Maximin criterion (Wald criterion) — Κριτήριο Wald

Κριτήριο Wald — μία από τις βασικές μεθόδους λήψης αποφάσεων υπό συνθήκες αβεβαιότητας. Βασίζεται στην αρχή του ακραίου πεσιμισμού και αποσκοπεί στην επιλογή στρατηγικής που εξασφαλίζει το καλύτερο αποτέλεσμα στο χειρότερο δυνατό σενάριο.

Ουσία του κριτηρίου

Το κριτήριο προϋποθέτει ότι το άτομο που λαμβάνει την απόφαση προσανατολίζεται στο πιο δυσμενές αποτέλεσμα για κάθε στρατηγική. Για κάθε εναλλακτική προσδιορίζεται το χειρότερο δυνατό αποτέλεσμά της. Από όλες τις στρατηγικές επιλέγεται εκείνη για την οποία αυτό το χειρότερο αποτέλεσμα είναι το καλύτερο μεταξύ όλων.

Με άλλα λόγια, το κριτήριο Wald αποσκοπεί στην ελαχιστοποίηση των μέγιστων απωλειών και παρέχει τη μεγαλύτερη δυνατή προστασία έναντι δυσμενών συνθηκών.

Εφαρμογή του κριτηρίου

Η διαδικασία εφαρμογής περιλαμβάνει τα εξής βήματα:

1. Για κάθε στρατηγική προσδιορίζεται το χειρότερο δυνατό αποτέλεσμα.
2. Συγκρίνονται τα χειρότερα αποτελέσματα όλων των στρατηγικών.
3. Επιλέγεται η στρατηγική με το καλύτερο από τα χειρότερα αποτελέσματα.

Αυτή η προσέγγιση είναι χαρακτηριστική για άτομα ιδιαίτερα συντηρητικά, που επιδιώκουν να ελαχιστοποιήσουν τους κινδύνους ανεξαρτήτως της πιθανότητας εμφάνισης διαφόρων αποτελεσμάτων.

Μαθηματική διατύπωση

Έστω δοσμένα:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — το σύνολο των διαθέσιμων στρατηγικών (εναλλακτικών), από τις οποίες επιλέγει το άτομο που λαμβάνει την απόφαση (ΑΛΑ).
• $\mathrm{\Theta }=\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — το σύνολο των πιθανών καταστάσεων της φύσης (εξωτερικών συνθηκών, σεναρίων), που δεν εξαρτώνται από την επιλογή του ΑΛΑ.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — η συνάρτηση κέρδους (χρησιμότητας), που αποτελεί αριθμητική αξιολόγηση του αποτελέσματος κατά την επιλογή στρατηγικής $s_i\in S$ και την επέλευση κατάστασης φύσης ${\theta }_j\in \mathrm{\Theta }$. Συχνά παρουσιάζεται με τη μορφή πίνακα αποδόσεων $A=[a_{ij}]$, όπου $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

Το κριτήριο Wald (ή κριτήριο maximin) ορίζει την ακόλουθη διαδικασία:

1. Εύρεση του ελάχιστου κέρδους για κάθε στρατηγική: Για κάθε στρατηγική $s_i$ προσδιορίζεται η χειρότερη δυνατή έκβασή της (ελάχιστο κέρδος) για όλες τις πιθανές καταστάσεις φύσης:

   $u_i^{\min }=\underset{j=1,\dots ,n}{\min }u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,\theta )$

1. Επιλογή στρατηγικής με το μέγιστο από τα ελάχιστα κέρδη: Επιλέγεται εκείνη η στρατηγική $s_{\text{Wald}}^{*}$ που εξασφαλίζει τη μεγαλύτερη τιμή μεταξύ των ελάχιστων κερδών που βρέθηκαν:

   $s_{\text{Wald}}^{*}=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{\max }(u_i^{\min })=\arg \underset{s_i\in S}{\max }(\underset{{\theta }_j\in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,{\theta }_j))$

Το εγγυημένο (ελάχιστο) επίπεδο κέρδους κατά τη χρήση του κριτηρίου Wald είναι ίσο με: $V_{\text{Wald}}=\underset{i=1,\dots ,m}{\max }(u_i^{\min })=\underset{s_i\in S}{\max }(\underset{{\theta }_j\in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,{\theta }_j))$

Έτσι, το κριτήριο Wald υλοποιεί την αρχή του maximin — μεγιστοποίηση του ελάχιστου κέρδους. Είναι προσανατολισμένο σε μια πεσιμιστική θεώρηση, υποθέτοντας ότι ανεξαρτήτως της απόφασης που λαμβάνεται, η φύση θα ανταποκριθεί με τον λιγότερο ευνοϊκό για το ΑΛΑ τρόπο.

Παρατήρηση σχετικά με τη συνάρτηση απωλειών

Εάν αντί για τη συνάρτηση κέρδους $u(s_i,{\theta }_j)$ χρησιμοποιείται η συνάρτηση απωλειών $L(s_i,{\theta }_j)$, την οποία απαιτείται να ελαχιστοποιήσουμε, τότε το κριτήριο Wald μετατρέπεται στο κριτήριο minimax απωλειών:

1. Για κάθε στρατηγική $s_i$ βρίσκεται η μέγιστη τιμή των απωλειών: $L_i^{\max }=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }L(s_i,\theta )$
2. Επιλέγεται η στρατηγική που ελαχιστοποιεί αυτές τις μέγιστες απώλειες: $s_{\text{Wald}}^{*}=\arg \underset{s_i\in S}{\min }(\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }L(s_i,\theta ))$

Πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα

Πλεονεκτήματα:

• Απλότητα και σαφήνεια της μεθόδου.
• Εξασφάλιση υψηλού βαθμού ασφάλειας αποφάσεων υπό συνθήκες πλήρους αβεβαιότητας.

Μειονεκτήματα:

• Υπερβολικός πεσιμισμός: πιθανά υψηλά οφέλη αγνοούνται χάριν της ελαχιστοποίησης των απωλειών.
• Μπορεί να οδηγεί στην επιλογή υπερβολικά συντηρητικών στρατηγικών.