Hurwicz criterion — معیار هورویچ

معیار هورویتز — یکی از روش‌های تصمیم‌گیری در شرایط عدم قطعیت است که رویکردی متعادل میان خوش‌بینی افراطی و بدبینی افراطی ارائه می‌دهد.

ماهیت معیار

هنگام انتخاب استراتژی در موقعیتی که نتیجه رویدادها ناشناخته است، معیار هورویتز پیشنهاد می‌کند همزمان موارد زیر در نظر گرفته شود:

• بدترین نتیجه ممکن (رویکرد بدبینانه)،
• بهترین نتیجه ممکن (رویکرد خوش‌بینانه).

برای این منظور از یک پارامتر ویژه — ضریب خوش‌بینی — استفاده می‌شود که مقداری بین صفر و یک می‌گیرد. هرچه این ضریب به یک نزدیک‌تر باشد، توجه بیشتری به بهترین نتایج معطوف می‌شود؛ هرچه به صفر نزدیک‌تر باشد، بدترین نتایج ممکن بیشتر لحاظ می‌گردند.

فرمول‌بندی ریاضی

فرض کنید داده شده است:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — مجموعه استراتژی‌های (گزینه‌های) در دسترس.
• $\mathrm{\Theta }=\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — مجموعه حالات ممکن طبیعت.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — تابع سود (مطلوبیت) هنگام انتخاب استراتژی $s_i$ و وقوع حالت ${\theta }_j$. اغلب به صورت ماتریس پرداخت $A=[a_{ij}]$ نمایش داده می‌شود، که در آن $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

معیار هورویتز ضریب خوش‌بینی $\alpha$ (آلفا) را معرفی می‌کند که توسط تصمیم‌گیرنده (ت.گ.) در بازه $0\le \alpha \le 1$ انتخاب می‌شود. این ضریب درجه خوش‌بینی تصمیم‌گیرنده را منعکس می‌کند:

• $\alpha =1$ معادل خوش‌بینی کامل است (تنها بهترین نتیجه ممکن در نظر گرفته می‌شود).
• $\alpha =0$ معادل بدبینی کامل است (تنها بدترین نتیجه ممکن در نظر گرفته می‌شود؛ معیار به معیار والد تقلیل می‌یابد).
• مقدار $(1-\alpha )$ را می‌توان به عنوان ضریب بدبینی تفسیر کرد.

روند اعمال معیار هورویتز:

1. یافتن حداقل و حداکثر سود برای هر استراتژی: برای هر استراتژی $s_i\in S$ تعیین می‌شود:

   **بدترین نتیجه (حداقل سود):**

   $u_i^{\min }=\underset{j=1,\dots ,n}{\min }u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,\theta )$

   **بهترین نتیجه (حداکثر سود):**

   $u_i^{\max }=\underset{j=1,\dots ,n}{\max }u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }u(s_i,\theta )$

1. محاسبه مقدار معیار هورویتز برای هر استراتژی: برای هر استراتژی $s_i$ یک مقدار وزنی محاسبه می‌شود که بهترین و بدترین نتیجه را با توجه به ضریب خوش‌بینی $\alpha$ ترکیب می‌کند:

   $H(s_i,\alpha )=\alpha \cdot u_i^{\max }+(1-\alpha )\cdot u_i^{\min }$

   این مقدار نشان‌دهنده سود مورد انتظار استراتژی $s_i$ بر اساس ترجیحات تصمیم‌گیرنده، که از طریق $\alpha$ بیان می‌شود، است.

1. انتخاب استراتژی بهینه: آن استراتژی $s_{\text{Hurwicz}}^{*}$ انتخاب می‌شود که مقدار محاسبه‌شده معیار هورویتز را بیشینه کند:

   $s_{\text{Hurwicz}}^{*}=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{\max }H(s_i,\alpha )=\arg \underset{s_i\in S}{\max }(\alpha \cdot u_i^{\max }+(1-\alpha )\cdot u_i^{\min })$

مقدار بهینه معیار هورویتز (سطح تضمین‌شده با در نظر گرفتن خوش‌بینی $\alpha$) برابر است با: $V_{\text{Hurwicz}}=\underset{i=1,\dots ,m}{\max }H(s_i,\alpha )=\underset{s_i\in S}{\max }(\alpha \cdot (\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }u(s_i,\theta ))+(1-\alpha )\cdot (\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,\theta )))$

یادداشتی درباره تابع زیان

اگر از تابع زیان $L(s_i,{\theta }_j)$ استفاده شود که باید کمینه شود، معیار هورویتز برای کمینه‌سازی ترکیب وزنی بهترین (حداقل زیان) و بدترین (حداکثر زیان) نتایج به کار می‌رود:

1. برای هر استراتژی $s_i$، حداقل $L_i^{\min }$ و حداکثر $L_i^{\max }$ زیان یافته می‌شود.
2. مقدار زیر محاسبه می‌شود: $H_L(s_i,\alpha )=\alpha \cdot L_i^{\min }+(1-\alpha )\cdot L_i^{\max }$
3. استراتژی‌ای انتخاب می‌شود که این مقدار را کمینه کند: $s_{\text{Hurwicz}}^{*}=\arg \underset{s_i\in S}{\min }{H}_L(s_i,\alpha )$

اینجا $\alpha$ همچنان ضریب خوش‌بینی است: در $\alpha =1$ تصمیم‌گیرنده بر کمینه‌سازی حداقل زیان تمرکز می‌کند (با خوش‌بینی به بهترین نتیجه امید می‌بندد)، در $\alpha =0$ — بر کمینه‌سازی حداکثر زیان (با بدبینی برای بدترین حالت آماده می‌شود).

کاربرد معیار

فرایند اعمال معیار هورویتز شامل گام‌های زیر است:

1. حداقل و حداکثر نتیجه برای هر استراتژی ممکن تعیین می‌شود.
2. برای هر استراتژی، یک امتیاز نهایی محاسبه می‌شود که مقدار وزنی میان بدترین و بهترین نتیجه آن، با توجه به سطح خوش‌بینی انتخاب‌شده، است.
3. آن استراتژی انتخاب می‌شود که امتیاز نهایی آن بیشترین است.

بدین ترتیب، تصمیم‌گیرنده استراتژی‌ای را انتخاب می‌کند که به بهترین شکل نگرش او نسبت به ریسک و عدم قطعیت را منعکس کند.

مزایا و معایب

مزایا:

• امکان انطباق فرایند انتخاب را با توجه به ویژگی‌ها و ترجیحات تصمیم‌گیرنده فراهم می‌کند.
• هم ریسک و هم مزایای بالقوه را در نظر می‌گیرد.

معایب:

• انتخاب ذهنی ضریب خوش‌بینی را می‌طلبد که می‌تواند بر عینیت تصمیم تأثیر بگذارد.