Hurwicz criterion — フルビッツの基準

フルビッツの基準（Hurwicz's criterion）は、不確実性の下での意思決定手法の一つであり、極端な楽観主義と極端な悲観主義の間でバランスの取れたアプローチを提案するものです。

基準の本質

事象の結果が不明な状況で戦略を選択する際、フルビッツの基準は以下の両方を同時に考慮することを提案します：

• 最悪の起こりうる結果（悲観的アプローチ）、
• 最良の起こりうる結果（楽観的アプローチ）。

このために、0から1までの値を取る特別なパラメータである「楽観係数」が使用されます。この係数が1に近いほど最良の結果が重視され、0に近いほど最悪の起こりうる結果が考慮されます。

数学的定式化

以下が与えられているとします：

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — 利用可能な戦略（代替案）の集合。
• $\mathrm{\Theta }=\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — 起こりうる自然の状態の集合。
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — 戦略 $s_i$ を選択し、状態 ${\theta }_j$ が発生した場合の利得（効用）関数。これはしばしば、$a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$ となるペイオフ行列 $A=[a_{ij}]$ で表されます。

フルビッツの基準は、意思決定者（DM）によって $0\le \alpha \le 1$ の範囲で選択される楽観係数 $\alpha$（アルファ）を導入します。この係数は意思決定者の楽観度を反映します：

• $\alpha =1$ は完全な楽観主義に対応します（最良の起こりうる結果のみが考慮されます）。
• $\alpha =0$ は完全な悲観主義に対応します（最悪の起こりうる結果のみが考慮され、この基準はワルドの基準に帰着します）。
• $(1-\alpha )$ の値は悲観係数として解釈できます。

フルビッツの基準を適用する手順：

1. 各戦略の最小利得と最大利得の特定： 各戦略 $s_i\in S$ について、以下を決定します：

   **最悪の結果（最小利得）：**

   $u_i^{\min }=\underset{j=1,\dots ,n}{\min }u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,\theta )$

   **最良の結果（最大利得）：**

   $u_i^{\max }=\underset{j=1,\dots ,n}{\max }u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }u(s_i,\theta )$

1. 各戦略に対するフルビッツ基準値の計算： 各戦略 $s_i$ について、楽観係数 $\alpha$ を考慮して最良と最悪の結果を組み合わせた加重値を計算します：

   $H(s_i,\alpha )=\alpha \cdot u_i^{\max }+(1-\alpha )\cdot u_i^{\min }$

   この値は、$\alpha$ を通じて表現される意思決定者の好みに従った戦略 $s_i$ の期待利得を表します。

1. 最適戦略の選択： 計算されたフルビッツ基準値を最大化する戦略 $s_{\text{Hurwicz}}^{*}$ を選択します：

   $s_{\text{Hurwicz}}^{*}=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{\max }H(s_i,\alpha )=\arg \underset{s_i\in S}{\max }(\alpha \cdot u_i^{\max }+(1-\alpha )\cdot u_i^{\min })$

フルビッツの基準の最適値（楽観係数 $\alpha$ を考慮した保証水準）は次のようになります： $V_{\text{Hurwicz}}=\underset{i=1,\dots ,m}{\max }H(s_i,\alpha )=\underset{s_i\in S}{\max }(\alpha \cdot (\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }u(s_i,\theta ))+(1-\alpha )\cdot (\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,\theta )))$

損失関数に関する注記

最小化すべき損失関数 $L(s_i,{\theta }_j)$ が使用される場合、フルビッツの基準は、最良（最小損失）と最悪（最大損失）の結果の加重組み合わせを最小化するために適用されます：

1. 各戦略 $s_i$ について、最小損失 $L_i^{\min }$ と最大損失 $L_i^{\max }$ を求めます。
2. 次の値を計算します： $H_L(s_i,\alpha )=\alpha \cdot L_i^{\min }+(1-\alpha )\cdot L_i^{\max }$
3. この値を最小化する戦略を選択します： $s_{\text{Hurwicz}}^{*}=\arg \underset{s_i\in S}{\min }{H}_L(s_i,\alpha )$

ここでも $\alpha$ は楽観係数です：$\alpha =1$ の場合、意思決定者は最小損失の最小化に焦点を当て（最良の結果を楽観的に期待し）、$\alpha =0$ の場合は最大損失の最小化に焦点を当てます（最悪の事態に悲観的に備えます）。

基準の適用

フルビッツの基準を適用するプロセスには、以下のステップが含まれます：

1. 各可能な戦略について、最小および最大の結果を決定します。
2. 各戦略について、選択された楽観度のレベルに応じて、その最悪と最良の結果の間の加重値である最終評価を計算します。
3. 最終評価が最大となる戦略を選択します。

このようにして、意思決定者は自身のリスクと不確実性に対する態度を最もよく考慮した戦略を選択します。

長所と短所

長所：

• 意思決定者の性格や好みに応じて選択プロセスを適応させることができます。
• リスクと潜在的な利益の両方を考慮します。

短所：

• 楽観係数の主観的な選択が必要であり、それが決定の客観性に影響を与える可能性があります。

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