Criterio de Hurwicz (ES)

El Criterio de Hurwicz es uno de los métodos para la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre, que propone un enfoque equilibrado entre el optimismo extremo y el pesimismo extremo.

Esencia del criterio

Al elegir una estrategia en una situación donde el resultado de los eventos es desconocido, el criterio de Hurwicz propone considerar simultáneamente:

• el peor resultado posible (enfoque pesimista),
• el mejor resultado posible (enfoque optimista).

Para ello, se utiliza un parámetro especial — el coeficiente de optimismo, que toma un valor entre cero y uno. Cuanto más se acerca el coeficiente a uno, más atención se presta a los mejores resultados; cuanto más se acerca a cero, más se consideran los peores resultados posibles.

Formulación matemática

Sean dados:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — el conjunto de estrategias (alternativas) disponibles.
• $\mathrm{\Theta }=\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — el conjunto de posibles estados de la naturaleza.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — la función de ganancia (utilidad) al elegir la estrategia $s_i$ y ocurrir el estado ${\theta }_j$. A menudo se representa mediante una matriz de pagos $A=[a_{ij}]$, donde $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

El criterio de Hurwicz introduce un coeficiente de optimismo $\alpha$ (alfa), que es elegido por el tomador de decisiones (TD) en el rango $0\le \alpha \le 1$. Este coeficiente refleja el grado de optimismo del TD:

• $\alpha =1$ corresponde a un optimismo total (solo se considera el mejor resultado posible).
• $\alpha =0$ corresponde a un pesimismo total (solo se considera el peor resultado posible, el criterio se reduce al criterio de Wald).
• El valor $(1-\alpha )$ puede interpretarse como el coeficiente de pesimismo.

El procedimiento para aplicar el criterio de Hurwicz es el siguiente:

1. Encontrar la ganancia mínima y máxima para cada estrategia: Para cada estrategia $s_i\in S$, se determinan:

   **Peor resultado (ganancia mínima):**

   $u_i^{\min }=\underset{j=1,\dots ,n}{\min }u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,\theta )$

   **Mejor resultado (ganancia máxima):**

   $u_i^{\max }=\underset{j=1,\dots ,n}{\max }u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }u(s_i,\theta )$

1. Calcular el valor del criterio de Hurwicz para cada estrategia: Para cada estrategia $s_i$, se calcula un valor ponderado que combina los mejores y peores resultados, teniendo en cuenta el coeficiente de optimismo $\alpha$:

   $H(s_i,\alpha )=\alpha \cdot u_i^{\max }+(1-\alpha )\cdot u_i^{\min }$

   Este valor representa la ganancia esperada de la estrategia $s_i$ según las preferencias del TD, expresadas a través de $\alpha$.

1. Seleccionar la estrategia óptima: Se elige la estrategia $s_{\text{Hurwicz}}^{*}$ que maximiza el valor calculado del criterio de Hurwicz:

   $s_{\text{Hurwicz}}^{*}=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{\max }H(s_i,\alpha )=\arg \underset{s_i\in S}{\max }(\alpha \cdot u_i^{\max }+(1-\alpha )\cdot u_i^{\min })$

El valor óptimo del criterio de Hurwicz (el nivel garantizado teniendo en cuenta el optimismo $\alpha$) es: $V_{\text{Hurwicz}}=\underset{i=1,\dots ,m}{\max }H(s_i,\alpha )=\underset{s_i\in S}{\max }(\alpha \cdot (\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }u(s_i,\theta ))+(1-\alpha )\cdot (\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,\theta )))$

Nota sobre la función de pérdidas

Si se utiliza una función de pérdidas $L(s_i,{\theta }_j)$ que se debe minimizar, el criterio de Hurwicz se aplica para minimizar la combinación ponderada de los mejores (pérdidas mínimas) y peores (pérdidas máximas) resultados:

1. Para cada estrategia $s_i$, se encuentran las pérdidas mínimas $L_i^{\min }$ y máximas $L_i^{\max }$.
2. Se calcula el valor: $H_L(s_i,\alpha )=\alpha \cdot L_i^{\min }+(1-\alpha )\cdot L_i^{\max }$
3. Se elige la estrategia que minimiza este valor: $s_{\text{Hurwicz}}^{*}=\arg \underset{s_i\in S}{\min }{H}_L(s_i,\alpha )$

Aquí, $\alpha$ sigue siendo el coeficiente de optimismo: con $\alpha =1$, el TD se enfoca en minimizar las pérdidas mínimas (esperando con optimismo el mejor resultado), mientras que con $\alpha =0$, se enfoca en minimizar las pérdidas máximas (preparándose pesimistamente para el peor resultado).

Aplicación del criterio

El proceso de aplicación del criterio de Hurwicz incluye los siguientes pasos:

1. Se determinan los resultados mínimo y máximo para cada estrategia posible.
2. Para cada estrategia, se calcula una puntuación final, que es un valor ponderado entre sus peores y mejores resultados, dependiendo del nivel de optimismo elegido.
3. Se elige la estrategia que tenga la puntuación final más alta.

De esta manera, el tomador de decisiones elige la estrategia que mejor refleja su propia actitud hacia el riesgo y la incertidumbre.

Ventajas y desventajas

Ventajas:

• Permite adaptar el proceso de selección según la naturaleza y las preferencias del tomador de decisiones.
• Considera tanto el riesgo como los beneficios potenciales.

Desventajas:

• Requiere la elección subjetiva del coeficiente de optimismo, lo que puede afectar la objetividad de la decisión.