Maximin criterion (Wald criterion) — वाल्ड का मानदंड

वाल्ड का मानदंड — अनिश्चितता की स्थिति में निर्णय लेने के मुख्य तरीकों में से एक है। यह अत्यंत निराशावाद के सिद्धांत पर आधारित है और उस रणनीति के चुनाव पर केंद्रित है, जो सबसे बुरे संभावित परिदृश्य में सर्वोत्तम परिणाम सुनिश्चित करती है।

मानदंड का सार

मानदंड यह मानता है कि निर्णय लेने वाला व्यक्ति प्रत्येक रणनीति के लिए सबसे प्रतिकूल परिणाम को ध्यान में रखता है। प्रत्येक विकल्प के लिए उसका सबसे बुरा संभावित परिणाम निर्धारित किया जाता है। सभी रणनीतियों में से वह रणनीति चुनी जाती है, जिसका यह सबसे बुरा परिणाम सभी में सबसे अच्छा हो।

दूसरे शब्दों में, वाल्ड का मानदंड अधिकतम हानि को न्यूनतम करने पर केंद्रित है और प्रतिकूल परिस्थितियों से सर्वाधिक सुरक्षा प्रदान करता है।

मानदंड का अनुप्रयोग

अनुप्रयोग की प्रक्रिया में निम्नलिखित चरण शामिल हैं:

1. प्रत्येक रणनीति के लिए सबसे बुरा संभावित परिणाम निर्धारित किया जाता है।
2. सभी रणनीतियों के सबसे बुरे परिणामों की तुलना की जाती है।
3. सबसे बुरे परिणामों में से सबसे अच्छे वाली रणनीति को चुना जाता है।

यह दृष्टिकोण अत्यंत सतर्क व्यक्तियों के लिए विशिष्ट है, जो विभिन्न परिणामों की संभावना की परवाह किए बिना जोखिम को न्यूनतम करना चाहते हैं।

गणितीय सूत्रीकरण

मान लीजिए कि दिया गया है:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — उपलब्ध रणनीतियों (विकल्पों) का समुच्चय, जिनमें से निर्णय लेने वाला व्यक्ति (ЛПР) चुनता है।
• $\mathrm{\Theta }=\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — प्रकृति की संभावित अवस्थाओं (बाहरी परिस्थितियों, परिदृश्यों) का समुच्चय, जो ЛПР के चुनाव पर निर्भर नहीं करतीं।
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — लाभ (उपयोगिता) फलन, जो रणनीति $s_i\in S$ के चुनाव और प्रकृति की अवस्था ${\theta }_j\in \mathrm{\Theta }$ के घटित होने पर परिणाम का संख्यात्मक मूल्यांकन प्रस्तुत करता है। इसे प्रायः भुगतान मैट्रिक्स $A=[a_{ij}]$ के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जहाँ $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$।

वाल्ड का मानदंड (या मैक्सिमिन मानदंड) निम्नलिखित क्रम निर्धारित करता है:

1. प्रत्येक रणनीति के लिए न्यूनतम लाभ ज्ञात करना: प्रत्येक रणनीति $s_i$ के लिए, सभी संभावित प्रकृति अवस्थाओं में उसका सबसे बुरा संभावित परिणाम (न्यूनतम लाभ) निर्धारित किया जाता है:

   $u_i^{\min }=\underset{j=1,\dots ,n}{\min }u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,\theta )$

1. न्यूनतम लाभों में से अधिकतम वाली रणनीति का चुनाव: वह रणनीति $s_{\text{Wald}}^{*}$ चुनी जाती है, जो ज्ञात किए गए न्यूनतम लाभों में सबसे अधिक मान सुनिश्चित करती है:

   $s_{\text{Wald}}^{*}=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{\max }(u_i^{\min })=\arg \underset{s_i\in S}{\max }(\underset{{\theta }_j\in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,{\theta }_j))$

वाल्ड के मानदंड का उपयोग करने पर गारंटीकृत (न्यूनतम) लाभ का स्तर बराबर होता है: $V_{\text{Wald}}=\underset{i=1,\dots ,m}{\max }(u_i^{\min })=\underset{s_i\in S}{\max }(\underset{{\theta }_j\in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,{\theta }_j))$

इस प्रकार, वाल्ड का मानदंड मैक्सिमिन के सिद्धांत को लागू करता है — न्यूनतम लाभ का अधिकतमीकरण। यह निराशावादी दृष्टिकोण पर आधारित है, यह मानते हुए कि चाहे जो भी निर्णय लिया जाए, प्रकृति ЛПР के लिए सबसे कम अनुकूल तरीके से प्रतिक्रिया करेगी।

हानि फलन पर टिप्पणी

यदि लाभ फलन $u(s_i,{\theta }_j)$ के स्थान पर हानि फलन $L(s_i,{\theta }_j)$ का उपयोग किया जाता है, जिसे न्यूनतम करना आवश्यक है, तो वाल्ड का मानदंड हानि के मिनिमैक्स मानदंड में परिवर्तित हो जाता है:

1. प्रत्येक रणनीति $s_i$ के लिए हानि का अधिकतम मान ज्ञात किया जाता है: $L_i^{\max }=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }L(s_i,\theta )$
2. वह रणनीति चुनी जाती है, जो इन अधिकतम हानियों को न्यूनतम करती है: $s_{\text{Wald}}^{*}=\arg \underset{s_i\in S}{\min }(\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }L(s_i,\theta ))$

लाभ और हानियाँ

लाभ:

• विधि की सरलता और स्पष्टता।
• पूर्ण अनिश्चितता की स्थिति में निर्णयों की उच्च सुरक्षा सुनिश्चित करना।

हानियाँ:

• अत्यधिक निराशावाद: हानि को न्यूनतम करने के लिए संभावित उच्च लाभों की अनदेखी की जाती है।
• यह अत्यधिक रूढ़िवादी रणनीतियों के चुनाव की ओर ले जा सकता है।