Optimisation

Optimal — le meilleur dans des conditions données. La qualité est évaluée à l'aide d'un critère d'optimalité, et les conditions sont définies sous forme de contraintes sur des critères supplémentaires.

L'aspiration à améliorer l'efficacité du travail, de la créativité, et de toute activité ciblée, est une tendance naturelle de l'être humain qui trouve une expression claire et compréhensible dans l'idée d'optimalité. La différence entre la compréhension strictement scientifique et la compréhension « commune » ou quotidienne de l'optimalité est très faible. Certes, des expressions telles que « le plus optimal » ou « obtenir un effet maximal pour un coût minimal » sont mathématiquement incorrectes, mais les personnes qui les utilisent expriment en réalité une idée juste de manière non rigoureuse et maladroite : dès qu'il s'agit d'une optimisation concrète, elles corrigent rapidement et facilement leurs formulations.

L'optimisation — en mathématiques, en informatique et en recherche opérationnelle — est le problème de la recherche de l'extremum (minimum ou maximum) d'une fonction objectif dans une certaine région d'un espace vectoriel de dimension finie, délimitée par un ensemble d'égalités et/ou d'inégalités linéaires et/ou non linéaires.

Modèles d'optimisation

Un modèle d'optimisation est un modèle de prise de décision contenant un indicateur de performance (fonction objectif) qui doit être optimisé tout en respectant un ensemble de contraintes données.

Les modèles d'optimisation sont conçus pour déterminer les paramètres optimaux (les meilleurs) d'un objet modélisé selon un certain critère, ou pour trouver le mode de gestion optimal (le meilleur) d'un processus. Une partie des paramètres du modèle est considérée comme des paramètres de contrôle, dont la variation permet d'obtenir différentes combinaisons de valeurs pour les paramètres de sortie. En règle générale, ces modèles sont construits à l'aide d'un ou plusieurs modèles descriptifs et incluent un critère permettant de comparer les différentes combinaisons de valeurs des paramètres de sortie afin de choisir la meilleure. Des contraintes sous forme d'égalités et d'inégalités, liées aux spécificités de l'objet ou du processus considéré, peuvent être imposées au domaine de valeurs des paramètres d'entrée. L'objectif des modèles d'optimisation est de trouver des paramètres de contrôle admissibles pour lesquels le critère de choix atteint sa « meilleure valeur ».

Modèles d'optimisation en recherche opérationnelle

Le problème est formulé sous la forme d'un modèle mathématique. Le modèle mathématique type en recherche opérationnelle est présenté comme suit :

Maximisation ou minimisation de la fonction objectif, sous réserve du respect des contraintes

Les solutions sont dites optimales si elles sont préférables à d'autres selon un ou plusieurs critères. Chaque choix de la meilleure option est spécifique, car il est basé sur la conformité à des critères établis. En parlant d'une option optimale, il faut préciser ces critères (« optimal selon... »). Ce qui est optimal selon un critère ne le sera pas nécessairement selon un autre.

Solution admissible — une solution qui satisfait à toutes les contraintes du modèle. Dans certains cas, il peut exister une infinité de solutions admissibles.

Solution optimale — une solution qui est non seulement admissible, mais pour laquelle la fonction objectif atteint sa valeur maximale ou minimale.

Optimisation — la maximisation ou la minimisation de la fonction objectif.

Solution optimale — un ensemble de valeurs admissibles des variables de décision qui optimise la fonction objectif d'un modèle d'optimisation.

Modèle de choix optimal

Un grand nombre de problèmes de choix rencontrés en pratique se ramènent à la recherche des meilleures options ou des plus préférables pour une personne, et souvent à la recherche de la seule meilleure option. Chaque décideur a ses propres conceptions subjectives de ce qui est préférable pour lui dans une situation de choix spécifique.

Il existe de nombreuses tâches pour lesquelles il est possible de construire un modèle mathématique de choix, où la notion de meilleure option est formalisée par la définition d'un ou plusieurs indicateurs numériques de performance ou critères de qualité de la décision. Bien que définis par le décideur, ces indicateurs ont un caractère objectif, déterminé par le contenu du problème à résoudre, et s'expriment par des fonctions dépendant de variables qui mesurent les propriétés des options. Dans de tels cas, l'option de décision la plus préférable pour le décideur est considérée comme l'option dite optimale, qui correspond à la valeur extrémale d'un ou plusieurs indicateurs de performance de la décision dans les conditions existantes.

Un point fondamental pour la formulation d'un problème de choix optimal est la possibilité de décrire la situation problématique et les préférences du décideur sous une forme quantitative. Cela signifie, premièrement, que les options de solution possibles (alternatives, objets, modes d'action) sont définies par des caractéristiques quantitatives (variables, paramètres, attributs) mesurées à l'aide d'échelles numériques. Deuxièmement, des indicateurs quantitatifs (critères d'optimalité, indicateurs de performance, fonctions objectif, fonctions de valeur) doivent être spécifiés, par la valeur desquels la qualité de l'option choisie est évaluée. De telles situations sont caractéristiques des problèmes bien structurés et des situations de choix répétitives, typiques de la recherche opérationnelle et de la commande optimale.

Pour analyser les options possibles de résolution d'un problème (moyens d'atteindre un objectif) et choisir parmi elles une ou plusieurs des meilleures, des modèles formels de choix optimal sont construits. Le modèle offre une représentation simplifiée du problème réel et doit refléter les dépendances et les liens les plus importants et objectivement existants entre les options, leurs caractéristiques descriptives et les contraintes, qui sont définies par des facteurs contrôlables et non contrôlables. La construction d'un tel modèle est la tâche des consultants-analystes et des experts, avec la participation du décideur. Lors de la construction d'un modèle de choix, il faut mettre en balance l'adéquation et le niveau de détail du modèle avec la précision requise de la solution au problème de choix réel, ainsi qu'avec le volume d'informations nécessaires pour trouver la solution — qu'elles soient déjà disponibles ou à obtenir.

Limites de l'approche d'optimisation

Les problèmes d'optimisation sont des problèmes mathématiques strictement formels. La valeur pratique des solutions à de tels problèmes dépend directement de la qualité du modèle mathématique initial. Dans les systèmes complexes, la modélisation mathématique est difficile, approximative et imprécise. Plus le système est complexe, plus il faut être prudent avec son optimisation.

Du point de vue de l'analyse systémique, l'attitude envers l'optimisation peut être formulée comme suit : c'est un outil puissant pour améliorer l'efficacité, mais il doit être utilisé avec une prudence croissante à mesure que la complexité du problème augmente.

Malgré l'utilité évidente de l'idée d'optimisation, la pratique exige de la manipuler avec précaution. Il existe des raisons solides pour cette conclusion.

1. La solution optimale s'avère souvent instable : des changements apparemment mineurs dans les conditions du problème peuvent conduire au choix d'alternatives très différentes.
2. Le système considéré fait partie d'un système plus grand, et l'optimisation locale ne mènera pas nécessairement au même résultat que celui qui serait requis du sous-système lors de l'optimisation du système global. Cela nécessite de lier les critères des sous-systèmes aux critères du système, rendant souvent l'optimisation locale superflue.
3. Les critères ne caractérisent l'objectif que de manière indirecte, parfois mieux, parfois moins bien, mais toujours de manière approximative. La maximisation du critère d'optimalité est souvent assimilée à l'objectif, alors qu'en réalité, ce sont deux choses différentes. En fait, le critère et l'objectif sont liés comme un modèle et son original, avec toutes les particularités qui en découlent. De nombreux objectifs sont difficiles, voire impossibles, à décrire quantitativement.
4. Sans définir toutes les contraintes nécessaires, nous pouvons, en même temps que la maximisation du critère principal, obtenir des effets secondaires imprévus et indésirables.

Bibliographie

• Ventzel, E. S. Recherche opérationnelle : problèmes, principes, méthodologie. — Moscou : Nauka, 1988. (Ou une édition plus récente)
• Taha, Hamdy A. Operations Research: An Introduction. — Pearson. (Indiquer l'édition, par exemple, 10e éd., 2017)
• Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introduction to Operations Research. — McGraw-Hill Education.