τον βέλτιστο έλεγχο.
Για την ανάλυση των δυνατών παραλλαγών επίλυσης ενός προβλήματος (τρόπων επίτευξης του στόχου) και την επιλογή ανάμεσά τους μιας ή περισσότερων καλύτερων παραλλαγών, κατασκευάζονται τυπικά μοντέλα βέλτιστης επιλογής. Το μοντέλο δίνει μια απλοποιημένη αναπαράσταση του πραγματικού προβλήματος και πρέπει να αντικατοπτρίζει τις πιο σημαντικές και αντικειμενικά υπάρχουσες εξαρτήσεις και σχέσεις μεταξύ των παραλλαγών, των χαρακτηριστικών που τις περιγράφουν και των περιορισμών που ορίζονται από ελεγχόμενους και μη ελεγχόμενους παράγοντες. Η κατασκευή ενός τέτοιου μοντέλου είναι έργο των συμβούλων-αναλυτών και εμπειρογνωμόνων με τη συμμετοχή του ΑΠ. Κατά την κατασκευή του μοντέλου επιλογής, πρέπει να σταθμίζουμε την επάρκεια και τη λεπτομέρεια του μοντέλου σε σχέση με την ακρίβεια της απαιτούμενης λύσης του πραγματικού προβλήματος επιλογής, καθώς και με τον όγκο των πληροφοριών που απαιτούνται για την εύρεση της λύσης — τόσο των ήδη διαθέσιμων όσο και εκείνων που αποκτώνται επιπλέον.
Περιορισμοί της βελτιστοποιητικής προσέγγισης
Τα προβλήματα βελτιστοποίησης είναι αυστηρά τυπικά μαθηματικά προβλήματα. Η πρακτική σημασία των λύσεων τέτοιων προβλημάτων εξαρτάται άμεσα από το πόσο καλό είναι το αρχικό μαθηματικό μοντέλο. Σε σύνθετα συστήματα, η μαθηματική μοντελοποίηση είναι δυσχερής, κατά προσέγγιση, ανακριβής. Όσο πιο σύνθετο είναι το σύστημα, τόσο πιο προσεκτικά πρέπει να αντιμετωπίζουμε τη βελτιστοποίησή του.
Από την άποψη της συστημικής ανάλυσης, η σχέση με τη βελτιστοποίηση μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: είναι ένα ισχυρό μέσο αύξησης της αποτελεσματικότητας, αλλά πρέπει να το χρησιμοποιούμε με αυξανόμενη προσοχή καθώς αυξάνεται η πολυπλοκότητα του προβλήματος.
Παρά τη φανερή χρησιμότητα της ιδέας της βελτιστοποίησης, η πράξη απαιτεί προσεκτική χρήση της. Για το συμπέρασμα αυτό υπάρχουν αρκετά ισχυροί λόγοι.
- Η βέλτιστη λύση αποδεικνύεται συχνά ασταθής: φαινομενικά ασήμαντες αλλαγές στις συνθήκες του προβλήματος μπορεί να οδηγήσουν στην επιλογή ουσιαστικά διαφορετικών εναλλακτικών.
- Το εξεταζόμενο σύστημα είναι μέρος κάποιου ευρύτερου συστήματος, και τότε η τοπική βελτιστοποίηση δεν θα οδηγήσει απαραίτητα στο ίδιο αποτέλεσμα που θα απαιτηθεί από το υποσύστημα κατά τη βελτιστοποίηση του συστήματος στο σύνολό του. Αυτό δημιουργεί την ανάγκη σύνδεσης των κριτηρίων των υποσυστημάτων με τα κριτήρια του συστήματος, καθιστώντας συχνά περιττή την τοπική βελτιστοποίηση.
- Τα κριτήρια χαρακτηρίζουν τον στόχο μόνο έμμεσα, μερικές φορές καλύτερα, μερικές χειρότερα, αλλά πάντα κατά προσέγγιση. Η μεγιστοποίηση του κριτηρίου βελτιστότητας ταυτίζεται συχνά με τον στόχο, ενώ στην πραγματικότητα είναι διαφορετικά πράγματα. Ουσιαστικά, το κριτήριο και ο στόχος σχετίζονται μεταξύ τους όπως το μοντέλο με το πρωτότυπο, με όλες τις απορρέουσες ιδιαιτερότητες. Πολλοί στόχοι είναι δύσκολο ή ακόμα και αδύνατο να περιγραφούν ποσοτικά.
- Χωρίς να ορίσουμε όλους τους απαραίτητους περιορισμούς, μπορεί ταυτόχρονα με τη μεγιστοποίηση του κύριου κριτηρίου να λάβουμε απρόβλεπτες και ανεπιθύμητες παρενέργειες.
Βιβλιογραφία
- Ventzel E. S. Έρευνα επιχειρήσεων: προβλήματα, αρχές, μεθοδολογία. — Μ.: Nauka, 1988. (Ή μεταγενέστερη έκδοση)
- Taha, Hamdy A. Operations Research: An Introduction. — Pearson. (Να αναφερθεί η έκδοση, π.χ. 10th ed., 2017)
- Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introduction to Operations Research. — McGraw-Hill Education.