Criterio maximin (criterio de Wald)

El criterio de Wald es uno de los métodos fundamentales para la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre. Se basa en el principio del pesimismo extremo y tiene como objetivo seleccionar la estrategia que garantiza el mejor resultado en el peor escenario posible.

Esencia del criterio

El criterio asume que quien toma la decisión se enfoca en el resultado más desfavorable para cada estrategia. Para cada alternativa, se determina su peor resultado posible. De todas las estrategias, se elige aquella cuyo peor resultado es el mejor entre todos.

En otras palabras, el criterio de Wald busca minimizar las pérdidas máximas y proporciona la mayor protección contra condiciones desfavorables.

Aplicación del criterio

El proceso de aplicación incluye los siguientes pasos:

1. Para cada estrategia, se determina el peor resultado posible.
2. Se comparan los peores resultados de todas las estrategias.
3. Se elige la estrategia con el mejor de los peores resultados.

Este enfoque es característico de individuos extremadamente cautelosos que buscan minimizar los riesgos independientemente de la probabilidad de ocurrencia de los diferentes resultados.

Formulación matemática

Sean dados:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — el conjunto de estrategias (alternativas) disponibles, entre las cuales elige el tomador de decisiones.
• $\mathrm{\Theta }=\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — el conjunto de posibles estados de la naturaleza (condiciones externas, escenarios), que no dependen de la elección del tomador de decisiones.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — la función de ganancia (utilidad), que representa una evaluación numérica del resultado al elegir la estrategia $s_i\in S$ y ocurrir el estado de la naturaleza ${\theta }_j\in \mathrm{\Theta }$. A menudo se representa como una matriz de pagos $A=[a_{ij}]$, donde $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

El criterio de Wald (o criterio maximin) prescribe el siguiente procedimiento:

1. Encontrar la ganancia mínima para cada estrategia: Para cada estrategia $s_i$, se determina su peor resultado posible (ganancia mínima) entre todos los posibles estados de la naturaleza:

   $u_i^{\min }=\underset{j=1,\dots ,n}{\min }u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,\theta )$

1. Seleccionar la estrategia con el máximo de las ganancias mínimas: Se elige la estrategia $s_{\text{Wald}}^{*}$ que proporciona el valor más alto entre las ganancias mínimas encontradas:

   $s_{\text{Wald}}^{*}=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{\max }(u_i^{\min })=\arg \underset{s_i\in S}{\max }(\underset{{\theta }_j\in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,{\theta }_j))$

El nivel de ganancia garantizado (mínimo) al usar el criterio de Wald es: $V_{\text{Wald}}=\underset{i=1,\dots ,m}{\max }(u_i^{\min })=\underset{s_i\in S}{\max }(\underset{{\theta }_j\in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,{\theta }_j))$

Por lo tanto, el criterio de Wald implementa el principio maximin: la maximización de la ganancia mínima. Está orientado hacia una perspectiva pesimista, asumiendo que, sin importar la decisión tomada, la naturaleza responderá de la manera menos favorable para el tomador de decisiones.

Nota sobre la función de pérdidas

Si en lugar de la función de ganancia $u(s_i,{\theta }_j)$ se utiliza una función de pérdidas $L(s_i,{\theta }_j)$, que se busca minimizar, entonces el criterio de Wald se convierte en el criterio minimax de pérdidas:

1. Para cada estrategia $s_i$, se encuentra el valor máximo de las pérdidas: $L_i^{\max }=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }L(s_i,\theta )$
2. Se elige la estrategia que minimiza estas pérdidas máximas: $s_{\text{Wald}}^{*}=\arg \underset{s_i\in S}{\min }(\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }L(s_i,\theta ))$

Ventajas y desventajas

Ventajas:

• Simplicidad y claridad del método.
• Garantiza un alto grado de seguridad en las decisiones bajo condiciones de incertidumbre total.

Desventajas:

• Pesimismo excesivo: se ignoran posibles ganancias altas para minimizar las pérdidas.
• Puede llevar a la elección de estrategias demasiado conservadoras.