Hurwicz criterion — Κριτήριο Hurwicz

Κριτήριο Hurwicz — μία από τις μεθόδους λήψης αποφάσεων υπό συνθήκες αβεβαιότητας, η οποία προτείνει μια ισορροπημένη προσέγγιση μεταξύ του ακραίου αισιοδοξισμού και του ακραίου απαισιοδοξισμού.

Ουσία του κριτηρίου

Κατά την επιλογή στρατηγικής σε κατάσταση όπου η έκβαση των γεγονότων είναι άγνωστη, το κριτήριο Hurwicz προτείνει να λαμβάνονται υπόψη ταυτόχρονα:

• η χειρότερη δυνατή έκβαση (απαισιόδοξη προσέγγιση),
• η καλύτερη δυνατή έκβαση (αισιόδοξη προσέγγιση).

Για τον σκοπό αυτό χρησιμοποιείται μια ειδική παράμετρος — ο συντελεστής αισιοδοξίας, ο οποίος παίρνει τιμές από μηδέν έως ένα. Όσο πιο κοντά στη μονάδα είναι ο συντελεστής, τόσο περισσότερη προσοχή δίνεται στις καλύτερες εκβάσεις· όσο πιο κοντά στο μηδέν, τόσο περισσότερο λαμβάνονται υπόψη οι χειρότερες δυνατές εκβάσεις.

Μαθηματική διατύπωση

Έστω ότι ορίζονται:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — σύνολο διαθέσιμων στρατηγικών (εναλλακτικών).
• $\mathrm{\Theta }=\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — σύνολο πιθανών καταστάσεων της φύσης.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — συνάρτηση κέρδους (χρησιμότητας) κατά την επιλογή στρατηγικής $s_i$ και την πραγμάτωση της κατάστασης ${\theta }_j$. Συχνά αναπαρίσταται ως πίνακας πληρωμών $A=[a_{ij}]$, όπου $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

Το κριτήριο Hurwicz εισάγει τον συντελεστή αισιοδοξίας $\alpha$ (άλφα), ο οποίος επιλέγεται από το πρόσωπο που λαμβάνει την απόφαση (ΛΑΑ) στο εύρος $0\le \alpha \le 1$. Ο συντελεστής αυτός αντικατοπτρίζει τον βαθμό αισιοδοξίας του ΛΑΑ:

• $\alpha =1$ αντιστοιχεί σε πλήρη αισιοδοξία (λαμβάνεται υπόψη μόνο η καλύτερη δυνατή έκβαση).
• $\alpha =0$ αντιστοιχεί σε πλήρη απαισιοδοξία (λαμβάνεται υπόψη μόνο η χειρότερη δυνατή έκβαση, το κριτήριο ανάγεται στο κριτήριο Wald).
• Η τιμή $(1-\alpha )$ μπορεί να ερμηνευτεί ως συντελεστής απαισιοδοξίας.

Διαδικασία εφαρμογής του κριτηρίου Hurwicz:

1. Εύρεση του ελάχιστου και μέγιστου κέρδους για κάθε στρατηγική: Για κάθε στρατηγική $s_i\in S$ προσδιορίζονται:

   **Χειρότερη έκβαση (ελάχιστο κέρδος):**

   $u_i^{\min }=\underset{j=1,\dots ,n}{\min }u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,\theta )$

   **Καλύτερη έκβαση (μέγιστο κέρδος):**

   $u_i^{\max }=\underset{j=1,\dots ,n}{\max }u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }u(s_i,\theta )$

1. Υπολογισμός της τιμής του κριτηρίου Hurwicz για κάθε στρατηγική: Για κάθε στρατηγική $s_i$ υπολογίζεται η σταθμισμένη τιμή, η οποία συνδυάζει την καλύτερη και χειρότερη έκβαση λαμβάνοντας υπόψη τον συντελεστή αισιοδοξίας $\alpha$:

   $H(s_i,\alpha )=\alpha \cdot u_i^{\max }+(1-\alpha )\cdot u_i^{\min }$

   Αυτή η τιμή αντιπροσωπεύει το αναμενόμενο κέρδος της στρατηγικής $s_i$ σύμφωνα με τις προτιμήσεις του ΛΑΑ, που εκφράζονται μέσω του $\alpha$.

1. Επιλογή της βέλτιστης στρατηγικής: Επιλέγεται εκείνη η στρατηγική $s_{\text{Hurwicz}}^{*}$ που μεγιστοποιεί την υπολογισθείσα τιμή του κριτηρίου Hurwicz:

   $s_{\text{Hurwicz}}^{*}=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{\max }H(s_i,\alpha )=\arg \underset{s_i\in S}{\max }(\alpha \cdot u_i^{\max }+(1-\alpha )\cdot u_i^{\min })$

Η βέλτιστη τιμή του κριτηρίου Hurwicz (εγγυημένο επίπεδο λαμβάνοντας υπόψη τον αισιοδοξισμό $\alpha$) ισούται με: $V_{\text{Hurwicz}}=\underset{i=1,\dots ,m}{\max }H(s_i,\alpha )=\underset{s_i\in S}{\max }(\alpha \cdot (\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }u(s_i,\theta ))+(1-\alpha )\cdot (\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,\theta )))$

Παρατήρηση σχετικά με τη συνάρτηση απωλειών

Εάν χρησιμοποιείται συνάρτηση απωλειών $L(s_i,{\theta }_j)$, η οποία πρέπει να ελαχιστοποιηθεί, τότε το κριτήριο Hurwicz εφαρμόζεται για την ελαχιστοποίηση της σταθμισμένης συνδυαστικής τιμής των καλύτερων (ελάχιστες απώλειες) και χειρότερων (μέγιστες απώλειες) εκβάσεων:

1. Για κάθε στρατηγική $s_i$ βρίσκονται οι ελάχιστες $L_i^{\min }$ και μέγιστες $L_i^{\max }$ απώλειες.
2. Υπολογίζεται η τιμή: $H_L(s_i,\alpha )=\alpha \cdot L_i^{\min }+(1-\alpha )\cdot L_i^{\max }$
3. Επιλέγεται η στρατηγική που ελαχιστοποιεί αυτή την τιμή: $s_{\text{Hurwicz}}^{*}=\arg \underset{s_i\in S}{\min }{H}_L(s_i,\alpha )$

Εδώ το $\alpha$ εξακολουθεί να αποτελεί τον συντελεστή αισιοδοξίας: για $\alpha =1$ το ΛΑΑ εστιάζει στην ελαχιστοποίηση των ελάχιστων απωλειών (αισιόδοξα ελπίζει στην καλύτερη έκβαση), για $\alpha =0$ — στην ελαχιστοποίηση των μέγιστων απωλειών (απαισιόδοξα προετοιμάζεται για το χειρότερο).

Εφαρμογή του κριτηρίου

Η διαδικασία εφαρμογής του κριτηρίου Hurwicz περιλαμβάνει τα ακόλουθα βήματα:

1. Προσδιορίζονται ο ελάχιστος και μέγιστος αποτέλεσμα για κάθε πιθανή στρατηγική.
2. Για κάθε στρατηγική υπολογίζεται η συνολική εκτίμηση, η οποία αντιπροσωπεύει τη σταθμισμένη τιμή μεταξύ της χειρότερης και καλύτερης έκβασής της, ανάλογα με το επιλεγμένο επίπεδο αισιοδοξίας.
3. Επιλέγεται η στρατηγική με τη μέγιστη συνολική εκτίμηση.

Έτσι, το πρόσωπο που λαμβάνει αποφάσεις επιλέγει τη στρατηγική που λαμβάνει καλύτερα υπόψη τη δική του στάση απέναντι στον κίνδυνο και την αβεβαιότητα.

Πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα

Πλεονεκτήματα:

• Επιτρέπει την προσαρμογή της διαδικασίας επιλογής ανάλογα με τον χαρακτήρα και τις προτιμήσεις του προσώπου που λαμβάνει αποφάσεις.
• Λαμβάνει υπόψη τόσο τον κίνδυνο όσο και τα δυνητικά οφέλη.

Μειονεκτήματα:

• Απαιτεί υποκειμενική επιλογή του συντελεστή αισιοδοξίας, κάτι που μπορεί να επηρεάσει την αντικειμενικότητα της απόφασης.