Maximin criterion (Wald criterion) — 瓦尔德准则

瓦尔德准则（Wald's criterion）是在不确定性条件下做出决策的主要方法之一。它基于极端悲观原则，旨在选择在最坏可能情况下能确保最佳结果的策略。

准则的本质

该准则假定决策者关注每种策略最不利的结果。对于每个备选方案，确定其最坏的可能结果。在所有策略中，选择那个“最坏结果”是所有策略中最优的策略。

换句话说，瓦尔德准则旨在最小化最大损失，并为不利条件提供最大程度的保障。

准则的应用

应用过程包括以下步骤：

1. 确定每种策略的最坏可能结果。
2. 比较所有策略的最坏结果。
3. 选择具有“最坏结果中的最优值”的策略。

这种方法适用于极度谨慎、力求最小化风险的决策者，而不考虑各种结果发生的概率。

数学公式

设给定：

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — 决策者可选择的策略（备选方案）集合。
• $\mathrm{\Theta }=\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — 独立于决策者选择的自然状态（外部条件、情景）集合。
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — 收益（效用）函数，表示在选择策略 $s_i\in S$ 且自然状态为 ${\theta }_j\in \mathrm{\Theta }$ 时的结果数值评估。通常表示为支付矩阵 $A=[a_{ij}]$，其中 $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$。

瓦尔德准则（或称为“最大最小准则”）规定了以下操作顺序：

1. 为每种策略寻找最小收益： 对于每种策略 $s_i$，确定其在所有可能的自然状态下的最坏可能结果（最小收益）：

   $u_i^{\min }=\underset{j=1,\dots ,n}{\min }u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,\theta )$

1. 选择具有最大最小收益的策略： 选择能确保在已找到的最小收益中取得最大值的策略 $s_{\text{Wald}}^{*}$：

   $s_{\text{Wald}}^{*}=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{\max }(u_i^{\min })=\arg \underset{s_i\in S}{\max }(\underset{{\theta }_j\in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,{\theta }_j))$

使用瓦尔德准则时，保证（最小）的收益水平等于： $V_{\text{Wald}}=\underset{i=1,\dots ,m}{\max }(u_i^{\min })=\underset{s_i\in S}{\max }(\underset{{\theta }_j\in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,{\theta }_j))$

因此，瓦尔德准则实现了最大最小化（maximin）原则——即最大化最小收益。它基于一种悲观的观点，即假设无论做出何种决策，自然界都将以对决策者最不利的方式回应。

关于损失函数的说明

如果使用需要最小化的损失函数 $L(s_i,{\theta }_j)$ 来代替收益函数 $u(s_i,{\theta }_j)$，那么瓦尔德准则就转变为最小最大化损失（minimax loss）准则：

1. 对于每种策略 $s_i$，找到其最大损失值：$L_i^{\max }=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }L(s_i,\theta )$
2. 选择能使这些最大损失最小化的策略：$s_{\text{Wald}}^{*}=\arg \underset{s_i\in S}{\min }(\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }L(s_i,\theta ))$

优点与缺点

优点：

• 方法简单明了。
• 在完全不确定的条件下，能确保决策的高度安全性。

缺点：

• 过度悲观：为了最小化损失而忽略了可能的高收益。
• 可能导致选择过于保守的策略。

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