Hàm mục tiêu

Hàm mục tiêu — là tiêu chí hiệu quả hoặc sở thích của người ra quyết định (NRQ) được hình thức hóa bằng toán học, giá trị của nó được tối ưu hóa (cực đại hóa hoặc cực tiểu hóa) trong quá trình giải quyết bài toán lựa chọn hoặc điều khiển. Thông thường, giá trị của hàm mục tiêu phụ thuộc vào tập hợp các biến điều khiển (biến quyết định), có thể thay đổi trong quá trình tìm kiếm phương án tối ưu. Hàm mục tiêu phản ánh sự biểu đạt định lượng của các mục tiêu hoặc sở thích, trên cơ sở đó tiến hành lựa chọn quyết định. Nó đóng vai trò then chốt trong các bài toán tối ưu hóa, phân tích hệ thống và lý thuyết ra quyết định.

Mục đích và vai trò trong mô hình hóa

Hàm mục tiêu được dùng để:

• Hình thức hóa mục tiêu: Chuyển đổi các mục tiêu định tính (quản lý, thiết kế, lập kế hoạch) thành dạng đo lường được bằng định lượng.
• So sánh các phương án: Cung cấp tiêu chí thống nhất để so sánh khách quan các phương án hoặc chiến lược khác nhau.
• Tối ưu hóa: Tìm kiếm giải pháp tốt nhất bằng cách xác định cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) của hàm trong miền nghiệm chấp nhận được, được xác định bởi các ràng buộc.

Cấu trúc và các loại

Về mặt toán học, hàm mục tiêu phụ thuộc vào vectơ các biến quyết định. Theo dạng thức, hàm mục tiêu có thể là:

• Tuyến tính: Thường được sử dụng trong các bài toán quy hoạch tuyến tính.
• Phi tuyến: Chứa các phụ thuộc phi tuyến (ví dụ: bậc hai, lũy thừa, hàm mũ). Được áp dụng trong quy hoạch phi tuyến.
• Trơn hoặc gián đoạn.
• Đơn cực trị (có một cực trị) hoặc đa cực trị.

Ngoài ra, người ta còn phân biệt các bài toán:

• Đơn tiêu chí: Tối ưu hóa một hàm mục tiêu duy nhất.
• Đa tiêu chí: Tối ưu hóa một vectơ gồm nhiều hàm mục tiêu, thường mâu thuẫn với nhau.

Các ví dụ về hàm mục tiêu

Các ví dụ điển hình về hàm mục tiêu bao gồm:

• khi cực đại hóa: lợi nhuận, năng suất, hệ số hữu ích, độ hữu dụng, sản lượng;
• khi cực tiểu hóa: chi phí, thời gian thực hiện, tổn thất, rủi ro, tổng độ lệch so với kế hoạch.

Tầm quan trọng của việc lựa chọn đúng đắn

Việc lựa chọn hàm mục tiêu là giai đoạn trung tâm trong việc xây dựng bài toán nghiên cứu. Như được ghi nhận trong tài liệu ứng dụng, một tiêu chí được lựa chọn đúng đắn với nghiệm kém chính xác hơn vẫn tốt hơn là nghiệm tối ưu với tiêu chí sai lầm. Hàm mục tiêu không phù hợp sẽ dẫn đến nghiệm không tương ứng với mục tiêu thực tế của NRQ hoặc của hệ thống.

Mối quan hệ giữa cực tiểu hóa và cực đại hóa

Trong nhiều bài toán thực tế, việc cực tiểu hóa một hàm mục tiêu có thể dẫn một cách logic đến việc cực đại hóa một hàm khác. Ví dụ, việc giảm chi phí hoặc thời gian xử lý trong quy trình sản xuất có thể trực tiếp góp phần tăng trưởng lợi nhuận hoặc năng suất.

Nguyên tắc này thể hiện rõ nét trong khuôn khổ khái niệm sản xuất tinh gọn (Lean Manufacturing), nơi trọng tâm chính được đặt vào việc loại bỏ lãng phí như một cách nâng cao hiệu quả.

Lãng phí trong sản xuất tinh gọn

• Sản xuất thừa;
• Chờ đợi (thời gian chết);
• Vận chuyển thừa;
• Các bước xử lý không cần thiết;
• Tồn kho dư thừa;
• Di chuyển không cần thiết;
• Sản phẩm lỗi.

Việc loại bỏ hoặc cực tiểu hóa các loại lãng phí này tạo thành nền tảng của các bài toán nghiên cứu vận hành và quản lý hệ thống. Trên cơ sở này, người ta phát triển:

• Các mô hình quản lý hàng tồn kho;
• Các mô hình quản lý hàng đợi;
• Các mô hình phân bổ nguồn lực.

Hàm mục tiêu và các ràng buộc

Việc tối ưu hóa hàm mục tiêu luôn được thực hiện có tính đến các ràng buộc. Các ràng buộc xác định miền nghiệm chấp nhận được (MNC) — tập hợp tất cả các phương án (giá trị của các biến) thỏa mãn các điều kiện đã cho. Nghiệm tối ưu là điểm trong MNC mà tại đó hàm mục tiêu đạt cực trị.

Vai trò trong Nghiên cứu Vận hành và Lý thuyết Ra quyết định

Hàm mục tiêu là bộ phận không thể thiếu trong việc xây dựng bài toán nghiên cứu vận hành và là công cụ hình thức hóa các tiêu chí lựa chọn trong lý thuyết ra quyết định. Nó không chỉ cho phép cấu trúc hóa các sở thích mà còn áp dụng các phương pháp toán học để tìm kiếm các nghiệm tối ưu hoặc chấp nhận được.

Tài liệu tham khảo

• Ventzel E. S. Nghiên cứu vận hành: bài toán, nguyên lý, phương pháp luận. — M.: Nauka, 1988.
• Taha, Hamdy A. Operations Research: An Introduction. — Pearson. (10th ed., 2017)
• Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introduction to Operations Research. — McGraw-Hill Education. (11th ed., 2021)

Xem thêm

• Nghiên cứu vận hành
• Tối ưu hóa
• Lý thuyết ra quyết định
• Tiêu chí
• Ràng buộc
• Mục tiêu
• Mô hình toán học
• Lý thuyết hữu dụng
• Quy hoạch tuyến tính
• Miền nghiệm chấp nhận được