Maximin criterion (Wald criterion) — معیارِ والڈ

معیارِ والڈ — غیر یقینی حالات میں فیصلہ سازی کے بنیادی طریقوں میں سے ایک ہے۔ یہ انتہائی مایوسی کے اصول پر مبنی ہے اور اس حکمتِ عملی کے انتخاب پر مرکوز ہے جو بدترین ممکنہ صورتحال میں بہترین نتیجہ فراہم کرے۔

معیار کا خلاصہ

یہ معیار فرض کرتا ہے کہ فیصلہ کرنے والا شخص ہر حکمتِ عملی کے لیے سب سے ناموافق نتیجے کو مدنظر رکھتا ہے۔ ہر متبادل کے لیے اس کا بدترین ممکنہ نتیجہ متعین کیا جاتا ہے۔ تمام حکمتِ عملیوں میں سے وہ منتخب کی جاتی ہے جس کا بدترین نتیجہ سب سے بہتر ہو۔

دوسرے الفاظ میں، معیارِ والڈ زیادہ سے زیادہ نقصانات کو کم سے کم کرنے اور ناموافق حالات سے زیادہ سے زیادہ تحفظ فراہم کرنے پر مرکوز ہے۔

معیار کا اطلاق

اطلاق کے عمل میں درج ذیل مراحل شامل ہیں:

1. ہر حکمتِ عملی کے لیے بدترین ممکنہ نتیجہ متعین کیا جاتا ہے۔
2. تمام حکمتِ عملیوں کے بدترین نتائج کا موازنہ کیا جاتا ہے۔
3. وہ حکمتِ عملی منتخب کی جاتی ہے جس کے بدترین نتائج میں سے بہترین ہو۔

یہ طریقہ انتہائی محتاط افراد کے لیے مناسب ہے جو مختلف نتائج کے امکانات سے قطع نظر خطرات کو کم سے کم کرنے کے خواہاں ہوتے ہیں۔

ریاضیاتی تشکیل

فرض کیجیے کہ:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — دستیاب حکمتِ عملیوں (متبادلات) کا مجموعہ جن میں سے فیصلہ ساز (ف.س.) انتخاب کرتا ہے۔
• $\mathrm{\Theta }=\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — فطرت کی ممکنہ کیفیات (بیرونی حالات، منظرنامے) کا مجموعہ جو ف.س. کے انتخاب سے آزاد ہیں۔
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — فائدے (افادیت) کا فنکشن، جو حکمتِ عملی $s_i\in S$ کے انتخاب اور فطرت کی کیفیت ${\theta }_j\in \mathrm{\Theta }$ کے واقع ہونے پر نتیجے کی عددی قدر ظاہر کرتا ہے۔ اسے اکثر ادائیگی کی میٹرکس $A=[a_{ij}]$ کی شکل میں پیش کیا جاتا ہے، جہاں $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$۔

معیارِ والڈ (یا maximin معیار) درج ذیل ترتیب کا حکم دیتا ہے:

1. ہر حکمتِ عملی کے لیے کم سے کم فائدے کا تعین: ہر حکمتِ عملی $s_i$ کے لیے فطرت کی تمام ممکنہ کیفیات میں اس کا بدترین ممکنہ نتیجہ (کم سے کم فائدہ) متعین کیا جاتا ہے:

   $u_i^{\min }=\underset{j=1,\dots ,n}{\min }u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,\theta )$

1. کم سے کم فوائد میں سے زیادہ سے زیادہ والی حکمتِ عملی کا انتخاب: وہ حکمتِ عملی $s_{\text{Wald}}^{*}$ منتخب کی جاتی ہے جو پائے گئے کم سے کم فوائد میں سب سے زیادہ قدر فراہم کرتی ہو:

   $s_{\text{Wald}}^{*}=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{\max }(u_i^{\min })=\arg \underset{s_i\in S}{\max }(\underset{{\theta }_j\in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,{\theta }_j))$

معیارِ والڈ کے استعمال پر فائدے کی ضمانت شدہ (کم سے کم) سطح یہ ہے: $V_{\text{Wald}}=\underset{i=1,\dots ,m}{\max }(u_i^{\min })=\underset{s_i\in S}{\max }(\underset{{\theta }_j\in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,{\theta }_j))$

اس طرح، معیارِ والڈ maximin کے اصول کو نافذ کرتا ہے — یعنی کم سے کم فائدے کو زیادہ سے زیادہ کرنا۔ یہ مایوسانہ نقطہ نظر پر مبنی ہے، یہ فرض کرتے ہوئے کہ جو بھی فیصلہ کیا جائے، فطرت ف.س. کے لیے سب سے کم موافق طریقے سے جواب دے گی۔

نقصان کے فنکشن سے متعلق ملاحظہ

اگر فائدے کے فنکشن $u(s_i,{\theta }_j)$ کی بجائے نقصان کا فنکشن $L(s_i,{\theta }_j)$ استعمال کیا جائے جسے کم سے کم کرنا مطلوب ہو، تو معیارِ والڈ minimax نقصانات کے معیار میں تبدیل ہو جاتا ہے:

1. ہر حکمتِ عملی $s_i$ کے لیے زیادہ سے زیادہ نقصان کی قدر تلاش کی جاتی ہے: $L_i^{\max }=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }L(s_i,\theta )$
2. وہ حکمتِ عملی منتخب کی جاتی ہے جو ان زیادہ سے زیادہ نقصانات کو کم سے کم کرے: $s_{\text{Wald}}^{*}=\arg \underset{s_i\in S}{\min }(\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }L(s_i,\theta ))$

فوائد اور نقائص

فوائد:

• طریقے کی سادگی اور وضاحت۔
• مکمل غیر یقینی صورتحال میں فیصلوں کی اعلیٰ درجے کی حفاظت۔

نقائص:

• انتہائی مایوسی: نقصانات کو کم کرنے کی خاطر ممکنہ بڑے فوائد کو نظرانداز کیا جاتا ہے۔
• یہ انتہائی قدامت پسندانہ حکمتِ عملیوں کے انتخاب کا باعث بن سکتا ہے۔