Operations research models — 운영 연구 모델

운영 연구 모델

운영 연구(OR)는 관리 및 의사결정 문제를 분석하고 해결하기 위해 모델을 활용한다. OR에서 모델이란 실제 운영 또는 시스템을 단순화하여 형식화한 표현으로, 해당 시스템의 행동을 연구하고 최선의 해결책을 찾기 위해 사용된다.

정량적 연구 방법을 적용하려면 운영의 수학적 모델을 구축해야 한다. 모델을 구축할 때 운영은 일반적으로 단순화되고 도식화되며, 이 도식은 다양한 수학적 도구를 통해 기술된다. 운영 모델이란 각종 함수, 방정식, 연립방정식 및 부등식과 같은 수학적 도구를 사용하여 운영을 충분히 정확하게 기술한 것이다. 운영의 효율성은 해당 운영이 주어진 과제를 수행하는 데 얼마나 적합한지로 정의된다.

운영 연구의 일반적 문제 설정 및 모델 구조

운영 연구에서 관리 상황은 목표와 결정을 포함한다. 결정은 목표를 달성하기 위해 내려진다. 관리 상황은 모델로 기술된다.

모델에는 결정이 목표에 얼마나 근접한지를 판단하는 명시적인 효율성 지표가 포함된다. 이 지표는 운영에 영향을 미치는 요인들에 따라 달라진다. 운영의 기술에 포함되는 모든 요인은 두 그룹으로 나눌 수 있다:

• 비통제(고정) 요인: 의사결정자(ЛПР)가 영향을 미칠 수 없는 외부 조건이나 시스템 매개변수(예: 시장 수요, 원자재 가격, 날씨).
• 통제(관리 가능) 요인: 의사결정자가 값을 선택하고 변경할 수 있는 운영 매개변수(예: 생산량, 배송 경로, 자원 배분). 이러한 요인은 결정 변수라고도 한다.

개념적으로 OR 모델은 입력과 출력의 결정에 중점을 둔 '블랙박스' 형태로 표현할 수 있다:

• 입력: 통제 및 비통제 변수(요인).
• 모델: 입력과 출력 간의 관계를 기술하는 수학적 도구(함수, 방정식, 부등식).
• 출력: 효율성 기준(목적 함수).

특정 함수로 표현되는 효율성 기준을 목적 함수라고 한다. 목적 함수는 수학적으로 형식화된 효율성 지표로, 최대화 또는 최소화해야 하는 값이다.

모델의 수학적 정의

OR에서 수학적 모델이란 입력 매개변수의 해당 값으로부터 모델링 대상 객체의 출력 매개변수 값을 허용 가능한 입출력 매개변수 범위 내에서 도출할 수 있도록 하는 임의의 연산자를 의미한다.

OR의 전형적인 수학적 모델

OR의 대부분의 문제는 최적화로 귀결되며, 다음과 같은 수학적 모델의 형태로 정식화된다:

목적 함수를 제약 조건을 만족하면서 최대화(또는 최소화)한다.

• 목적 함수: 결정을 평가하는 기준을 정량적으로 표현한다(예: 이익, 비용, 시간). 목적 함수의 선택은 연구에서 가장 핵심적이고 중요한 단계이다. 잘못된 기준에서 최적 해를 구하는 것보다 올바른 기준에서 최적이 아닌 해를 구하는 것이 낫다.
• 제약 조건: 모델의 변수가 만족해야 하는 수학적 표현(등식 또는 부등식 형태). 자원의 실제 한계, 기술적 요건, 계획 과제 및 기타 조건을 반영한다. 제약 조건은 가능한 해의 집합을 축소시킨다.

OR 모델에서의 해

• 허용 가능한 해: 모델의 모든 제약 조건을 만족하는 변수 값의 임의 집합. 모든 허용 가능한 해의 집합은 허용 가능한 해의 영역(feasible region)을 형성하며, 이러한 해는 무한히 많을 수 있다.
• 최적 해: 목적 함수가 극값(최대값 또는 최솟값)에 도달하는 허용 가능한 해. 최적 해(존재하는 경우)는 항상 허용 가능한 해의 영역 내에 있다.
  • 경우에 따라 최적 해가 존재하지 않을 수 있다(예: 허용 가능한 해의 영역이 비어 있거나 목적 함수가 해당 영역에서 유계가 아닌 경우).
  • 주어진 최적화 기준에 따라 다른 해보다 선호되는 해를 최적 해라고 한다.
  • 최적성은 항상 기준에 상대적이다("...에 관한 최적").

운영 연구 모델의 분류

OR 모델은 사용되는 수학적 도구와 문제 유형 등 다양한 기준에 따라 분류할 수 있다:

수학적 구조에 따른 분류

• 선형 계획법(LP) 모델: 목적 함수와 모든 제약 조건이 변수의 선형 함수인 모델.
• 정수 LP 모델: 일부 또는 모든 변수가 정수값을 취해야 하는 모델.

• 비선형 계획법(NLP) 모델: 목적 함수 및/또는 제약 조건이 비선형 함수인 모델.
• 볼록 계획법 모델: NLP의 특수한 경우로, 목적 함수가 최소화(또는 오목 함수가 최대화)되고 허용 가능한 해의 영역이 볼록 집합인 모델.

• 동적 계획법(DP) 모델: 결정이 시간적으로 단계별로 이루어지는 문제에 사용되며, 최적성 기준이 점화식으로 표현되는 모델.
• 휴리스틱 모델: 계산 복잡성이 높아 정확한 최적해를 구하기 어려울 때 적용된다. "충분히 좋은" 해를 찾기 위해 휴리스틱 방법을 사용한다.

OR의 전형적인 문제 유형에 따른 분류

• 네트워크 계획 및 관리 문제: 작업 복합체의 일정 및 비용 최적화(예: 임계 경로법).
• 대기 행렬 문제(대기 행렬 이론): 대기 행렬이 있는 시스템의 분석 및 최적화(서비스 채널 수, 서비스 시간 결정).
• 재고 관리 문제: 수요를 충족하면서 비용을 최소화하기 위한 최적 재고 수준 및 주문 규모 결정.
• 자원 배분 문제: 경쟁하는 운영 또는 활동 간에 한정된 자원을 최적으로 할당.
• 장비 수리 및 교체 문제: 마모 및 노후화를 고려한 장비 수리 또는 교체의 최적 시점 결정.
• 게임 이론 모델: 서로 다른 목표를 추구하는 여러 당사자가 관여하는 갈등 상황을 분석하고 최적 전략을 탐색.

참고 문헌

• 벤첼 E. S. 운영 연구: 문제, 원리, 방법론. — 모스크바: 나우카, 1988.
• 아코프 R., 사시에니 M. 운영 연구의 기초. — 모스크바: 미르, 1971.
• Taha, Hamdy A. Operations Research: An Introduction. — Pearson. (10th ed., 2017)

같이 보기

• 운영 연구
• 수학적 모델
• 최적화
• 목적 함수
• 제약 조건
• 허용 가능한 해
• 최적 해
• 선형 계획법
• 동적 계획법
• 대기 행렬 이론
• 게임 이론
• 시뮬레이션 모델링
• 시스템 분석