Hurwicz criterion — 赫维茨准则

赫维茨准则 (Hurwicz criterion) 是在不确定条件下进行决策的方法之一，它在极端乐观和极端悲观之间提供了一种平衡的方法。

准则的本质

在事件结果未知的情况下选择策略时，赫维茨准则建议同时考虑：

• 最差可能结果（悲观方法），
• 最佳可能结果（乐观方法）。

为此，引入一个特殊参数——乐观系数，其取值范围为0到1。该系数越接近1，表示越关注最佳结果；越接近0，则表示越考虑最差可能结果。

数学公式

设给定：

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — 可用策略（备选方案）的集合。
• $\mathrm{\Theta }=\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — 可能的自然状态集合。
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — 选择策略 $s_i$ 且自然状态为 ${\theta }_j$ 时的收益（效用）函数。通常表示为支付矩阵 $A=[a_{ij}]$，其中 $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$。

赫维茨准则引入乐观系数 $\alpha$ (alpha)，由决策者 (DM) 在 $0\le \alpha \le 1$ 范围内选择。该系数反映了决策者的乐观程度：

• $\alpha =1$ 对应完全乐观（只考虑最佳可能结果）。
• $\alpha =0$ 对应完全悲观（只考虑最差可能结果，此时该准则简化为瓦尔德准则）。
• $(1-\alpha )$ 的值可解释为悲观系数。

应用赫维茨准则的步骤如下：

1. 为每个策略找到最小和最大收益： 对每个策略 $s_i\in S$，确定：

   **最差结果（最小收益）：**

   $u_i^{\min }=\underset{j=1,\dots ,n}{\min }u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,\theta )$

   **最佳结果（最大收益）：**

   $u_i^{\max }=\underset{j=1,\dots ,n}{\max }u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }u(s_i,\theta )$

1. 为每个策略计算赫维茨准则值： 对每个策略 $s_i$，根据乐观系数 $\alpha$ 计算结合了最佳和最差结果的加权值：

   $H(s_i,\alpha )=\alpha \cdot u_i^{\max }+(1-\alpha )\cdot u_i^{\min }$

   该值代表了根据决策者通过 $\alpha$表达的偏好，策略 $s_i$ 的期望收益。

1. 选择最优策略： 选择使计算出的赫维茨准则值最大化的策略 $s_{\text{Hurwicz}}^{*}$：

   $s_{\text{Hurwicz}}^{*}=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{\max }H(s_i,\alpha )=\arg \underset{s_i\in S}{\max }(\alpha \cdot u_i^{\max }+(1-\alpha )\cdot u_i^{\min })$

赫维茨准则的最优值（考虑乐观系数 $\alpha$ 的保证水平）等于： $V_{\text{Hurwicz}}=\underset{i=1,\dots ,m}{\max }H(s_i,\alpha )=\underset{s_i\in S}{\max }(\alpha \cdot (\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }u(s_i,\theta ))+(1-\alpha )\cdot (\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,\theta )))$

关于损失函数的说明

如果使用需要最小化的损失函数 $L(s_i,{\theta }_j)$，则赫维茨准则用于最小化最佳结果（最小损失）和最差结果（最大损失）的加权组合：

1. 对每个策略 $s_i$，找到最小损失 $L_i^{\min }$ 和最大损失 $L_i^{\max }$。
2. 计算评价值：$H_L(s_i,\alpha )=\alpha \cdot L_i^{\min }+(1-\alpha )\cdot L_i^{\max }$
3. 选择使该值最小化的策略：$s_{\text{Hurwicz}}^{*}=\arg \underset{s_i\in S}{\min }{H}_L(s_i,\alpha )$

此处 $\alpha$ 仍然是乐观系数：当 $\alpha =1$ 时，决策者专注于最小化最小损失（乐观地期望最佳结果）；当 $\alpha =0$ 时，则专注于最小化最大损失（悲观地为最坏情况做准备）。

准则的应用

应用赫维茨准则的过程包括以下步骤：

1. 确定每种可能策略的最小和最大结果。
2. 根据所选的乐观水平，为每个策略计算一个最终评分，该评分是其最差和最佳结果之间的加权值。
3. 选择最终评分最高的策略。

因此，决策者选择的策略能最好地反映其自身对风险和不确定性的态度。

优点与缺点

优点：

• 允许根据决策者的性格和偏好调整选择过程。
• 同时考虑了风险和潜在收益。

缺点：

• 需要主观选择乐观系数，这可能会影响决策的客观性。

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