Objective function — 目的関数

目的関数（もくてきかんすう）とは、数学的に定式化された意思決定者の効率性や選好の基準であり、その値は選択や制御の問題を解決する過程で最適化（最大化または最小化）されます。通常、目的関数の値は、最適な解を探索する過程で変更可能な一連の制御変数（決定変数）に依存します。目的関数は、解の選択が行われる基盤となる目標や選好を定量的に表現したものです。これは最適化、システム分析、意思決定理論の問題において中心的な役割を果たします。

モデリングにおける目的と役割

目的関数は以下の目的で使用されます：

• 目標の定式化：質的な目標（管理、設計、計画）を定量的に測定可能な形式に変換します。
• 代替案の比較：様々な代替案や戦略を客観的に比較するための単一の基準を提供します。
• 最適化：制約によって定義される実行可能領域内で関数の極値（最大値または最小値）を見つけることにより、最良の解を探索します。

構造と種類

数学的に、目的関数は決定変数のベクトルに依存します。その形式により、目的関数は次のように分類されます：

• 線形：線形計画問題でよく使用されます。
• 非線形：非線形な依存関係（例えば、二次、べき乗、指数関数）を含みます。非線形計画法で適用されます。
• 滑らかまたは不連続。
• 単峰性（1つの極値を持つ）または多峰性。

また、問題は次のように区別されます：

• 単一目的：1つの目的関数が最適化されます。
• 多目的：しばしば互いに矛盾する複数の目的関数からなるベクトルが最適化されます。

目的関数の例

典型的な目的関数の例は以下の通りです：

• 最大化の場合：利益、生産性、効率、効用、生産量
• 最小化の場合：コスト、費用、実行時間、損失、リスク、計画からの逸脱の合計

正確な選択の重要性

目的関数の選択は、オペレーションズ・リサーチの問題を定式化する上で中心的な段階です。応用文献で指摘されているように、誤った基準での最適解よりも、正確性は劣るものの正しく選ばれた基準の方が望ましいとされます。不適切な目的関数は、意思決定者やシステムの実際の目標に合致しない解を導き出すことになります。

最小化と最大化の相互関係

多くの実際的な問題では、ある目的関数の最小化が、論理的に別の目的関数の最大化につながることがあります。例えば、生産プロセスにおけるコストや処理時間の削減が、利益や生産性の向上に直接貢献することがあります。

この原則は、リーン生産方式の概念において顕著に現れます。そこでは、効率向上の手段として無駄の排除に重点が置かれています。

リーン生産方式における無駄

• 作りすぎの無駄
• 手待ちの無駄
• 運搬の無駄
• 加工の無駄
• 在庫の無駄
• 動作の無駄
• 不良品・手直しの無駄

これらの無駄を排除または最小化することが、オペレーションズ・リサーチやシステムの管理における課題の基礎を形成します。これを基に、以下のようなモデルが開発されます：

• 在庫管理モデル
• 待ち行列モデル
• 資源配分モデル

目的関数と制約

目的関数の最適化は、常に制約を考慮して行われます。制約は実行可能領域を定義します。これは、与えられた条件を満たすすべての代替案（変数の値）の集合です。最適解とは、実行可能領域内で目的関数が極値に達する点のことです。

ORと意思決定理論における役割

目的関数は、オペレーションズ・リサーチの問題設定に不可欠な要素であり、意思決定理論における選択の基準を定式化するためのツールです。これにより、選好を構造化するだけでなく、数学的な手法を用いて最適な解や許容解を見つけることが可能になります。

参考文献

• Ventsel E. S. 『オペレーションズ・リサーチ：課題、原理、方法論』モスクワ：ナウカ出版社、1988年。
• Taha H. A. Operations Research: An Introduction. — Pearson, 2017. (10th ed.)
• Hillier F. S., Lieberman G. J. Introduction to Operations Research. — McGraw-Hill Education, 2021. (11th ed.)