Feasible region — منطقة الحلول الممكنة
منطقة الحلول الممكنة (ОДР) (وتُعرف أيضًا باسم مجموعة الحلول الممكنة، بالإنجليزية: Feasible region, feasible set) — في بحوث العمليات، والاستمثال، والنمذجة الرياضية، هي مجموعة كل الحلول الممكنة (مجموعات قيم المتغيرات) التي تحقق جميع القيود المفروضة على المسألة.
تمثل منطقة الحلول الممكنة الفضاء الجزئي الذي يتم فيه البحث عن حل أمثل. أي حل يقع خارج هذه المنطقة يعتبر غير ممكن.
التعريف والتكوين
تتكون منطقة الحلول الممكنة من تقاطع المجموعات التي يحددها كل قيد من قيود المسألة على حدة. يمكن تمثيل القيود في صورة:
- المتباينات: تحدد حدودًا عليا أو دنيا لقيم المتغيرات أو تركيباتها (على سبيل المثال، "استهلاك المورد أ يجب ألا يتجاوز 100 وحدة"، "كمية المنتج المصنّع يجب ألا تقل عن 50 قطعة").
- المساويات: تتطلب تحقيق شرط بدقة (على سبيل المثال، "الحجم الإجمالي للشحنات يجب أن يساوي 1000 طن"، "رصيد التدفقات الداخلة والخارجة يساوي صفرًا").
- شروط على إشارة المتغيرات: غالبًا ما تكون المتغيرات غير سالبة، أو أعدادًا صحيحة، أو تنتمي إلى مجموعة منفصلة معينة.
تنتمي نقطة (أو متجه قيم المتغيرات) إلى منطقة الحلول الممكنة إذا وفقط إذا كانت تحقق جميع هذه القيود في آن واحد.
التفسير الهندسي
غالبًا ما يكون لمنطقة الحلول الممكنة تفسير هندسي واضح، خاصة في المسائل ذات العدد المحدود من المتغيرات:
- في الفضاء ثنائي الأبعاد (متغيران): يحدد كل قيد خطي في صورة متباينة نصف مستوى. وتمثل منطقة الحلول الممكنة تقاطع هذه الأنصاف المستوية، مكونة مضلعًا محدبًا (قد يكون غير محدود أو فارغًا).
- في الفضاء ثلاثي الأبعاد (3 متغيرات): يحدد كل قيد خطي في صورة متباينة نصف فضاء. وتكون منطقة الحلول الممكنة هي تقاطع هذه الأنصاف الفضائية، مكونة متعدد سطوح محدبًا (polyhedron).
- في الفضاء متعدد الأبعاد: تكون منطقة الحلول الممكنة المحددة بـقيود خطية عبارة عن متعدد سطوح محدب (polytope).
في حالة القيود غير الخطية، يمكن أن تتخذ منطقة الحلول الممكنة شكلاً أكثر تعقيدًا وألا تكون محدبة.
الدور في الاستمثال
تلعب منطقة الحلول الممكنة دورًا أساسيًا في الاستمثال:
- تحديد فضاء البحث: يوجد الحل الأمثل للمسألة (إن وجد) دائمًا داخل منطقة الحلول الممكنة أو على حدودها. تبحث خوارزميات الاستمثال عن القيمة القصوى لـدالة الهدف ضمن هذه المنطقة تحديدًا. # التحقق من وجود الحلول: إذا كانت منطقة الحلول الممكنة مجموعة فارغة (أي أن القيود تتعارض مع بعضها البعض)، فإن المسألة لا تملك أي حلول ممكنة، وبالتالي لا يوجد لها حل أمثل. # التأثير على الحل الأمثل: يؤثر شكل وحجم منطقة الحلول الممكنة بشكل مباشر على إمكانية الوصول إلى القيمة القصوى لـدالة الهدف وعلى قيمة هذه النقطة القصوى.
خصائص منطقة الحلول الممكنة (في مسائل البرمجة الخطية)
في مسائل البرمجة الخطية (ЛП)، حيث تكون جميع القيود ودالة الهدف خطية، تتمتع منطقة الحلول الممكنة بخصائص هامة:
- التحدب: إذا انتمت نقطتان إلى منطقة الحلول الممكنة، فإن القطعة المستقيمة التي تصل بينهما تنتمي أيضًا بالكامل إلى المنطقة. تضمن هذه الخاصية أن الحل الأمثل (إذا كان موجودًا ووحيدًا) سيقع عند أحد رؤوس متعدد السطوح الذي يمثل منطقة الحلول الممكنة.
- الانغلاق: تشمل منطقة الحلول الممكنة حدودها (بسبب المتباينات غير الصارمة ≤، ≥، والمساويات).
يمكن لمنطقة الحلول الممكنة أن تكون:
- محدودة: أي ذات أبعاد منتهية.
- غير محدودة: أي تمتد إلى ما لا نهاية في اتجاه واحد أو أكثر.
- فارغة: أي لا تحتوي على أي نقطة.
المراجع
- Вентцель Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. — М.: Наука, 1988.
- Акоф Р., Сасиени М. Основы исследования операций. — М.: Мир, 1971.
- Taha, Hamdy A. Operations Research: An Introduction. — Pearson. (10th ed., 2017)
- Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introduction to Operations Research. — McGraw-Hill Education. (11th ed., 2021)
انظر أيضًا
- بحوث العمليات
- الاستمثال
- نموذج رياضي
- القيود
- حل ممكن
- الحل الأمثل
- دالة الهدف
- البرمجة الخطية
- مجموعة محدبة