Modely operačního výzkumu

Modely operačního výzkumu

Operační výzkum (OV) využívá modely k analýze a řešení úloh řízení a rozhodování. Model v OV je zjednodušené, formalizované zobrazení reálné operace nebo systému, určené ke studiu jeho chování a hledání nejlepších řešení.

Pro uplatnění kvantitativních výzkumných metod je nutné sestavit matematický model operace. Při sestavování modelu se operace zpravidla zjednodušuje, schematizuje a toto schéma je popsáno pomocí toho či onoho matematického aparátu. Model operace je dostatečně přesný popis operace pomocí matematického aparátu (různých funkcí, rovnic, soustav rovnic a nerovností). Efektivnost operace je definována jako míra její přizpůsobenosti ke splnění úkolu.

Obecná formulace úlohy a struktura modelu v OV

V operačním výzkumu zahrnuje řídící situace cíle a rozhodnutí. Rozhodnutí jsou přijímána za účelem dosažení cíle. Řídící situace je popsána modelem.

Model obsahuje explicitní ukazatel efektivnosti, podle nějž se určuje, jak blízko je řešení cíli. Tento ukazatel závisí na faktorech, které ovlivňují operaci. Všechny faktory vstupující do popisu operace lze rozdělit do dvou skupin:

• Nekontrolovatelné (konstantní) faktory: Vnější podmínky nebo parametry systému, které rozhodovatel nemůže ovlivnit (například tržní poptávka, ceny surovin, počasí).
• Kontrolovatelné (řiditelné) faktory: Parametry operace, jejichž hodnoty může rozhodovatel vybírat a měnit (například objem výroby, trasa doručení, rozdělení zdrojů). Tyto faktory se také nazývají proměnné rozhodnutí.

Konceptuálně lze model OV představit jako „černou skříňku", kde je hlavní pozornost věnována určení vstupů a výstupů:

• Vstupy: Kontrolovatelné a nekontrolovatelné proměnné (faktory).
• Model: Matematický aparát (funkce, rovnice, nerovnosti) popisující vzájemné vztahy mezi vstupy a výstupy.
• Výstup: Kritérium efektivnosti (cílová funkce).

Kritérium efektivnosti, vyjádřené určitou funkcí, se nazývá cílová funkce. Cílová funkce je matematicky formulovaný (formalizovaný) ukazatel efektivnosti, který je třeba maximalizovat nebo minimalizovat.

Matematická definice modelu

Pod matematickým modelem v OV se rozumí libovolný operátor, který umožňuje na základě odpovídajících hodnot vstupních parametrů stanovit výstupní hodnoty parametrů modelovaného objektu v rámci množiny přípustných hodnot vstupních a výstupních parametrů pro modelovaný objekt.

Typický matematický model OV

Většina úloh OV se redukuje na optimalizaci a je formulována v podobě následujícího matematického modelu:

Maximalizovat (nebo minimalizovat) cílovou funkci při splnění omezení.

• Cílová funkce: Kvantitativně vyjadřuje kritérium, podle nějž je řešení hodnoceno (například zisk, náklady, čas). Volba cílové funkce je ústředním, odpovědným momentem výzkumu. Je lepší najít neoptimální řešení při správně zvoleném kritériu než optimální řešení při nesprávném.
• Omezení: Matematické výrazy (ve formě rovností nebo nerovností), kterým musí proměnné modelu vyhovovat. Odrážejí reálné limity zdrojů, technologické požadavky, plánované úkoly a další podmínky. Omezení zužují množinu možných řešení.

Řešení v modelech OV

• Přípustné řešení: Libovolný soubor hodnot proměnných, který splňuje všechna omezení modelu. Množina všech přípustných řešení tvoří oblast přípustných řešení (OPŘ). Takových řešení může být nekonečně mnoho.
• Optimální řešení: Přípustné řešení, při němž cílová funkce dosahuje své extrémní (maximální nebo minimální) hodnoty. Optimální řešení (pokud existuje) se vždy nachází v OPŘ.
  • V některých případech optimální řešení nemusí existovat (například pokud je OPŘ prázdná nebo cílová funkce není omezená na OPŘ).
  • Optimálním se nazývá řešení, které je podle daného kritéria optimalizace preferováno před ostatními.
  • Optimalita je vždy relativní vůči kritériu („optimální podle…").

Klasifikace modelů operačního výzkumu

Modely OV lze klasifikovat podle různých hledisek, zejména podle používaného matematického aparátu a typu úlohy:

Podle matematické struktury

• Modely lineárního programování (LP): Cílová funkce a všechna omezení jsou lineárními funkcemi proměnných.
• Modely celočíselného LP: Část nebo všechny proměnné musí nabývat celočíselných hodnot.

• Modely nelineárního programování (NLP): Cílová funkce a/nebo omezení jsou nelineárními funkcemi.
• Modely konvexního programování: Zvláštní případ NLP, kde se cílová funkce minimalizuje (nebo maximalizuje konkávní), přičemž OPŘ je konvexní množinou.

• Modely dynamického programování (DP): Používají se pro úlohy, kde je rozhodnutí přijímáno postupně v čase a kritérium optimálnosti je vyjádřeno prostřednictvím rekurentních vztahů.
• Heuristické modely: Používají se tehdy, kdy nalezení přesného optima není možné kvůli velké výpočetní složitosti. Využívají se heuristické metody pro hledání „dostatečně dobrého" řešení.

Podle typických úloh OV

• Úlohy síťového plánování a řízení: Optimalizace termínů a nákladů na realizaci komplexů prací (například metoda kritické cesty).
• Úlohy hromadné obsluhy (teorie front): Analýza a optimalizace systémů s frontami (určení počtu kanálů obsluhy, doby obsluhy).
• Úlohy řízení zásob: Určení optimálních úrovní zásob a velikostí objednávek pro minimalizaci nákladů při uspokojení poptávky.
• Úlohy rozdělování zdrojů: Optimální přidělování omezených zdrojů mezi konkurující operace nebo druhy činností.
• Úlohy oprav a výměny zařízení: Určení optimálních okamžiků pro opravu nebo výměnu zařízení s přihlédnutím k opotřebení a zastarávání.
• Modely teorie her: Analýza konfliktních situací s více stranami sledujícími různé cíle a hledání optimálních strategií.

Literatura

• Ventcel J. S. Operační výzkum: úlohy, principy, metodologie. — Moskva: Nauka, 1988.
• Ackoff R., Sasieni M. Základy operačního výzkumu. — Moskva: Mir, 1971.
• Taha, Hamdy A. Operations Research: An Introduction. — Pearson. (10th ed., 2017)

Viz také

• Operační výzkum
• Matematický model
• Optimalizace
• Cílová funkce
• Omezení
• Přípustné řešení
• Optimální řešení
• Lineární programování
• Dynamické programování
• Teorie hromadné obsluhy
• Teorie her
• Simulační modelování
• Systémová analýza