Modelado matemático

Modelado matemático es un método de investigación en el que un objeto, proceso o fenómeno real se reemplaza por su modelo matemático, lo que permite analizar el comportamiento del sistema utilizando métodos matemáticos.

Esencia del modelado matemático

El modelado matemático incluye:

• formalización de las características esenciales del objeto de estudio;
• construcción de un modelo matemático que exprese las relaciones entre los parámetros;
• investigación del modelo mediante métodos analíticos, numéricos o de simulación;
• interpretación de los resultados en relación con el sistema real.

Un modelo siempre es una simplificación de la realidad, reflejando deliberadamente solo aquellos aspectos que son importantes para los objetivos de la investigación o el diseño.

Objetivos del modelado matemático

Los modelos matemáticos se desarrollan para:

• describir la estructura, propiedades y funcionamiento de los sistemas;
• explicar los fenómenos observados mediante la identificación de patrones;
• predecir el comportamiento futuro de los sistemas bajo influencias dadas;
• optimizar procesos y sistemas de control;
• realizar experimentos virtuales que son inaccesibles o no deseables en la realidad.

Clasificación de los modelos matemáticos

• Por el método de descripción: Deterministas y estocásticos (probabilísticos).
• Por la naturaleza del tiempo: Estáticos y dinámicos.
• Por la naturaleza de las variables: Discretos y continuos.
• Por el grado de detalle: Macroscópicos, microscópicos, mesoscópicos.
• Por el aparato utilizado: Analíticos, numéricos, de simulación.
• Por su propósito: Descriptivos, predictivos, de optimización, de simulación.
• Por su estructura: Lineales y no lineales.
• Por el enfoque de construcción: Fenomenológicos (empíricos) y mecanicistas (teóricos).

Etapas del modelado matemático

En general, las etapas del modelado matemático son las siguientes:

1. Planteamiento del problema:
   • Definición del objetivo del modelado (¿qué queremos saber o hacer?).
   • Descripción del objeto o proceso y sus límites.
   • Identificación de los factores y características clave que deben tenerse en cuenta.
2. Construcción (o elección) del modelo:
   • Formalización: Traducción de la descripción del objeto y sus relaciones al lenguaje matemático (ecuaciones, funciones, reglas lógicas, algoritmos, etc.).
   • Introducción de suposiciones y simplificaciones para destacar lo principal.
   • Definición de los parámetros del modelo y sus relaciones.
3. Investigación del modelo:
   • Solución del problema matemático (analítica, numérica, por simulación).
   • Realización de experimentos computacionales para estudiar el comportamiento del modelo en diferentes condiciones.
4. Verificación de la adecuación (validación) del modelo:
   • Comparación de los resultados del modelado con datos reales (experimentales, observados) o hechos conocidos.
   • Evaluación de qué tan bien el modelo refleja la realidad para el objetivo planteado.
5. Interpretación y aplicación de los resultados:
   • Análisis de los datos obtenidos del modelado.
   • Traducción de los resultados al lenguaje del problema original.
   • Formulación de conclusiones, predicciones, desarrollo de recomendaciones o toma de decisiones basadas en el modelo.

Este proceso es a menudo iterativo. Resultados insatisfactorios en la validación o interpretación pueden requerir volver a etapas anteriores (refinar el planteamiento del problema, cambiar las suposiciones, modificar el modelo).

Enfoque por principios

Un enfoque por principios, basado en el trabajo de Clive Dym (Principles of Mathematical Modeling), propone considerar el modelado como una secuencia de respuestas a preguntas clave:

• Why? (¿Por qué?): ¿Cuál es la necesidad del modelo? Es necesario definir claramente el objetivo del modelado y el problema que el modelo debe ayudar a resolver.
• Find? (¿Qué encontrar?): ¿Qué queremos saber? ¿Qué datos de salida, características o información específicos debe proporcionar el modelo para alcanzar el objetivo?
• Given? (¿Qué se conoce?): ¿Qué sabemos? ¿Qué información, datos (experimentales, estadísticos), conocimientos sobre el sistema y recursos disponibles ya tenemos?
• Assume? (¿Qué suposiciones?): ¿Qué suposiciones hacemos? Definición de simplificaciones, idealizaciones, hipótesis sobre el comportamiento del sistema y los límites de aplicabilidad del modelo. Este paso es críticamente importante, ya que determina la adecuación del modelo.
• How? (¿Cómo?): ¿Cómo funciona el sistema? Identificación de las leyes fundamentales (físicas, químicas, biológicas, económicas, etc.), mecanismos y relaciones que gobiernan el comportamiento del objeto de modelado.
• Predict? (¿Qué predice?): ¿Qué predecirá el modelo? Formulación de ecuaciones matemáticas, desigualdades, reglas lógicas o algoritmos que constituyen el núcleo del modelo, y definición de los cálculos que se realizarán.
• Valid? (¿Es válido?): ¿En qué medida las predicciones del modelo se corresponden con la realidad? Comparación de los resultados del modelado con datos reales o hechos conocidos para verificar la adecuación del modelo a los objetivos planteados.
• Verified? (¿Es útil/verificado?): ¿Es útil el modelo para alcanzar el objetivo original (Why?)? ¿Satisfacen los resultados obtenidos y la precisión del modelo la necesidad inicial? (En esta etapa también se puede realizar la verificación, es decir, la comprobación de la corrección de los cálculos matemáticos y la implementación del software).
• Improve? (¿Se puede mejorar?): ¿Se puede y se debe mejorar el modelo? Identificación de parámetros que requieren refinamiento, suposiciones que se pueden relajar o aspectos no considerados que deben añadirse para una mayor precisión o un rango de aplicación más amplio.
• Use? (¿Cómo se utiliza?): ¿Cómo aplicar los resultados? Interpretación de las predicciones y conclusiones del modelo para tomar decisiones, obtener nuevos conocimientos, predecir, optimizar o gestionar el sistema.

Problema directo e inverso en el modelado matemático

Tradicionalmente, se distinguen dos clases principales de problemas relacionados con los modelos matemáticos:

• El problema directo consiste en investigar un modelo con una estructura predefinida y parámetros conocidos para obtener información sobre el comportamiento del objeto.
• El problema inverso consiste en seleccionar un modelo específico o determinar sus parámetros basándose en datos experimentales o empíricos disponibles.

Problema directo

El objetivo del problema directo es, basándose en las propiedades conocidas del sistema, responder a la pregunta sobre su reacción a influencias externas o determinar sus características en diversas condiciones. Aspectos principales del objetivo del problema directo:

• Investigar el comportamiento del objeto basándose en un modelo matemático dado con estructura y parámetros conocidos.
• Obtener características cuantitativas o cualitativas del sistema: por ejemplo, determinar tensiones, campos de temperatura, reacciones dinámicas a cargas, etc.
• Predecir el estado del objeto bajo diversas influencias externas (cargas, cambios en las condiciones ambientales, acciones de control).
• Analizar la estabilidad y fiabilidad de los sistemas, determinando sus regímenes de funcionamiento límite.
• Verificar hipótesis sobre el comportamiento del objeto, formuladas a partir del modelo.
• Optimizar los procesos de control mediante el cálculo de las reacciones del modelo a las acciones de control.
• Evaluar la sensibilidad de las soluciones a los cambios en las condiciones iniciales y los parámetros del modelo

Problema inverso

El objetivo del problema inverso es determinar la estructura del modelo o sus parámetros basándose en los datos disponibles sobre el comportamiento del sistema real.

Aspectos principales del objetivo del problema inverso:

• Encontrar los parámetros desconocidos del modelo (por ejemplo, coeficientes de elasticidad, conductividad térmica, resistencia, etc.).
• Determinar la estructura oculta de los procesos a partir de los datos de salida observados.
• Construir o corregir un modelo matemático de manera que su comportamiento sea coherente con los datos experimentales o empíricos.
• Desarrollar métodos adecuados para el procesamiento e interpretación de los datos de observación y experimentación.

Verificación y validación

Después de construir un modelo matemático y obtener su implementación en software o algoritmo, un paso críticamente importante es evaluar su corrección y aplicabilidad. Para ello, se utilizan dos procesos interrelacionados pero distintos: la verificación y la validación.

• Verificación (Verification):
  • Pregunta: ¿Estamos implementando (construyendo) el modelo correctamente?
  • Significado: Comprobación de que la implementación del software o el algoritmo computacional del modelo corresponde exactamente a su formulación matemática y descripción conceptual. En otras palabras, la verificación asegura que las ecuaciones se resuelven correctamente y que el algoritmo funciona sin errores según la lógica establecida.
  • Métodos: Análisis y revisión del código, pruebas con soluciones analíticas conocidas (si existen), comparación con los resultados de otros programas verificados, comprobación de la estabilidad numérica y la convergencia de los algoritmos.
• Validación (Validation):
  • Pregunta: ¿Hemos construido el modelo correcto?
  • Significado: Determinación del grado de correspondencia del modelo con el objeto, proceso o fenómeno real que pretende describir, en relación con los objetivos del modelado. La validación responde a la pregunta de qué tan bien el modelo refleja los aspectos de la realidad que nos interesan.
  • Métodos: Comparación de los resultados del modelado con datos experimentales, datos de observación del sistema real, datos estadísticos, hechos conocidos o resultados de otros modelos ya consolidados. Evaluación de la sensibilidad del modelo a los cambios de parámetros.

Diferencia clave:

• La verificación compara la implementación del modelo con su especificación (descripción matemática).
• La validación compara el modelo (en su conjunto) con la realidad.

Se puede tener un modelo matemáticamente correcto pero inadecuado para el proceso real (verificado pero no validado), o un modelo concebido como adecuado pero implementado con errores (no verificado).

Los procesos de verificación y validación son una parte integral del proceso de modelado matemático. Aseguran la confianza en los resultados del modelado y permiten evaluar los límites de aplicabilidad del modelo. Sin ellos, el uso del modelo para predicción, optimización o toma de decisiones puede ser incorrecto.

Limitaciones y suposiciones

Cualquier modelo matemático es una abstracción, una simplificación deliberada de la realidad estudiada. Se basa en una serie de suposiciones y, como cualquier mapa, no es el territorio en sí, sino solo su descripción para fines específicos. Esto impone las siguientes limitaciones:

1. Incompletitud: El modelo solo tiene en cuenta los factores y relaciones esenciales (desde el punto de vista del objetivo de la investigación y las suposiciones hechas), ignorando conscientemente otros detalles para simplificar el análisis.
2. Dependencia de las suposiciones: La corrección, precisión y el ámbito de aplicabilidad del modelo dependen directamente de la validez de las suposiciones hechas. Suposiciones incorrectas o violadas conducen a resultados inexactos o erróneos.
3. Ámbito de aplicabilidad limitado: El modelo describe adecuadamente la realidad solo en ciertas condiciones (correspondientes a las suposiciones) y para resolver un conjunto específico de problemas para los que fue creado y verificado. La extrapolación más allá de estos límites es incorrecta.
4. Error: Debido a las simplificaciones, los resultados del modelado siempre tienen cierto grado de error en comparación con el comportamiento real del objeto.
5. Necesidad de validación: Dado que el modelo es una simplificación, su adecuación siempre requiere verificación (validación) basada en datos reales (experimentales u observados).
6. Sensibilidad: Los resultados del modelado pueden ser sensibles a los cambios en los datos de entrada, los parámetros del modelo y las suposiciones hechas, lo que a menudo requiere realizar un análisis de sensibilidad.

Ejemplos de aplicación

• En física: modelado de la conducción de calor, hidrodinámica, procesos electromagnéticos.
• En ingeniería: cálculo de la resistencia de estructuras, optimización de procesos tecnológicos.
• En biología: modelado de la dinámica de poblaciones y la propagación de enfermedades.
• En economía: construcción de modelos macroeconómicos y modelos de control óptimo.
• En sociología: modelado de procesos de migración y dinámica social.

Literatura

• Введение в математическое моделирование / Под ред. П.В. Трусова. — М.: Университетская книга, Логос, 2007.
• Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. Моисеев Н.Н. — М.: Наука, 1981.
• Математическое моделирование. Галанин М.П., Галанина Е.М., Сергеев А.В., Шалаева А.К. . — М.: ЛКИ, 2022.
• Principles of Mathematical Modeling Dym, C.L. (2004)

Relación con otros conceptos

• Modelo matemático
• Modelo de sistema
• Proceso de modelado
• Formalización de modelos de sistemas
• Modelado
• Investigación de operaciones