Mathematical modeling — 数学建模

数学建模是一种研究方法，它用数学模型替代真实的对象、过程或现象，从而能够使用数学方法来分析系统的行为。

数学建模的本质

数学建模包括：

• 将研究对象的基本特征形式化；
• 构建表达参数之间关系的数学模型；
• 通过解析、数值或仿真方法研究模型；
• 针对真实系统对结果进行解释。

模型始终是现实的简化，有目的地只反映那些对设定的研究或设计目标重要的方面。

数学建模的目标

开发数学模型旨在：

• 描述系统的结构、属性和功能；
• 通过揭示规律来解释观察到的现象；
• 预测系统在给定影响下的未来行为；
• 优化过程和控制系统；
• 进行在现实中无法实现或不希望进行的虚拟实验。

数学模型的分类

• 按描述方式：确定性模型和随机（概率）模型。
• 按时间特性：静态模型和动态模型。
• 按变量特性：离散模型和连续模型。
• 按详细程度：宏观模型、微观模型和介观模型。
• 按所用工具：解析模型、数值模型和仿真模型。
• 按用途：描述性模型、预测性模型、优化模型和仿真模型。
• 按结构：线性模型和非线性模型。
• 按构建方法：唯象（经验）模型和机理（理论）模型。

数学建模的阶段

一般而言，数学建模包括以下几个阶段：

1. 问题定义：
   • 确定建模目标（我们想了解或做什么？）。
   • 描述对象或过程及其边界。
   • 识别需要考虑的关键因素和特征。
2. 构建（或选择）模型：
   • 形式化：将对象和关系的描述转换为数学语言（方程、函数、逻辑规则、算法等）。
   • 引入假设和简化，以突出重点。
   • 定义模型的参数及其关系。
3. 模型研究：
   • 解决数学问题（解析、数值或仿真）。
   • 进行计算实验，研究模型在不同条件下的行为。
4. 模型充分性检验（确认）：
   • 将建模结果与真实数据（实验数据、观测数据）或已知事实进行比较。
   • 评估模型在多大程度上反映了为实现既定目标而研究的现实。
5. 结果解释与应用：
   • 分析获得的建模数据。
   • 将结果转换回原始问题的语言。
   • 基于模型提出结论、预测、制定建议或做出决策。

这个过程通常是迭代的。不理想的确认或解释结果可能需要返回到之前的阶段（明确问题定义、修改假设、调整模型）。

原则性方法

基于克莱夫·戴姆（Principles of Mathematical Modeling）著作的原则性方法，建议将建模视为对一系列关键问题的回答：

• Why? (为什么？): 模型的目的是什么？需要明确定义建模的目标以及模型应帮助解决的问题。
• Find? (寻找什么？): 我们想知道什么？模型需要提供哪些具体的输出数据、特征或信息以实现目标？
• Given? (已知什么？): 我们已知哪些信息？已有哪些信息、数据（实验、统计）、关于系统的知识和可用资源？
• Assume? (作何假设？): 我们做了哪些假设？定义简化、理想化、关于系统行为的假设以及模型的适用边界。这一步至关重要，因为它决定了模型的充分性。
• How? (如何运作？): 系统是如何运作的？识别控制建模对象行为的基本规律（物理、化学、生物、经济等）、机制和相互关系。
• Predict? (预测什么？): 模型将预测什么？构建构成模型核心的数学方程、不等式、逻辑规则或算法，并确定将要执行的计算。
• Valid? (有效性？): 模型的预测与现实的符合程度如何？将建模结果与真实数据或已知事实进行比较，以检验模型对于既定目标的充分性。
• Verified? (有用性/核查？): 模型对于实现初始目标（Why?）是否有用？获得的结果和模型的精度是否满足初始需求？（在此阶段也可能进行核查——检查数学推导和软件实现的正确性）。
• Improve? (如何改进？): 能否以及是否需要改进模型？识别需要 уточнения 的参数、可以放宽的假设，或为提高精度或应用广度而需要添加的未考虑方面。
• Use? (如何使用？): 如何应用结果？解释模型的预测和结论，以用于决策、获取新知识、预测、优化或管理系统。

数学建模的正问题与反问题

传统上，与数学模型相关的任务分为两大类：

• 正问题在于研究具有预定结构和已知参数的模型，以获取有关对象行为的信息。
• 反问题在于根据现有的实验或经验数据，选择具体的模型或确定其参数。

正问题

正问题的目标是基于系统的已知属性，回答其对外部影响的反应，或确定其在不同条件下的特征。 正问题目标的主要方面：

• 基于具有已知结构和参数的给定数学模型，研究对象的行为。
• 获取系统的定量或定性特征：例如，确定应力、温度场、对载荷的动态响应等。
• 预测对象在各种外部影响（载荷、环境条件变化、控制动作）下的状态。
• 分析系统的稳定性和可靠性，确定其极限工作模式。
• 检验基于模型提出的关于对象行为的假设。
• 通过计算模型对控制输入的响应来优化控制过程。
• 评估解对初始条件和模型参数变化的敏感性。

反问题

反问题的目标是根据真实系统的行为数据，确定模型的结构或其参数。

反问题目标的主要方面：

• 寻找模型的未知参数（例如，弹性系数、导热系数、电阻等）。
• 根据观测到的输出数据确定过程的隐藏结构。
• 构建或修正数学模型，使其行为与实验或经验数据一致。
• 开发处理和解释观测与实验数据的充分方法。

验证与确认

在构建数学模型并完成其软件或算法实现后，评估其正确性和适用性是至关重要的一步。为此，使用两个相互关联但不同的过程：验证和确认。

• 验证 (Verification):
  • 问题：我们是否正确地实现（构建）了模型？
  • 含义：检查模型的软件实现或计算算法是否精确符合其数学公式和概念描述。换言之，验证确保方程被正确求解，算法按照既定逻辑无误地工作。
  • 方法：代码分析和审查，使用已知的解析解进行测试（如果存在），与其他经过验证的程序结果进行比较，检查算法的数值稳定性和收敛性。
• 确认 (Validation):
  • 问题：我们是否构建了正确的模型？
  • 含义：确定模型与它旨在描述的真实对象、过程或现象的符合程度，并与建模目标相关联。确认回答了模型在多大程度上反映了我们感兴趣的现实方面。
  • 方法：将建模结果与实验数据、真实系统的观测数据、统计数据、已知事实或其他已获认可的模型结果进行比较。评估模型对参数变化的敏感性。

关键区别：

• 验证是将模型的实现与其规格说明（数学描述）进行比较。
• 确认是将模型（作为一个整体）与现实进行比较。

一个模型可能在数学上是正确的，但与实际过程不符（已验证但未确认），或者一个模型被设计得足够充分，但在实现时出错（未验证）。

验证和确认过程是数学建模过程中不可或缺的一部分。它们确保了对建模结果的信任，并有助于评估模型的适用范围。没有它们，使用模型进行预测、优化或决策可能是不正确的。

限制与假设

任何数学模型都是一种抽象——对所研究现实的有目的的简化。它基于一系列假设，并且像任何地图一样，它不是领土本身，而只是为特定目的对领土的描述。这带来了以下限制：

1. 不完整性：模型只考虑了（从研究目标和所做假设的角度来看）重要的因素和相互关系，为简化分析而有意忽略其他细节。
2. 对假设的依赖性：模型的正确性、准确性和适用范围直接取决于所做假设的合理性。错误或被违反的假设会导致不准确或错误的结果。
3. 有限的适用范围：模型仅在特定条件（与假设相符）下，并为解决其创建和验证时所针对的特定问题范围，才能充分描述现实。超出这些范围的推断是不正确的。
4. 误差：由于简化，建模结果与对象的实际行为相比总存在一定的误差。
5. 确认的必要性：由于模型是简化的，其充分性总是需要通过真实（实验或观测）数据进行检验（确认）。
6. 敏感性：建模结果可能对输入数据、模型参数和所做假设的变化敏感，这通常需要进行敏感性分析。

应用示例

• 在物理学中：热传导、流体动力学、电磁过程的建模。
• 在工程学中：结构强度计算、工艺过程优化。
• 在生物学中：种群动态和疾病传播的建模。
• 在经济学中：构建宏观经济模型和最优控制模型。
• 在社会学中：移民过程和社会动态的建模。

参考文献

• Введение в математическое моделирование / Под ред. П.В. Трусова. — М.: Университетская книга, Логос, 2007.
• Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. Моисеев Н.Н. — М.: Наука, 1981.
• Математическое моделирование. Галанин М.П., Галанина Е.М., Сергеев А.В., Шалаева А.К. . — М.: ЛКИ, 2022.
• Principles of Mathematical Modeling Dym, C.L. (2004)

与其他概念的关系

• 数学模型
• 系统模型
• 建模过程
• 系统模型形式化
• 建模
• 运筹学