Objective function — Αντικειμενική συνάρτηση

Αντικειμενική συνάρτηση — είναι ένα μαθηματικά διατυπωμένο κριτήριο αποδοτικότητας ή προτίμησης του υπεύθυνου λήψης αποφάσεων (ΥΛΑ), η τιμή του οποίου βελτιστοποιείται (μεγιστοποιείται ή ελαχιστοποιείται) κατά τη διαδικασία επίλυσης ενός προβλήματος επιλογής ή ελέγχου. Κατά κανόνα, η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης εξαρτάται από ένα σύνολο ελεγχόμενων μεταβλητών (μεταβλητών απόφασης), που μπορούν να μεταβάλλονται κατά την αναζήτηση της βέλτιστης λύσης. Η αντικειμενική συνάρτηση αντικατοπτρίζει την ποσοτική έκφραση των στόχων ή προτιμήσεων, βάσει της οποίας πραγματοποιείται η επιλογή απόφασης. Διαδραματίζει κεντρικό ρόλο στα προβλήματα βελτιστοποίησης, της συστημικής ανάλυσης και της θεωρίας λήψης αποφάσεων.

Σκοπός και ρόλος στη μοντελοποίηση

Η αντικειμενική συνάρτηση χρησιμεύει για:

• Τυποποίηση του στόχου: Μετατροπή ποιοτικών στόχων (διαχείριση, σχεδιασμός, προγραμματισμός) σε ποσοτικά μετρήσιμη μορφή.
• Σύγκριση εναλλακτικών: Παροχή ενιαίου κριτηρίου για την αντικειμενική σύγκριση διαφόρων εναλλακτικών λύσεων ή στρατηγικών.
• Βελτιστοποίηση: Εύρεση της βέλτιστης λύσης μέσω εντοπισμού του ακρότατου (μεγίστου ή ελαχίστου) της συνάρτησης στην περιοχή των δυνατών λύσεων, που ορίζεται από τους περιορισμούς.

Δομή και τύποι

Μαθηματικά, η αντικειμενική συνάρτηση εξαρτάται από το διάνυσμα των μεταβλητών απόφασης. Ως προς τη μορφή τους, οι αντικειμενικές συναρτήσεις μπορεί να είναι:

• Γραμμικές: Χρησιμοποιούνται συχνά σε προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού.
• Μη γραμμικές: Περιέχουν μη γραμμικές εξαρτήσεις (π.χ. τετραγωνικές, δυναμικές, εκθετικές). Εφαρμόζονται στον μη γραμμικό προγραμματισμό.
• Λείες ή ασυνεχείς.
• Μονοτροπικές (με ένα ακρότατο) ή πολυτροπικές (με πολλά ακρότατα).

Επίσης διακρίνονται προβλήματα:

• Μονοκριτηριακά: Βελτιστοποιείται μία αντικειμενική συνάρτηση.
• Πολυκριτηριακά: Βελτιστοποιείται διάνυσμα πολλών αντικειμενικών συναρτήσεων, που συχνά έρχονται σε αντίθεση μεταξύ τους.

Παραδείγματα αντικειμενικών συναρτήσεων

Τυπικά παραδείγματα αντικειμενικών συναρτήσεων είναι:

• κατά τη μεγιστοποίηση: κέρδος, παραγωγικότητα, συντελεστής απόδοσης, χρησιμότητα, όγκος παραγωγής·
• κατά την ελαχιστοποίηση: κόστος, δαπάνες, χρόνος εκτέλεσης, απώλειες, κίνδυνος, άθροισμα αποκλίσεων από το πλάνο.

Σημασία της ορθής επιλογής

Η επιλογή της αντικειμενικής συνάρτησης αποτελεί κεντρικό στάδιο στη διατύπωση του ερευνητικού προβλήματος. Όπως επισημαίνεται στην εφαρμοσμένη βιβλιογραφία, ένα σωστά επιλεγμένο κριτήριο με λιγότερο ακριβή λύση είναι προτιμότερο από μια βέλτιστη λύση βασισμένη σε εσφαλμένο κριτήριο. Μια ακατάλληλη αντικειμενική συνάρτηση θα οδηγήσει σε λύση που δεν ανταποκρίνεται στους πραγματικούς στόχους του ΥΛΑ ή του συστήματος.

Αλληλεπίδραση ελαχιστοποίησης και μεγιστοποίησης

Σε πολλά πρακτικά προβλήματα, η ελαχιστοποίηση μιας αντικειμενικής συνάρτησης μπορεί λογικά να οδηγεί στη μεγιστοποίηση μιας άλλης. Για παράδειγμα, η μείωση του κόστους ή του χρόνου επεξεργασίας σε μια παραγωγική διαδικασία μπορεί να συμβάλλει άμεσα στην αύξηση του κέρδους ή της παραγωγικότητας.

Η αρχή αυτή εκδηλώνεται ιδιαίτερα ξεκάθαρα στο πλαίσιο της έννοιας της άπαχης παραγωγής (lean manufacturing), όπου η κύρια έμφαση δίδεται στην εξάλειψη των απωλειών ως τρόπο βελτίωσης της αποδοτικότητας.

Απώλειες στην άπαχη παραγωγή

• Υπερπαραγωγή·
• Αναμονή (αδράνεια)·
• Περιττές μεταφορές·
• Περιττά στάδια επεξεργασίας·
• Υπερβολικά αποθέματα·
• Περιττές μετακινήσεις·
• Ελαττωματικά προϊόντα.

Η εξάλειψη ή ελαχιστοποίηση αυτών των μορφών απωλειών αποτελεί τη βάση των προβλημάτων επιχειρησιακής έρευνας και συστημικής διαχείρισης. Στη βάση αυτή αναπτύσσονται:

• Μοντέλα διαχείρισης αποθεμάτων·
• Μοντέλα διαχείρισης ουρών αναμονής·
• Μοντέλα κατανομής πόρων.

Αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμοί

Η βελτιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης εκτελείται πάντα λαμβάνοντας υπόψη περιορισμούς. Οι περιορισμοί ορίζουν την περιοχή δυνατών λύσεων (ΠΔΛ) — το σύνολο όλων των εναλλακτικών (τιμών μεταβλητών) που ικανοποιούν τις δεδομένες συνθήκες. Η βέλτιστη λύση είναι το σημείο στην ΠΔΛ στο οποίο η αντικειμενική συνάρτηση επιτυγχάνει το ακρότατό της.

Ρόλος στην επιχειρησιακή έρευνα και τη θεωρία λήψης αποφάσεων

Η αντικειμενική συνάρτηση αποτελεί αναπόσπαστο μέρος της διατύπωσης προβλήματος επιχειρησιακής έρευνας και εργαλείο τυποποίησης κριτηρίων επιλογής στη θεωρία λήψης αποφάσεων. Επιτρέπει όχι μόνο τη δόμηση των προτιμήσεων, αλλά και την εφαρμογή μαθηματικών μεθόδων για την εύρεση βέλτιστων ή αποδεκτών λύσεων.

Βιβλιογραφία

• Вентцель Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. — М.: Наука, 1988.
• Taha, Hamdy A. Operations Research: An Introduction. — Pearson. (10th ed., 2017)
• Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introduction to Operations Research. — McGraw-Hill Education. (11th ed., 2021)

Δείτε επίσης

• Επιχειρησιακή έρευνα
• Βελτιστοποίηση
• Θεωρία λήψης αποφάσεων
• Κριτήριο
• Περιορισμοί
• Στόχος
• Μαθηματικό μοντέλο
• Θεωρία χρησιμότητας
• Γραμμικός προγραμματισμός
• Περιοχή δυνατών λύσεων