Hurwicz criterion — เกณฑ์เฮอร์วิช

เกณฑ์ฮูร์วิช — หนึ่งในวิธีการตัดสินใจภายใต้ความไม่แน่นอน ซึ่งเสนอแนวทางที่สมดุลระหว่างความมองโลกในแง่ดีสุดขีดและความมองโลกในแง่ร้ายสุดขีด

สาระสำคัญของเกณฑ์

ในการเลือกกลยุทธ์ในสถานการณ์ที่ผลลัพธ์ของเหตุการณ์ไม่เป็นที่ทราบ เกณฑ์ฮูร์วิชเสนอให้พิจารณาพร้อมกันทั้ง:

• ผลลัพธ์ที่เลวร้ายที่สุดที่เป็นไปได้ (แนวทางมองโลกในแง่ร้าย),
• ผลลัพธ์ที่ดีที่สุดที่เป็นไปได้ (แนวทางมองโลกในแง่ดี).

สำหรับสิ่งนี้จะใช้พารามิเตอร์พิเศษ — ค่าสัมประสิทธิ์การมองโลกในแง่ดี ซึ่งรับค่าตั้งแต่ศูนย์ถึงหนึ่ง ยิ่งค่าสัมประสิทธิ์ใกล้เคียงหนึ่งมากเท่าใด ก็ยิ่งให้ความสนใจกับผลลัพธ์ที่ดีที่สุดมากขึ้นเท่านั้น ยิ่งค่าสัมประสิทธิ์ใกล้เคียงศูนย์มากเท่าใด ก็ยิ่งคำนึงถึงผลลัพธ์ที่เลวร้ายที่สุดที่เป็นไปได้มากขึ้น

สูตรทางคณิตศาสตร์

กำหนดให้:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — เซตของกลยุทธ์ (ทางเลือก) ที่มีอยู่
• $\mathrm{\Theta }=\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — เซตของสถานะธรรมชาติที่เป็นไปได้
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — ฟังก์ชันผลตอบแทน (อรรถประโยชน์) เมื่อเลือกกลยุทธ์ $s_i$ และเกิดสถานะ ${\theta }_j$ มักนำเสนอในรูปแบบเมทริกซ์การชำระเงิน $A=[a_{ij}]$ โดยที่ $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$

เกณฑ์ฮูร์วิชแนะนำ ค่าสัมประสิทธิ์การมองโลกในแง่ดี $\alpha$ (อัลฟา) ซึ่งผู้ตัดสินใจ (ผู้ตัดสินใจ) เลือกในช่วง $0\le \alpha \le 1$ ค่าสัมประสิทธิ์นี้สะท้อนถึงระดับการมองโลกในแง่ดีของผู้ตัดสินใจ:

• $\alpha =1$ สอดคล้องกับการมองโลกในแง่ดีอย่างสมบูรณ์ (คำนึงถึงเฉพาะผลลัพธ์ที่ดีที่สุดที่เป็นไปได้)
• $\alpha =0$ สอดคล้องกับการมองโลกในแง่ร้ายอย่างสมบูรณ์ (คำนึงถึงเฉพาะผลลัพธ์ที่เลวร้ายที่สุดที่เป็นไปได้ เกณฑ์ลดรูปเป็นเกณฑ์ Wald)
• ค่า $(1-\alpha )$ สามารถตีความได้ว่าเป็น ค่าสัมประสิทธิ์การมองโลกในแง่ร้าย

ขั้นตอนการใช้เกณฑ์ฮูร์วิช:

1. การหาผลตอบแทนต่ำสุดและสูงสุดสำหรับแต่ละกลยุทธ์: สำหรับแต่ละกลยุทธ์ $s_i\in S$ จะกำหนด:

   **ผลลัพธ์ที่เลวร้ายที่สุด (ผลตอบแทนต่ำสุด):**

   $u_i^{\min }=\underset{j=1,\dots ,n}{\min }u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,\theta )$

   **ผลลัพธ์ที่ดีที่สุด (ผลตอบแทนสูงสุด):**

   $u_i^{\max }=\underset{j=1,\dots ,n}{\max }u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }u(s_i,\theta )$

1. การคำนวณค่าเกณฑ์ฮูร์วิชสำหรับแต่ละกลยุทธ์: สำหรับแต่ละกลยุทธ์ $s_i$ จะคำนวณค่าถ่วงน้ำหนักที่รวมผลลัพธ์ที่ดีที่สุดและแย่ที่สุดโดยคำนึงถึงค่าสัมประสิทธิ์การมองโลกในแง่ดี $\alpha$:

   $H(s_i,\alpha )=\alpha \cdot u_i^{\max }+(1-\alpha )\cdot u_i^{\min }$

   ค่านี้แสดงถึงผลตอบแทนที่คาดหวังของกลยุทธ์ $s_i$ ตามความพึงพอใจของผู้ตัดสินใจที่แสดงออกผ่าน $\alpha$

1. การเลือกกลยุทธ์ที่เหมาะสมที่สุด: เลือกกลยุทธ์ $s_{\text{Hurwicz}}^{*}$ ที่ทำให้ค่าเกณฑ์ฮูร์วิชที่คำนวณได้มีค่าสูงสุด:

   $s_{\text{Hurwicz}}^{*}=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{\max }H(s_i,\alpha )=\arg \underset{s_i\in S}{\max }(\alpha \cdot u_i^{\max }+(1-\alpha )\cdot u_i^{\min })$

ค่าเกณฑ์ฮูร์วิชที่เหมาะสมที่สุด (ระดับที่รับประกันโดยคำนึงถึงการมองโลกในแง่ดี $\alpha$) เท่ากับ: $V_{\text{Hurwicz}}=\underset{i=1,\dots ,m}{\max }H(s_i,\alpha )=\underset{s_i\in S}{\max }(\alpha \cdot (\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }u(s_i,\theta ))+(1-\alpha )\cdot (\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,\theta )))$

หมายเหตุเกี่ยวกับฟังก์ชันการสูญเสีย

หากใช้ฟังก์ชันการสูญเสีย $L(s_i,{\theta }_j)$ ซึ่งต้องการการย่อให้เล็กสุด เกณฑ์ฮูร์วิชจะถูกนำมาใช้เพื่อย่อค่าการรวมถ่วงน้ำหนักของผลลัพธ์ที่ดีที่สุด (การสูญเสียน้อยที่สุด) และแย่ที่สุด (การสูญเสียมากที่สุด) ให้เล็กสุด:

1. สำหรับแต่ละกลยุทธ์ $s_i$ จะหาการสูญเสียต่ำสุด $L_i^{\min }$ และการสูญเสียสูงสุด $L_i^{\max }$
2. คำนวณค่า: $H_L(s_i,\alpha )=\alpha \cdot L_i^{\min }+(1-\alpha )\cdot L_i^{\max }$
3. เลือกกลยุทธ์ที่ทำให้ค่านี้น้อยที่สุด: $s_{\text{Hurwicz}}^{*}=\arg \underset{s_i\in S}{\min }{H}_L(s_i,\alpha )$

ที่นี่ $\alpha$ ยังคงเป็นค่าสัมประสิทธิ์การมองโลกในแง่ดี: เมื่อ $\alpha =1$ ผู้ตัดสินใจมุ่งเน้นการย่อการสูญเสียต่ำสุดให้น้อยสุด (มองโลกในแง่ดีหวังผลลัพธ์ที่ดีกว่า) เมื่อ $\alpha =0$ — มุ่งเน้นการย่อการสูญเสียสูงสุดให้น้อยสุด (มองโลกในแง่ร้ายเตรียมรับมือกับสิ่งที่เลวร้ายที่สุด)

การประยุกต์ใช้เกณฑ์

กระบวนการประยุกต์ใช้เกณฑ์ฮูร์วิชประกอบด้วยขั้นตอนดังต่อไปนี้:

1. กำหนดผลลัพธ์ต่ำสุดและสูงสุดสำหรับแต่ละกลยุทธ์ที่เป็นไปได้
2. สำหรับแต่ละกลยุทธ์จะคำนวณคะแนนสุดท้าย ซึ่งเป็นค่าถ่วงน้ำหนักระหว่างผลลัพธ์ที่แย่ที่สุดและดีที่สุดของกลยุทธ์นั้น ขึ้นอยู่กับระดับการมองโลกในแง่ดีที่เลือก
3. เลือกกลยุทธ์ที่มีคะแนนสุดท้ายสูงสุด

ด้วยวิธีนี้ ผู้ตัดสินใจจะเลือกกลยุทธ์ที่คำนึงถึงทัศนคติของตนเองต่อความเสี่ยงและความไม่แน่นอนได้ดีที่สุด

ข้อดีและข้อเสีย

ข้อดี:

• ช่วยให้สามารถปรับกระบวนการเลือกตามลักษณะและความพึงพอใจของผู้ตัดสินใจได้
• คำนึงถึงทั้งความเสี่ยงและผลประโยชน์ที่อาจเกิดขึ้น

ข้อเสีย:

• ต้องการการเลือกค่าสัมประสิทธิ์การมองโลกในแง่ดีอย่างอัตวิสัย ซึ่งอาจส่งผลต่อความเป็นกลางของการตัดสินใจ