Operations research models — Μοντέλα έρευνας λειτουργιών

Μοντέλα έρευνας λειτουργιών

Η έρευνα λειτουργιών (ΕΛ) χρησιμοποιεί μοντέλα για την ανάλυση και επίλυση προβλημάτων διαχείρισης και λήψης αποφάσεων. Το μοντέλο στην ΕΛ είναι μια απλοποιημένη, τυποποιημένη αναπαράσταση μιας πραγματικής λειτουργίας ή συστήματος, που προορίζεται για τη μελέτη της συμπεριφοράς της και την εύρεση των βέλτιστων λύσεων.

Για την εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων έρευνας απαιτείται η κατασκευή ενός μαθηματικού μοντέλου της λειτουργίας. Κατά την κατασκευή του μοντέλου, η λειτουργία συνήθως απλοποιείται, σχηματοποιείται, και αυτό το σχήμα περιγράφεται με τη βοήθεια κάποιου μαθηματικού εργαλείου. Το μοντέλο λειτουργίας είναι μια αρκετά ακριβής περιγραφή της λειτουργίας με τη βοήθεια μαθηματικού εργαλείου (διαφόρων ειδών συναρτήσεων, εξισώσεων, συστημάτων εξισώσεων και ανισώσεων). Η αποτελεσματικότητα της λειτουργίας ορίζεται ως ο βαθμός καταλληλότητάς της για την εκτέλεση του έργου.

Γενική διατύπωση προβλήματος και δομή μοντέλου στην ΕΛ

Στην έρευνα λειτουργιών, η διαχειριστική κατάσταση περιλαμβάνει στόχους και αποφάσεις. Οι αποφάσεις λαμβάνονται για την επίτευξη του στόχου. Η διαχειριστική κατάσταση περιγράφεται από το μοντέλο.

Το μοντέλο περιέχει ρητό δείκτη αποτελεσματικότητας, βάσει του οποίου προσδιορίζεται πόσο κοντά είναι η απόφαση στον στόχο. Αυτός ο δείκτης εξαρτάται από παράγοντες που επηρεάζουν τη λειτουργία. Όλοι οι παράγοντες που εισέρχονται στην περιγραφή της λειτουργίας μπορούν να χωριστούν σε δύο ομάδες:

• Μη ελεγχόμενοι (σταθεροί) παράγοντες: Εξωτερικές συνθήκες ή παράμετροι του συστήματος, τις οποίες ο υπεύθυνος λήψης αποφάσεων (ΥΛΑ) δεν μπορεί να επηρεάσει (π.χ. η ζήτηση της αγοράς, οι τιμές πρώτων υλών, ο καιρός).
• Ελεγχόμενοι (διαχειρίσιμοι) παράγοντες: Παράμετροι της λειτουργίας, των οποίων τις τιμές ο ΥΛΑ μπορεί να επιλέγει και να μεταβάλλει (π.χ. όγκος παραγωγής, διαδρομή παράδοσης, κατανομή πόρων). Αυτοί οι παράγοντες ονομάζονται επίσης μεταβλητές απόφασης.

Εννοιολογικά, το μοντέλο ΕΛ μπορεί να παρασταθεί ως «μαύρο κουτί», όπου η κύρια προσοχή δίνεται στον προσδιορισμό εισόδων και εξόδων:

• Είσοδοι: Ελεγχόμενες και μη ελεγχόμενες μεταβλητές (παράγοντες).
• Μοντέλο: Μαθηματικό εργαλείο (συναρτήσεις, εξισώσεις, ανισώσεις) που περιγράφει τις σχέσεις μεταξύ εισόδων και εξόδων.
• Έξοδος: Κριτήριο αποτελεσματικότητας (Αντικειμενική συνάρτηση).

Το κριτήριο αποτελεσματικότητας, που εκφράζεται ως κάποια συνάρτηση, ονομάζεται αντικειμενική συνάρτηση. Η αντικειμενική συνάρτηση είναι ένας μαθηματικά διατυπωμένος (τυποποιημένος) δείκτης αποτελεσματικότητας, τον οποίο πρέπει να μεγιστοποιήσουμε ή να ελαχιστοποιήσουμε.

Μαθηματικός ορισμός μοντέλου

Ως μαθηματικό μοντέλο στην ΕΛ νοείται οποιοσδήποτε τελεστής που επιτρέπει, βάσει των αντίστοιχων τιμών των παραμέτρων εισόδου, να προσδιορίζονται οι τιμές εξόδου των παραμέτρων του αντικειμένου μοντελοποίησης εντός του συνόλου των επιτρεπτών τιμών εισόδου και εξόδου για το μοντελοποιούμενο αντικείμενο.

Τυπικό μαθηματικό μοντέλο ΕΛ

Η πλειονότητα των προβλημάτων ΕΛ ανάγεται σε βελτιστοποίηση και διατυπώνεται με τη μορφή του ακόλουθου μαθηματικού μοντέλου:

Μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) της αντικειμενικής συνάρτησης υπό την εκπλήρωση περιορισμών.

• Αντικειμενική συνάρτηση: Εκφράζει ποσοτικά το κριτήριο βάσει του οποίου αξιολογείται η απόφαση (π.χ. κέρδος, κόστος, χρόνος). Η επιλογή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι κεντρικής σημασίας και κρίσιμη στιγμή της έρευνας. Είναι προτιμότερο να βρεθεί μη βέλτιστη λύση με σωστά επιλεγμένο κριτήριο, παρά βέλτιστη λύση με λανθασμένο.
• Περιορισμοί: Μαθηματικές εκφράσεις (υπό μορφή ισοτήτων ή ανισοτήτων) που πρέπει να ικανοποιούν οι μεταβλητές του μοντέλου. Αντικατοπτρίζουν πραγματικά όρια πόρων, τεχνολογικές απαιτήσεις, προγραμματισμένες εργασίες και άλλες συνθήκες. Οι περιορισμοί περιορίζουν το σύνολο των πιθανών λύσεων.

Λύσεις στα μοντέλα ΕΛ

• Εφικτή λύση: Οποιοδήποτε σύνολο τιμών μεταβλητών που ικανοποιεί όλους τους περιορισμούς του μοντέλου. Το σύνολο όλων των εφικτών λύσεων αποτελεί την περιοχή εφικτών λύσεων (ΠΕΛ). Τέτοιες λύσεις μπορεί να είναι απείρως πολλές.
• Βέλτιστη λύση: Εφικτή λύση για την οποία η αντικειμενική συνάρτηση φτάνει την ακραία (μέγιστη ή ελάχιστη) τιμή της. Η βέλτιστη λύση (εφόσον υπάρχει) βρίσκεται πάντα στην ΠΕΛ.
  • Σε ορισμένες περιπτώσεις η βέλτιστη λύση μπορεί να μην υπάρχει (π.χ. εάν η ΠΕΛ είναι κενή ή η αντικειμενική συνάρτηση δεν είναι φραγμένη στην ΠΕΛ).
  • Βέλτιστη ονομάζεται η λύση που βάσει του δοθέντος κριτηρίου βελτιστοποίησης είναι προτιμότερη από τις υπόλοιπες.
  • Η βελτιστότητα είναι πάντα σχετική ως προς το κριτήριο («βέλτιστο κατά...»).

Ταξινόμηση μοντέλων έρευνας λειτουργιών

Τα μοντέλα ΕΛ μπορούν να ταξινομηθούν με βάση διάφορα χαρακτηριστικά, ιδίως ανάλογα με το μαθηματικό εργαλείο που χρησιμοποιείται και τον τύπο του προβλήματος:

Ανά μαθηματική δομή

• Μοντέλα γραμμικού προγραμματισμού (ΓΠ): Η αντικειμενική συνάρτηση και όλοι οι περιορισμοί είναι γραμμικές συναρτήσεις των μεταβλητών.
• Μοντέλα ακέραιου ΓΠ: Μέρος ή όλες οι μεταβλητές πρέπει να λαμβάνουν ακέραιες τιμές.

• Μοντέλα μη γραμμικού προγραμματισμού (ΜΓΠ): Η αντικειμενική συνάρτηση και/ή οι περιορισμοί είναι μη γραμμικές συναρτήσεις.
• Μοντέλα κυρτού προγραμματισμού: Ειδική περίπτωση ΜΓΠ, όπου η αντικειμενική συνάρτηση ελαχιστοποιείται (ή μεγιστοποιείται κοίλη), και η ΠΕΛ είναι κυρτό σύνολο.

• Μοντέλα δυναμικού προγραμματισμού (ΔΠ): Χρησιμοποιούνται για προβλήματα όπου η απόφαση λαμβάνεται σταδιακά στο χρόνο, και το κριτήριο βελτιστότητας εκφράζεται μέσω αναδρομικών σχέσεων.
• Ευρετικά μοντέλα: Εφαρμόζονται όταν η εύρεση ακριβούς βέλτιστου είναι αδύνατη λόγω υψηλής υπολογιστικής πολυπλοκότητας. Χρησιμοποιούνται ευρετικές μέθοδοι για την εύρεση «αρκετά καλής» λύσης.

Ανά τυπικά προβλήματα ΕΛ

• Προβλήματα δικτυακού σχεδιασμού και διαχείρισης: Βελτιστοποίηση χρόνων και κόστους εκτέλεσης συνόλων εργασιών (π.χ. μέθοδος κρίσιμης διαδρομής).
• Προβλήματα μαζικής εξυπηρέτησης (Θεωρία ουρών): Ανάλυση και βελτιστοποίηση συστημάτων με ουρές αναμονής (προσδιορισμός αριθμού καναλιών εξυπηρέτησης, χρόνου εξυπηρέτησης).
• Προβλήματα διαχείρισης αποθεμάτων: Προσδιορισμός βέλτιστων επιπέδων αποθεμάτων και μεγεθών παραγγελιών για ελαχιστοποίηση κόστους με ικανοποίηση της ζήτησης.
• Προβλήματα κατανομής πόρων: Βέλτιστη ανάθεση περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιστικών λειτουργιών ή δραστηριοτήτων.
• Προβλήματα επισκευής και αντικατάστασης εξοπλισμού: Προσδιορισμός βέλτιστων στιγμών για επισκευή ή αντικατάσταση εξοπλισμού λαμβάνοντας υπόψη φθορά και παλαίωση.
• Μοντέλα θεωρίας παιγνίων: Ανάλυση καταστάσεων σύγκρουσης με πολλαπλά μέρη που επιδιώκουν διαφορετικούς στόχους, και αναζήτηση βέλτιστων στρατηγικών.

Βιβλιογραφία

• Ventzel E. S. Έρευνα λειτουργιών: προβλήματα, αρχές, μεθοδολογία. — Μόσχα: Nauka, 1988.
• Ackoff R., Sasieni M. Βασικές αρχές έρευνας λειτουργιών. — Μόσχα: Mir, 1971.
• Taha, Hamdy A. Operations Research: An Introduction. — Pearson. (10th ed., 2017)

Δείτε επίσης

• Έρευνα λειτουργιών
• Μαθηματικό μοντέλο
• Βελτιστοποίηση
• Αντικειμενική συνάρτηση
• Περιορισμοί
• Εφικτή λύση
• Βέλτιστη λύση
• Γραμμικός προγραμματισμός
• Δυναμικός προγραμματισμός
• Θεωρία μαζικής εξυπηρέτησης
• Θεωρία παιγνίων
• Προσομοίωση
• Ανάλυση συστημάτων